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解析几何课件 第四版 第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面 第五章二次曲线的一般理论 第一章向量与坐标 第三章平面与空间直线 第二章轨迹与方程 第一章向量与坐标 1 1向量的概念 1 3数量乘向量 1 2向量的加法 1 4向量的线性关系与向量的分解 1 6向量在轴上的射影 1 5标架与坐标 1 7两向量的数量积 1 9三向量的混合积 1 8两向量的向量积 第二章轨迹与方程 2 1平面曲线的方程 2 2曲面的方程 2 3空间曲线的方程 第三章平面与空间直线 3 1平面的方程 3 3两平面的相关位置 3 2平面与点的相关位置 3 4空间直线的方程 3 7空间两直线的相关位置 3 5直线与平面的相关位置 3 6空间直线与点的相关位置 第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面 4 1柱面 4 3旋转曲面 4 2锥面 4 4椭球面 4 5双曲面 4 6抛物面 第五章二次曲线的一般理论 5 1二次曲线与直线的相关位置 5 3二次曲线的切线 5 2二次曲线的渐近方向 中心 渐近线 5 4二次曲线的直径 5 6二次曲线方程的化简与分类 5 5二次曲线的主直径和主方向 定义1 1 1既有大小又有方向的量叫做向量 或称矢量 向量既有大小又有方向的量 向量的几何表示 两类量 数量 标量 可用一个数值来描述的量 有向线段 有向线段的方向表示向量的方向 有向线段的长度表示向量的大小 1 1向量的概念 返回 下一页 所有的零向量都相等 模为1的向量 零向量 模为0的向量 单位向量 定义1 1 2如果两个向量的模相等且方向相同 那么叫做相等向量 记为 定义1 1 3两个模相等 方向相反的向量叫做互为反向量 上一页 下一页 返回 零向量与任何共线的向量组共线 定义1 1 4平行于同一直线的一组向量叫做共线向量 定义1 1 5平行于同一平面的一组向量叫做共面向量 零向量与任何共面的向量组共面 上一页 返回 O A B 这种求两个向量和的方法叫三角形法则 定理1 2 1如果把两个向量为邻边组成一个平行四边形OACB 那么对角线向量 1 2向量的加法 下一页 返回 O A B C 这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1 2 2向量的加法满足下面的运算规律 1 交换律 2 结合律 3 上一页 下一页 返回 O A1 A2 A3 A4 An 1 An 这种求和的方法叫做多边形法则 上一页 下一页 返回 向量减法 上一页 下一页 返回 上一页 返回 例2试用向量方法证明 对角线互相平分的四边形必是平行四边形 证 结论得证 1 3数乘向量 下一页 返回 对于非零向量总可以作出一个和它同方向的单位向量 定理1 3 1数与向量的乘积符合下列运算规律 1 结合律 2 第一分配律 3 第二分配律 上一页 下一页 返回 两个向量的平行关系 证 充分性显然 必要性 两式相减 得 上一页 下一页 返回 当 或 除这些情况外 现分别按下面两种情况证明 中有一个为零向量时 显然成立 1 2 和 平行 可以找到数 使得 这只需按 与 同向或相反 取 或 和 不平行 如图 是以 向量为边的三角形 按相似比为 可得出相似 且 3 由相似三角形对应边成比例的关系 可以得出 而 故 例1设AM是三角形ABC的中线 求证 证 如图 因为 所以 但 因而 即 上一页 下一页 返回 例2用向量方法证明 联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半 证 设 ABC两边AB AC之中点分别为M N 那么 所以 且 上一页 返回 例3化简 解 例4试用向量方法证明 空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形 结论得证 1 4向量的线性关系与向量的分解 下一页 返回 上一页 下一页 返回 例5证明四面体对边中点的连线交于一点 且互相平分 A B C D E F P1 e1 e2 e3 上一页 下一页 返回 连接AF 因为AP1是 AEF的中线 所以有 又因为AF1是 ACD的中线 所以又有 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 例6设为两不共线向量 证明 共线的充要条件是 按照这个定理 要判别三向量 只要判别是否存在不全为零的三个数 使得 是否共面 证 共线 线性相关 即存在不全为0 的实数 使 即 又因为不共线 线性无关 有唯一零解 上一页 返回 1 5标架与坐标 1 5标架与坐标 1 5标架与坐标 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 1 三个坐标轴的正方向符合右手系 1 5标架与坐标 下一页 返回 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 2 坐标面与卦限 上一页 下一页 返回 向径 3 在直角坐标系下 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 点M 特殊点的坐标 有序数组 称为点M的坐标 原点O 0 0 0 坐标轴 坐标面 称为向量的坐标分解式 4 空间向量的坐标 上一页 下一页 返回 显然 向量的坐标 向径 在三个坐标轴上的分向量 点M关于原点O 上一页 下一页 返回 5 利用坐标作向量的线性运算 向量的加减法 向量与数的乘法运算的坐标表达式 上一页 下一页 返回 解 6 线段的定比分点坐标 上一页 下一页 返回 由题意知 上一页 下一页 返回 定理1 5 4已知两个非零向量 7 其它相关定理 则 共线的充要条件是 定理1 5 6已知三个非零向量 则 共面的充要条件是 上一页 返回 空间一点在轴上的投影 Projection 1 6向量在轴上的射影 下一页 返回 空间一向量在轴上的投影 上一页 下一页 返回 为单位向量 关于向量的投影定理 1 证 由此定义 上一页 下一页 返回 定理1的说明 投影为正 投影为负 投影为零 4 相等向量在同一轴上投影相等 上一页 下一页 返回 关于向量的投影定理 2 可推广到有限多个 上一页 下一页 返回 关于向量的投影定理 3 上一页 下一页 返回 1 6向量在轴上的射影 解 上一页 返回 启示 实例 两向量作这样的运算 结果是一个数量 M1 M2 1 7两向量的数性积 下一页 返回 数量积也称为 点积 内积 结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积 定义 上一页 下一页 返回 关于数量积的说明 证 证 上一页 下一页 返回 数量积符合下列运算规律 1 交换律 2 分配律 若 为数 3 若为数 上一页 下一页 返回 1 7两向量的数性积 设 数量积的坐标表达式 上一页 下一页 返回 由勾股定理 向量模的坐标表示式 向量的模与空间两点间距离公式 上一页 下一页 返回 为空间两点 空间两点间距离公式 上一页 下一页 返回 解 设P点坐标为 所求点为 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 上一页 下一页 返回 解 上一页 下一页 返回 证 上一页 下一页 返回 空间两向量的夹角的概念 类似地 可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 特殊地 当两个向量中有一个零向量时 规定它们的夹角可在0与之间任意取值 方向角与方向余弦的坐标表示式 上一页 下一页 返回 非零向量的方向角 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 上一页 下一页 返回 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向 上一页 下一页 返回 当时 向量方向余弦的坐标表示式 上一页 下一页 返回 方向余弦的特征 上式表明 以向量的方向余弦为坐标的向量就是与同方向的单位向量 上一页 返回 1 8两向量的矢性积 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 返回 上一页 下一页 返回 定义 设 混合积的坐标表达式 1 9三向量的混合积 下一页 返回 1 向量混合积的几何意义 关于混合积的说明 上一页 下一页 返回 解 上一页 下一页 返回 式中正负号的选择保证结果为正 上一页 返回 解 例1 上一页 下一页 返回 水桶的表面 台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义 曲面的实例 2 2曲面的方程 下一页 返回 以下给出几例常见的曲面 解 根据题意有 所求方程为 特殊地 球心在原点时方程为 上一页 下一页 返回 得上 下半球面的方程分别是 由 由上述方程可得球面的一般式方程为 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 上一页 下一页 返回 反过来 对于三元二次方程 如果 则可化为 配方得 则当 时 3 式表示一个实球面 当 时 3 式表示一个点 当 时 3 式无图形 3 习惯上 把上面的点称为点球 把无图形时称为虚球面 三种情形统称为球面 因此有 球面的方程是一个三元二次方程 它的平方项系数相等 没有交叉项 反之 一个三元二次方程 如果它的平方项系数相等 没有交叉项 那么它表示一个球面 解 根据题意有 所求方程为 上一页 下一页 返回 根据题意有 化简得所求方程 解 上一页 下一页 返回 例4方程的图形是怎样的 根据题意有 图形上不封顶 下封底 解 以上方法称为截痕法 上一页 下一页 返回 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题 2 已知坐标间的关系式 研究曲面形状 讨论旋转曲面 讨论柱面 二次曲面 1 已知曲面作为点的轨迹时 求曲面方程 上一页 返回 空间曲线的参数方程 一 空间曲线的参数方程 2 3空间曲线的方程 下一页 返回 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程 不在曲线上的点不能同时满足两个方程 二 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 特点 2 3空间曲线的方程 下一页 返回 例1方程组表示怎样的曲线 解 表示圆柱面 表示平面 交线为椭圆 上一页 下一页 返回 例2方程组 解 上半球面 圆柱面 交线如图 表示怎样的曲线 上一页 返回 动点从A点出发 经过t时间 运动到M点 螺旋线的参数方程 取时间t为参数 解 上一页 下一页 返回 螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质 上升的高度与转过的角度成正比 即 上升的高度 螺距 上一页 返回 几何上就是在一张长方形的纸上画一条斜线 然后把纸卷成圆柱面 该直线可形成圆柱螺旋线 解 解 抛物柱面 平面 抛物柱面方程 平面方程 2 3母线平行与坐标轴的柱面方程 下一页 返回 从柱面方程看柱面的特征 其他类推 实例 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 母线 轴 母线 轴 母线 轴 上一页 下一页 返回 a b 椭圆柱面 上一页 下一页 返回 y o 双曲柱面 上一页 下一页 返回 抛物柱面 上一页 返回 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 法线向量的特征 垂直于平面内的任一向量 已知 设平面上的任一点为 必有 一 平面的点法式方程 3 1平面的方程 下一页 返回 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程 不在平面上的点都不满足上方程 上方程称为平面的方程 平面称为方程的图形 其中法向量 已知点 上一页 下一页 返回 解 所求平面方程为 化简得 上一页 下一页 返回 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 上一页 下一页 返回 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 二 平面的一般式方程 为一平面 上一页 下一页 返回 平面一般式方程的几种特殊情况 平面通过坐标原点 平面通过轴 平面平行于轴 平面平行于坐标面 类似地可讨论情形 类似地可讨论情形 平面的一般方程 上一页 下一页 返回 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 上一页 下一页 返回 设平面为 将三点坐标代入得 解 上一页 下一页 返回 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 上一页 下一页 返回 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 向量平行的充要条件 解 上一页 下一页 返回 化简得 令 所求平面方程为 或 上一页 返回 解 3 2平面与点的相关位置 下一页 返回 上一页 下一页 返回 点到平面距离公式 上一页 下一页 返回 在第一个平面内任取一点 比如 0 0 1 上一页 返回 定义 通常取锐角 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角 3 3两平面的相关位置 下一页 返回 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征 上一页 下一页 返回 例1研究以下各组里两平面的位置关系 解 两平面相交 夹角 上一页 下一页 返回 两平面平行 两平面平行但不重合 两平面平行 两平面重合 上一页 返回 定义 空间直线可看成两平面的交线 空间直线的一般方程 注 两平面不平行 一 空间直线的一般方程 3 4空间直线的方程 下一页 返回 方向向量的定义 如果一非零向量平行于一条已知直线 这个向量称为这条直线的方向向量 二 空间直线的对称式方程 直线的对称式方程 点向式方程 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 因此 所求直线方程为 例1求过点 1 0 2 且与平面3x 4y z 6 0平行 又与直线垂直的直线方程 解 设所求线的方向向量为 已知平面的法向量 已知直线的方向向量 取 上一页 下一页 返回 三 空间直线的参数式方程 令 方向向量的余弦称为直线的方向余弦 直线的参数方程 由直线的对称式方程 上一页 下一页 返回 例2用对称式方程及参数方程表示直线 解 在直线上任取一点 取 解得 点坐标 上一页 下一页 返回 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 得参数方程 令 上一页 下一页 返回 解 所以交点为 所求直线方程 上一页 返回 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角 3 5直线与平面的相关位置 下一页 返回 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系 上一页 下一页 返回 解 为所求夹角 上一页 下一页 返回 直线与平面的交点 上一页 下一页 返回 分析 关键是求得直线上另外一个点M1 M1在过M且平行于平面P的一个平面P1上 待求直线又与已知直线相交 交点既在P1上 又在L上 因此是L与P1的交点 例2求过点M 1 2 3 且平行于平面 又与直线 相交的直线方程 解过M作平行于平面P的一个平P1 上一页 下一页 返回 求平面P1与已知直线L的交点 P1 即P1 上一页 返回 定义 直线 直线 两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角 锐角 两直线的夹角公式 3 6空间两直线的相关位置 下一页 返回 两直线的位置关系 直线 直线 例如 上一页 下一页 返回 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 上一页 下一页 返回 解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N 令 M N L 上一页 下一页 返回 代入平面方程得 交点 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 上一页 返回 P1 于是 点到直线的距离公式 3 7空间直线与点的相关位置 下一页 返回 解 上一页 返回 水桶的表面 台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义 曲面的实例 4 1柱面 下一页 返回 观察柱面的形成过程 定义4 1 1平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 这条定曲线叫柱面的准线 动直线叫柱面的母线 母线 准线 上一页 下一页 返回 柱面举例 抛物柱面 平面 抛物柱面方程 平面方程 上一页 下一页 返回 从柱面方程看柱面的特征 其他类推 实例 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 母线 轴 母线 轴 母线 轴 上一页 下一页 返回 1 椭圆柱面 2 双曲柱面 上一页 返回 定义4 2 1通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面 这些直线都叫做锥面的母线 那个定点叫做锥面的顶点 锥面的方程是一个三元方程 特别当顶点在坐标原点时 4 2锥面 下一页 返回 n次齐次方程 F x y z 0 的图形是以原点为顶点的锥面 方程F x y z 0是n次齐次方程 准线 顶点 F x y z 0 反之 以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程 锥面是直纹面 锥面的准线不唯一 和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线 上一页 下一页 返回 请同学们自己用截痕法研究其形状 椭圆锥面 上一页 下一页 返回 解 圆锥面方程 或 上一页 返回 定义4 3 1以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面 这条定直线叫旋转曲面的旋转轴 这条曲线叫旋转曲面的母线 4 3旋转曲面 下一页 返回 曲线C C 绕z轴 上一页 下一页 返回 曲线C C 绕z轴 上一页 下一页 返回 曲线C 旋转一周得旋转曲面S C S M N z P y z o 绕z轴 f y1 z1 0 M x y z S 上一页 下一页 返回 曲线C 旋转一周得旋转曲面S C S M N z P 绕z轴 f y1 z1 0 M x y z f y1 z1 0 f y1 z1 0 S 上一页 下一页 返回 建立旋转曲面的方程 如图 将代入 得方程 上一页 下一页 返回 方程 上一页 下一页 返回 例1将下列各曲线绕对应的轴旋转一周 求生成的旋转曲面的方程 旋转双叶双曲面 上一页 下一页 返回 旋转单叶双曲面 上一页 下一页 返回 旋转椭球面 上一页 下一页 返回 旋转抛物面 上一页 下一页 返回 几种特殊旋转曲面 1双叶旋转曲面2单叶旋转曲面3旋转锥面4旋转抛物面5环面 上一页 下一页 返回 x 0 1双叶旋转双曲面 绕x轴一周 上一页 下一页 返回 x 0 绕x轴一周 1双叶旋转双曲面 上一页 下一页 返回 x 0 1双叶旋转双曲面 绕x轴一周 上一页 下一页 返回 a 2单叶旋转双曲面 上题双曲线 绕y轴一周 上一页 下一页 返回 a 上题双曲线 绕y轴一周 2单叶旋转双曲面 上一页 下一页 返回 a 2单叶旋转双曲面 上题双曲线 绕y轴一周 上一页 下一页 返回 3旋转锥面 两条相交直线 绕x轴一周 上一页 下一页 返回 两条相交直线 绕x轴一周 3旋转锥面 上一页 下一页 返回 两条相交直线 绕x轴一周 得旋转锥面 3旋转锥面 上一页 下一页 返回 o 4旋转抛物面 抛物线 绕z轴一周 上一页 下一页 返回 o 抛物线 绕z轴一周 4旋转抛物面 上一页 下一页 返回 y o x z 生活中见过这个曲面吗 4旋转抛物面 抛物线 绕z轴一周 得旋转抛物面 上一页 下一页 返回 卫星接收装置 例 上一页 下一页 返回 5环面 r R 绕y轴旋转所成曲面 上一页 下一页 返回 5环面 绕y轴旋转所成曲面 上一页 下一页 返回 5环面 绕y轴旋转所成曲面 环面方程 生活中见过这个曲面吗 上一页 下一页 返回 救生圈 5环面 上一页 返回 二次曲面的定义 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面 相应地平面被称为一次曲面 讨论二次曲面形状的截痕法 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截 考察其交线 即截痕 的形状 然后加以综合 从而了解曲面的全貌 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面 二次曲面 4 4椭球面 下一页 返回 截痕法 用z h截曲面 用y m截曲面 用x n截曲面 a b c 椭球面 上一页 下一页 返回 椭球面的方程 椭球面与三个坐标面的交线 椭球面 上一页 下一页 返回 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化 椭球面与平面的交线为椭圆 同理与平面和的交线也是椭圆 上一页 下一页 返回 椭球面的几种特殊情况 旋转椭球面 由椭圆绕轴旋转而成 旋转椭球面与椭球面的区别 方程可写为 与平面的交线为圆 上一页 下一页 返回 球面 截面上圆的方程 方程可写为 上一页 返回 单叶双曲面 一 单叶双曲面 4 5双曲面 下一页 返回 与平面的交线为椭圆 当变动时 这种椭圆的中心都在轴上 2 用坐标面与曲面相截 截得中心在原点的双曲线 实轴与轴相合 虚轴与轴相合 上一页 下一页 返回 单叶双曲面图形 3 用坐标面 与曲面相截 均可得双曲线 上一页 下一页 返回 二 双叶双曲面 双叶双曲面 上一页 下一页 返回 单叶 双叶 在平面上 双曲线有渐进线 相仿 单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面 用z h去截它们 当 h 无限增大时 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近 即 双曲面和锥面任意接近 渐进锥面 双曲面及其渐进锥面 上一页 返回 第五章二次曲线的一般理论 在平面上 由二元二次方程 所表示的曲线 叫做二次曲线 在这一章里 我们将讨论二次曲线的几何性质 以及二次曲线的化简 最后对二次曲线进行分类 下一页 返回 为了方便起见 特引进一些记号 上一页 下一页 返回 上一页 返回 讨论二次曲线 与直线 的交点 可以采用把直线方程 2 代入曲线方程 1 然后讨论关于t的方程 1 2 5 1二次曲线与直线的相关位置 下一页 返回 3 4 对 3 或 4 可分以下几种情况来讨论 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 返回 1 二次曲线的渐近方向 定义5 2 1满足条件 X Y 0的方向X Y叫做二次曲线的渐近方向 否则叫做非渐近方向 定义5 2 2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的 即1 椭圆型 I2 02 抛物型 I2 03 双曲型 I2 0 5 2二次曲线的渐近方向 中心 渐近线 下一页 返回 2 二次曲线的中心与渐近线 定义5 2 3如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点 C是二次曲线的对称中心 那么点C叫做二次曲线的中心 定理5 2 1点C x0 y0 是二次曲线 1 的中心 其充要条件是 推论坐标原点是二次曲线的中心 其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项 上一页 下一页 返回 二次曲线 1 的的中心坐标由下方程组决定 如果I2 0 则 5 2 2 有唯一解 即为唯一中心坐标 如果I2 0 分两种情况 上一页 下一页 返回 定义5 2 4有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线 没有中心的二次曲线叫无心二次曲线 有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线 无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线 定义5 2 5通过二次曲线的中心 而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线 定理5 2 2二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点 或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分 上一页 返回 定义5 3 1如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点 那么这条直线就叫做二次曲线的切线 这个重合的交点叫做切点 如果直线全部在二次曲线上 我们也称它为二次曲线的切线 直线上的每个点都可以看作切点 定义5 3 2二次曲线 1 上满足条件F1 x0 y0 F2 x0 y0 0的点 x0 y0 叫做二次曲线的奇异点 简称奇点 二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点 5 3二次曲线的切线 下一页 返回 定理5 3 1如果 x0 y0 是二次曲线 1 的正常点 那么通过 x0 y0 的切线方程是 x x0 F1 x0 y0 y y0 F2 x0 y0 0 x0 y0 是它的切点 如果 x0 y0 是二次曲线 1 的奇异点 那么通过 x0 y0