用向量法解立体几何.doc

。空间向量与立体几何一空间向量1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面。（3）作空间直角坐标系时，一般使（或），；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量,设为坐标向量,则存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标3、空间向量的直角坐标运算律（1）若，则，（2）若，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。4.向量夹角定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作规定：特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。5.数量积（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即（2）夹角：（3）运算律；（4）模长公式：若，则，（5）两点间的距离公式：若，则或（6）二空间向量与立体几何1、直线的方向向量 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个2.平面的法向量（1）定义：所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量（2）平面法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：设出平面的法向量为、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组na=0nb=0、解方程组，取其中一个解，即得法向量（一）、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系1、用向量方法证明空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行(1)线线平行设直线l1 、l2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l1l2，只需证明ab，即a=kb(kR)线面平行直线l 的方向向量是a，平面 的法向量是 n ，则要证明，只需证明，即.面面平行若能求出平面、的法向量、，则要证明/，只需证明/ 用向量方法证明空间中的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直线线垂直设直线l1、l2的方向向量分别是、，则要证明l1 l2，只需证明，即 线面垂直设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则要证l，只需证明/ 面面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直【考点归纳分析】考点1.利用空间向量处理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.例1（2010 湖南理18）在正方体，E是棱的中点。在棱上是否存在一点F，使平面?证明你的结论。审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解.解析：以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),(0,0,2),(2,0,2)，=(2,2,1),=（2，0，2），设面的法向量为=（，），则=0且=0，取=1，则=1，=，=（1，1）,假设在棱上存在一点F，使平面，设F(，2，2)（02）,则=（，2，2）， 则=0， 解得=1， 当F为中点时，平面.【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.例2在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中=,D是BC上一点，且面，为的中点，求证：面面.审题要津：本题的坐标系容易建立，可用向量法.解析：以B点为原点，如图建立坐标系，设AB=，BC=，=，则A（,0,0），(0，)，(0,0, )，(，0，)， (0，)，设D(0，0)（0），=(，0)，=(，)，=(，0，)，=（0，），设面的法向量为=(，)，则=0且=0，取=，则=，=，则=（，）， 又面，=0，解得=， =（，），设面的法向量为=(,),则=0且=0，取=1，则=，=，则=(，1)，=， ， 面面.【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.考点2.利用空间向量证明空间垂直问题利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点.例1(2010辽宁理19）已知三棱锥PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：CMSN；审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）,因为， 所以CMSN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.例2(2010天津理19) 在长方体中，、分别是棱,上的点，=, = .证明平面审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得, ,已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面 【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.例3 （2010年山东文）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别为、的中点，且.求证：平面平面.审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：以A为原点，向量,分别为轴、轴、轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),P(2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,),G(1,1,1),F(2,1,1)，=(-1,0,),=(1,0,0),设平面EFG的法向量=（，），则=0且=0，取=1，则=0，=（0，1,0）,易证面PDC的法向量为=(2,0,0), =0, 平面平面【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.典型例题：1.如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。2、一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（1）求证：（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC,并给出证明. 3.正方体ABCDA1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： （1）D1O/平面A1BC1;（2）D1O平面MAC.4.如图，四棱锥PABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，CDAD，CD=2AB，E为PC中点 (I) 求证：平面PDC平面PAD； (II) 求证：BE/平面PAD 5.如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。（二）、向量法求异面直线夹角（(0,2）1.定义法：将直线平移到同一平面来求夹角2.向量法异面直线夹角的大小可以通过这两条异面直线的方向向量的夹角来求，若设两条异面直线所成的角为 ，它们的方向向量的夹角为 ，则= 或=-设两异面直线的方向向量为a ，b ，用夹角公式cosa,b=abab（三）向量法求直线与平面所成的角（(0,2）直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角，其范围是(0,2。1.定义法：将直线投影到平面上，直线和投影线的夹角就是直线和平面的夹角，一般放在三角形中，利用余弦定理来求，或者在直角三角形中求。2.向量法直线和平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量求得。若设直线与平面所成的角为 ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为 ，则有=2-（四）向量法求平面与平面的夹角（0,） 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面).以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。1.定义法 在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。2.向量法 两个平面的大小就是指二面角的平面角的大小，其范围是0,，二面角的平面角的大小（或其补角的大小）可以通过两个面的法向量的夹角求得。设、是二面角的两个角、的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小.（五）.向量法求立体几何中的距离利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).考点3利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题 异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点，常与探索性问题、平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度为中档难度.例6(2010天津理19) 在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值。审题要津：本题坐标系易建立，可以向量法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,(1)证明：易得,于是, 所以异面直线与所成角的余弦值为 (2)解：设平面的法向量=，则=0且=0，不妨令=1,可得=(1,2,1),设平面的法向量=（，）则=0且=0，取=1,则=2，=1，则=（1,2,1）于是，从而，所以二面角的正弦值为【点评】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用=求出异面直线的夹角，注意：（1）异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点A，在内取一点B，设二面角大小为，若与同号，则=，若与异号，则=，注意二面角大小与法向量夹角的关系.例7（ 2010全国卷I理7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为A B C D审题要津：本题是正方体中的线面关系问题，可用空间向量法求解.解析：如图建立坐标系，设正方体棱长为1，与面的夹角为，则D(0,0,0),C(0,1,0)，B(1,1,0),A(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1), =（1，1,0），=(1,0,1),=(0,0,1),设面的法向量=（，），则0=且0=，取=1，则=1，=1， =（1,1,1），=，=，故选D.【点评】对于线面夹角问题，若容易建立坐标系，则常用坐标法，建立坐标系，求出线面夹角问题中三位直线的方向向量和平面法向量，设线面角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即=.典型例题：1、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（） （）求点B到平面OCD的距离。（）2.如图，在三棱锥中，是的中点，且，（I）求证：平面平面；（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为3、如图，四棱锥的底面是