第一讲：集合的概念及表示方法.doc

第一讲：集合的含义与表示教学目标：理解集合的含义，知道常用数集及其记法；初步了解属于关系和集合相等意义，初步了解集合的分类及性质；初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合教学重点：集合的含义及其表示方法教学过程：1、 问题情境蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔；茫茫的草原上，一群羊在悠闲地走动；清清的湖水里，一群鱼在自由的游泳；鸟群，羊群，鱼群都是“同一类对象汇集在一起”，这就是本章将要学习的集合在初中学习数的分类时，已接触过“正数的集合”、“负数的集合”，集合这一概念在数学中被广泛运用，集合语言是近现代数学的基本语言，利用它可以简洁、准确地表述数学对象那么，我们不禁要问：集合的含义是什么？二、学生活动让同学介绍自己的家庭、现在的班级等情况问题：像“家庭”、 “班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？三：知识要点（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。如“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素就是北京、上海、天津、重庆这四个城市“Young中的字母” 构成一个集合，该集合的元素就是y,o,u,n,g这五个字母“book中的字母” 也构成一个集合，该集合的元素就是b,o,k这三个字母，所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集方程或2，1与2组成的集合称为方程的解集自然数的集合 0，1，2，3，故事：一位数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今于学到了什么？女儿高兴地回答说：“我们今天学习了集合.”数学家想：对于一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了.因此他关切地问：“你懂吗？”女儿肯定地回答：“懂!一点也不难.”父亲还是放心不下：“你们老师是怎么教的？”女儿说：“老师先让男孩子站起来，说：这是男孩组成的集合.然后又让女孩子站起来，说：这是女孩组成的集合.最后老师问我们：都懂了吗？大家回答说：都懂了!”听玩女儿的陈述，父亲决定用下面的问题作最后的检验：“那么，世界上所有的土豆是否能组成一个集合呢？”迟疑了一会儿，女儿最终回答道：“不能!除非它们都能站起来.”大家认为这位小孩回答的是否是正确的呢？3.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1） 大于3小于11的偶数；（2） 我国的小河流；（3） 非负奇数；（4） 方程的解；（5） 某校2007级新生；（6） 血压很高的人；（7） 著名的数学家；（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9）全班成绩好的学生。4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关。5.两个集合相等：构成两个集合的元素是一样的。6.元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作aA（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA。7.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，直角三角形，。五：典型例题考点一：集合的有关概念例1：下列各组对象不能组成集合的是( )。A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点变式训练1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人C.中国的富翁 D.某公司的全体员工考点二：元素与集合的关系例2：(1)A=1,3,判断元素3,5和集合A的关系,并用符号表示.(2)所有素质好的人能否表示为集合?(3)A=2,2,4表示是否准确?(4)A=太平洋,大西洋,B=大西洋,太平洋是否表示同一集合?解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于()和不属于(),知3属于集合A,即3A,5不属于集合A,即5A.(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A不能表示为集合.(3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A=2,4.(4)因其元素相同,A与B表示同一集合.例3：在数集2x,x2-x中,实数x的取值范围是。分析:实数x的取值满足集合元素的互异性,则2xx2-x,解得x0且x3,实数x的取值范围是x|x0或0x3.答案：x|x0或0x3例4：已知数集A=，求实数的值。分析：16=；同时考虑到集合元素的互异性。例5：集合A中的元素由关于x的方程kx2-3x+2=0的解构成,其中kR,若A中仅有一个元素,求k的值.解：由于A中元素是关于x的方程kx2-3x+2=0(kR)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题设;若k0,则方程为一元二次方程,当=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两相等的实数根,此时A中有一个元素.综上所述k=0或k=.变式训练1.用符号或填空:(1)1_N,0_N,-3_N,0.5_N,_N;(2)1_Z,0_Z,-3_Z,0.5_Z,_Z;(3)1_Q,0_Q,-3_Q,0.5_Q,_Q;(4)1_R,0_R,-3_R,0.5_R,_R.2.数集3,x,x2-2x中,实数x满足什么条件?3.方程ax2+5x+c=0的解集是,则a=_,c=_.考点三：集合的表示方法例6：用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;(3)由120以内的所有质数组成的集合.(4)(5)(6)(7)(8)解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B=0,1.(3)设由120以内的所有质数组成的集合为C,那么C=2,3,5,7,11,13,17,19.变式训练1.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x2-9=0的解组成的集合;(4)15以内的质数;(5)x|Z,xZ.列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“”内,并写成A=的形式.说明：书写时，元素与元素之间用逗号分开；一般不必考虑元素之间的顺序；集合中的元素可以为数，点，代数式等列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为例7：用描述法表示下列集合(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;(2)坐标平面内数轴上的点集合;(3)不等式x-73的解集.解：(1)二次函数y=x2上的点(x,y)的坐标满足y=x2,则二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为(x,y)|y=x2;(2)(3)不等式x-73的解是x10,则不等式x-73的解集表示为x|x2，(x,y)|y=x2+1，x|直角三角形，；学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意与的区别是集合的一个元素，而是含有一个元素的集合，二者的关系是（2）注意与的区别是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或来表示实数集这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思（4）用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合中的元素是，这个集合表示二元方程的解集，或者理解为曲线上的点组成的点集；集合中的元素是，这个集合表示函数中自变量的取值范围；集合中的元素是，这个集合表示函数中函数值的取值范围；集合中的元素只有一个（方程），它是用列举法表示的单元素集合变式训练1.用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab0)的解;(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合;(6)方程组的解的集合;(7)1,3,5,7,;(8)x轴上所有点的集合;(9)非负偶数;(10)能被3整除的整数.六：课堂练习1.下列对象能否组成集合:(1)数组1、3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)满足3x-2x+3的全体实数;(4)所有直角三角形;(5)美国NBA的著名篮球明星;(6)所有绝对值等于6的数;(7)所有绝对值小于3的整数;(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.2.说出下面集合中的元素:(1)大于3小于11的偶数;(2)平方等于1的数;(3)15的正约数.3.判断正误:(1)所有属于N的元素都属于N*. ( )(2)所有属于N的元素都属于Z. ( )(3)所有不属于N*的数都不属于Z. ( )(4)所有不属于Q的实数都属于R. ( )(5)不属于N的数不能使方程4x=8成立. ( )4.分别用列举法、描述法表示方程组的解集.5已知集合中的三个元素是的三边长，那么一定不是 （ ）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形6. 已知，求，的值.7.已知集合A=，试用列举法表示集合A.1.1.2 集合间的基本关系教学目标：1.理解子集、真子集概念；2.会判断和证明两个集合包含关系；3.理解“ ”、“”的含义；4.会判断简单集合的相等关系；5.渗透问题相对的观点。教学重点：子集的概念、真子集的概念教学难点：元素与子集、属于与包含间区别教学过程：（I）情景引入：战国时期有个公孙龙提出“白马非马”的言论，请问白马真的不是马吗？ （）讲授新课观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？ (1) A=1，2，3，B=1，2，3，4，5.(2) A=x|x3,B=x|3x-60. (3) A=正方形，B=四边形.(4) A=，B=0.（5）A=银川九中高一（11）班的女生，B=银川九中高一（11）班的学生。通过观察就会发现，这五组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有：1.子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA）,即若任意xA,有xB，则AB(或AB)。 这时我们也说集合A是集合B的子集（subset）。 如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作AB（或BA），即:若存在xA,有xB，则AB(或BA)说明：AB与BA是同义的，而AB与BA是互逆的。规定:空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有A。例1判断下列集合的关系. (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x| (x-1)2=0， B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3， B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1， B=x|x2-1=0;（8）A=x|x是两条边相等的三角形 B=x|x是等腰三角形。 问题3：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？集合A与集合B的元素完全相同，从而有：2.集合相等 定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（即AB），同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即BA），则称集合A等于集合B，记作A=B。如：A=x|x=2m+1，mZ，B=x|x=2n-1，nZ，此时有A=B。 问题4：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是） （2）除去与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包含于A，但不等于A）3.真子集： 由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：(1)AA (任何集合都是其自身的子集)；(2)若AB，而且AB（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作A B。（空集是任何非空集合的真子集）(3)对于集合A，B，C，若AB，BC，即可得出AC；对A B，B C，同样有A C, 即：包含关系具有“传递性”。4.证明集合相等的方法：（1） 证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）（2） 分别证明AB和BA即可。（抽象情况）对于集合A，B，若AB而且BA，则A=B。（III） 例题分析： 例2判断下列两组集合是否相等？ （1）A=x|y=x+1与B=y|y=x+1; (2)A=自然数与B=正整数例3(教材P8例3)写出a，b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.例4解不等式x-32，并把结果用集合表示。结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。例5已知三个元素集合Ax,xy,x-y,B=0,x,y且A=B，求x与y的值。练习：1、判断下列集合的关系. (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x| (x-1)2=0，B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3，B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1，B=x|x2-1=0; （8）A=x|x是两条边相等的三角形，B=x|x是等腰三角形。2、设A=0，1，B=x|xA，问A与B什么关系？3、判断下列说法是否正确？（1）NZQR； （2）AA； （3）圆内接梯形等腰梯形； （4）NZ； （5）； （6）4.含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值。课后作业：1.1.1 集合的含义与表示 一、选择题1下列各组对象接近于0的数的全体；比较小的正整数全体；平面上到点O的距离等于1的点的全体；正三角形的全体；的近似值的全体其中能构成集合的组数有( )A2组B3组C4组D5组2设集合M大于0小于1的有理数，N小于1050的正整数， P定圆C的内接三角形，Q所有能被7整除的数，其中无限集是( )AM、N、PBM、P、QCN、P、QDM、N、Q3下列命题中正确的是( )Axx220在实数范围内无意义B(1，2)与(2，1)表示同一个集合C4，5与5，4表示相同的集合D4，5与5，4表示不同的集合4直角坐标平面内，集合M(x，y)xy0，xR，yR的元素所对应的点是( )A第一象限内的点B第三象限内的点C第一或第三象限内的点D非第二、第四象限内的点5已知Mmm2k，kZ，Xxx2k1，kZ，Yyy4k1，kZ，则( )AxyMBxyXCxyYDxyM6下列各选项中的M与P表示同一个集合的是( )AMxRx20.010，Pxx20BM(x，y)yx21，xR，P(x，y)xy21，xRCMyyt21，tR，Ptt(y1)21，yRDMxx2k，kZ，Pxx4k2，kZ二、填空题7由实数x，x，x所组成的集合，其元素最多有_个8集合3，x，x22x中，x应满足的条件是_9对于集合A2，4，6，若aA，则6aA，那么a的值是_10用符号或填空：1_N，0_N3_Q，0.5_Z，_R_R，_Q，3|_N，_Z11若方程x2mxn0(m，nR)的解集为2，1，则m_，n_12若集合Axx2(a1)xb0中，仅有一个元素a，则a_，b_13方程组的解集为_14已知集