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普通物理实验 绪论 1 课程名称 普通物理实验面向专业和年级 理学院应用物理系本科生必修课程地位 物理背景专业本科生在大学中接受实验技能训练的第一门课 学习要求高于非物理类工科专业的大学物理实验 一课程信息 2 课程目的 通过本课程的学习 使大家受到基本物理概念 基本物理实验方法 基本物理实验技能方面的基础训练 逐步培养进行科学实验的能力 培养从事科学实验的素质 包括实事求是的科学作风 认真负责的工作态度 遵守纪律 爱护公共财物的优良品德 3 物理实验课的基本程序 三个教学环节 实验的预习实验的操作写实验报告 4 实验的预习 预习要求理解实验的目的和原理 弄懂重要的物理概念和公式 了解实验的具体过程 实验操作的关键 在此基础上写出预习报告 预习报告应包括 1 实验名称2 实验目的3 仪器设备 应写出型号 4 简要原理和计算公式 电学实验必须画出电路图 光学实验必须画出光路图 其他实验应画出仪器装置简图 5 实验步骤6 实验数据表格 5 实验的操作 认真观察实验现象 如实记录实验数据每位同学都必须动手操作 抄袭他人实验数据的将不能得分不要遗漏实验内容 严格按照步骤和要求进行操作爱惜实验仪器 实验完毕后整理好方可离开 6 实验成绩评定 每个实验满分100 由四部分组成 1 预习20 预习课表现8 预习报告12 2 操作35 评定操作课表现 3 数据和结果30 评定实验报告中的数据处理和实验结果 4 分析讨论15 评定实验报告中的分析讨论 实验完成后 下一周上课时交实验报告 7 写实验报告 完整的实验报告应包括以下几个部分 1 6为预习报告内容 1 实验名称2 实验目的3 仪器设备 应写出型号 4 简要原理和计算公式 电学实验必须画出电路图 光学实验必须画出光路图 其它实验应画出仪器装置简图 5 实验步骤6 实验数据表格7 主要计算过程 包括误差计算 和作图 波形图 关系图 曲线图等 8 实验结果9 分析讨论 可以对实验中涉及到的常用方法进行总结 对实验结果和误差进行评价和分析 对与实验相关的理论公式进行推导等 8 进度安排 第2周 绪论课第3周 长度测量 上课地点 综合实验楼413 第4 14周 分成8组 每组3或4人 轮流完成8个实验 实验地点 综合实验楼413 416 第15周 复习第16周 期末考试 笔试 闭卷 卷面满分100考试内容 结合具体实验考查测量误差及数据处理的基本知识 常用量具的读数 示波器的使用等 平时成绩 9个实验成绩 9课程成绩 平时成绩 考试成绩 2 9 实验项目 长度测量A 示波器的使用B 三线摆测转动惯量C 碰撞打靶D 电桥及其应用E 物体密度的测量F 拉伸法测量金属丝的杨氏弹性模量G 薄透镜焦距的测量H 光的干涉和应用 牛顿环 10 二测量及误差理论 测量分类误差与误差分类测量的精密度 准确度与精确度仪器的误差限和灵敏度随机误差不确定度的概念多次测量的误差估计间接测量的误差计算有效数字的几个概念物理实验的数据处理方法曲线拟合 11 不等精度测量 在所有的测量条件下 只要有一个发生变化 所进行的测量为不等精度测量 测量 等精度测量 直接测量 间接测量 单次测量 多次测量 不等精度测量 1测量分类 等精度测量 对某一物理量进行多次测量 且每次测量条件都相同 如同一观察者 同一组仪器 同一测量方法和同样环境条件下测试等等 12 误差是观测值与真值之差 误差就其性质和来源分为偶然误差 系统误差和疏忽误差三大类 2误差与误差分类 偶然误差 亦称随机误差 包括判断误差 实验条件涨落及观测者所不能控制的干扰所引起的误差 其特点为 测量结果变化不定 其值与真值之差时正时负 时大时小 并且分布于某一范围之内 服从于统计规律 这类误差无法避免 也无法直接消除与修正 13 系统误差包括仪器仪表校准的误差 个人习惯的误差 实验条件及不完善技术所产生的误差 系统误差表现在一系列重要测量中测量结果差不多都朝着相同方向偏离真值一定值 系统误差可以通过检查改进实验方法或测量设备引进相应的修正值 使之尽量减少 可在实验前 预见一切可能产生系统误差的来源 设法测量之 并从计算中消去之 疏忽误差是由于实验者的疏忽大意引起的 所以称为过度误差 此类误差可以避免 14 精密度是指重复测量的结果彼此接近的程度 彼此非常接近的 叫高精密度 彼此离散得大的 叫低精密度 因此 精密度描述实验重复性的程度 准确度是指测量值接近真值的程度 3测量的精密度 准确度与精确度 精密度高准确度高 精密度低准确度低 精密度低准确度高 精密度高准确度低 相比较而言 精确度很高精确度较高精确度较低精确度很低 精确度是对测量的系统误差和随机误差的综合评定 通俗地讲 测量的精确度高是指测量数据比较集中在真值附近 15 测量仪器 量具 仪表和标准器等 都有国家标准规定的准确度等级 依据所用仪器的等级和量程可以计算出仪器的基本误差限或示值误差 例 0 25mm的1级千分尺 螺旋测微器 的误差限为0 004mm 150mA的0 5级的电流表的误差限为0 75mA 4仪器的误差限和灵敏度 有时会出现这样的情况 举例 用精密的0 01秒表对单摆的周期测量时 发现每次测量值都不一样 而用0 1秒等级的秒表测量 多次测量的结果都一样 是不是低精度的仪表测量结果反而好呢 显然不是 原因是小于0 1s的时间变化用0 1级的秒表反映不出来 16 我们称足以使仪器示值可察觉到的被测量最小变化值为仪器的灵敏阈值 仪器的灵敏度 一般来说 测量仪器的灵敏阀值小于示值误差限 而示值误差限小于最小分度值 例如 一级千分尺的最小分度为0 01mm 示值误差限为0 004mm 灵敏阈值为0 002mm或0 001mm 17 根据特点1不难推理 在相同条件下对同一物理量进行测量 其误差 的算术平均值随测量次数的增加而趋向零 即 5随机误差 随机误差的特点 或称为随机误差公理 1 对称性 在测量次数n很大时 绝对值相等的正误差负误差出现的次数趋于相等 2 单峰性 绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多 3 有界性 在一定测量条件下的有限次测量下 误差的绝对值具有不会超过一定的界限的特性 18 满足上述条件的误差分布规律是正态分布 即满足关系式 其中 为算术误差 f 为算术误差出现的概率密度 曲线下面的面积等于1 即 作正态分布函数从 到 的积分 即测量值的误差落在 区间内的概率 可计算得 19 当 小时 分布曲线陡峭 表示测量列中小误差出现的几率大 测量的精密度高 当 大时 分布曲线平缓 表示该测量列中大误差出现的几率增加 测量的精密度较低 所以 是反映测量精密度高低的物理量 这里再对 的含义作一些较通俗解释 测量数据愈集中 就意味着在作为测量结果的平均值附近测量值出现的机会愈多 那么我们对该测量结果是测量对象实际值的信赖程度也就愈高 换一种说法就是测量结果的不确定程度也就越小 所以 同时也作为表达测量结果不确定度的参数 20 用正态分布可以计算出任何一次测量误差落在 3 3 范围内的概率为99 7 即误差超过 3 的概率只有0 3 在一般有限次测量中几乎是不可能出现的 因此 可以用 的倍数标志测量值的可靠性程度 即U C 该倍数即为置信系数C 当C 3时 U 3 称其为极限误差 置信概率为99 7 当C 1时 U 其即为标准误差 置信概率为68 3 标准误差和极限误差 21 设有n次测量的测量列 其中任意一个测量值的误差可近似地用表示 通常称之为残差 该测量值对应的标准偏差为 在实际测量中 由于真值是不可知的 且测量次数也不可能是无限的 通常用n次测量值的算术平均值作为测量值的最佳估计值 测量列的随机误差估计 因为当n 时 也就是说Sx能作为反映有限测量列的离散程度 算术平均误差为 22 显然 随着n的增大 测量列平均值的偏差Sx会越来越小 但是 其减少程度在n大于10后变得缓慢 如图所示 因此 在实际测量中 一般只测10 20次来减小随机误差足以 在有限次数的测量中 相同n次测量值的算术平均值一般是不相等 在n一定时 一系列也满足正态分布 该平均值的标准偏差为 23 在实验中 当测量次数很少是 例如当n 10 误差分布不服从正态 高斯 分布 而是过渡到t分布 理论证明 可由t分布提供一个系数因子 简称t因子 用t因子乘上算术平均值的标准误差来估计测量结果的误差 测量次数很少时的置信区间的确定 t分布 不同置信概率P下的t因子和测量次数n的关系 24 练习题对一长度测量10次数据为1 58 1 57 1 55 1 56 1 59 1 56 1 55 1 54 1 57 1 57 试求其算术平均误差和标准误差 并应用正确的表达式予以表示 25 不确定度的分量 A类分量 用统计方法计算的分量 与随机误差相当 B类分量 用其他方法计算的分量 不确定度的合成 由二类分量的方和根方法确定 即 测量不确定度 由于测量误差存在而对被测量值不能肯定的程度 定义 不确定度为表征被测量的真值所在的量值范围的评定 是用来表述测量结果分散性的参数 6不确定度的概念 26 其中 si表示A类分量第i个误差因素产生的不确定度 uj表示B类分量第j个误差因素产生的不确定度 合成不确定度仍然是一个标准差 总不确定度 U C C为置信因子 27 这个推断需要丰富的实验经验 一般情况下 假设仪器产生的误差在误差限内是均匀分布的 均匀分布的标准差为 其置信概率为0 577 在物理实验中 经常遇到一些不能多次测量的量 如测量热敏电阻的电阻 温度特性实验中 温度的测量只能是一次性的 相应的电阻也只能是一次性的 又如仪器的精度较低 或被测对象不稳定 多次测量的结果并不能反映测量结果的随机性 即多次测量已经失去意义 在这些情况下 我们往往把测量值作为该物理量的值 而依仪器误差的特点推断测量结果的不确定度 6单次测量的误差估计 28 如用0 1 分度的水银温度计测量水温t为28 30 温度计的误差为 则温度表示为 29 例 千分尺测量一铜棒的直径d 所得的数据如下表 千分尺的误差 且有零点误差 恒定系统误差 求 测量结果 总不确定度 7多次测量的误差估计 30 解 1 算术平均值 2 误差分析 标准差 千分尺的误差 合成不确定度表示误差的不确定度与测量结果的有效数字保持一致 即测量结果表示为 相对不确定度为 总不确定度 31 设为间接测量量 且有 其中是彼此独立的直接测量量 利用全微分公式它表示 当有一微小的变化时 的变化为 如果把看成误差 即成为误差传递公式 8间接测量的误差计算误差传递的基本公式 32 其中各项称为分误差 而叫作误差传递系数 一个量的测量误差对总误差的贡献 不仅取决于其本身误差的大小 且取决于误差传递系数 33 常用函数的标准差传递公式 34 练习题写出下列各函数的标准误差传递公式1 圆柱体的体积 2 密度测量 3 转动惯量 4 金属线的原始长度 35 求间接测量结果的误差的步骤 对函数求全微分 或先取对数再求全微分 对乘除法 合并同一分量的系数 从而可以得到最简单形式 将微分号变为误差号 求平方和 然后再开方 36 例 用流体静力称衡法测量固体的密度 其公式为 今测量9次 测得的数据如下 试计算密度 37 解 先计算直接测量量的平均值及其标准差 再用物理关系及其误差传递公式计算间接测量量及其标准偏差 测量结果为 38 1 有效数字的定义可靠的几位数字加上可疑的一位数字统称为测量结果的有效数字 2 与有效数字定义有关的几个概念 1 有效数字位数与小数点和单位无关用以表示小数点位置的 0 不是有效数字 2 当 0 不是表示小数点位置时 为有效数字 因此数据最后零不能随便加上 也不能随便减去 例如 0 02040米中 2 前面的 0 不是有效数字 而中间和最后的 0 为有效数字 最后的 0 不能省略 9有效数字的几个概念 39 3 有效数字反映仪器的精度 读数时 必须读到估读的一位 即最后一位是估读的 是有误差的 例如 1 35cm 其中0 05为估读位 米尺的最小分度值为0 1cm 因此估读位为0 01cm 因而1 35cm很可能是用米尺测量的 而1 3500cm则一定不是用米尺测量的 而是用千分尺测量的 4 有效数字的科学书写方式 浮点书写规则 将有效数字首位作个位 其余各位均位于小数点后 再乘以10的方幂 例如 25 46cm 254 6mm 2 546 105 m 40 依照截尾数字分布的统计均匀规律 有效数字的截尾采用四舍五入 纯五依奇偶的原则 有效数字在运算的过程中 会出现很多位数受估读位的影响 如果都给予保留 既繁琐又不合理 下面讨论如何合理地确定运算结果的有效数字的位数 有效数字的运算规则 1 在有效数字计算时会遇到有效位的舍取 故先讨论有效数字截尾的舍入规则 例1 保留三位有效数字2 3473 2 352 3451 2 352 345 2 342 3449 2 342 3427 2 34 例2 保留三位有效数字2 3773 2 382 3751 2 382 375 2 382 3749 2 372 3727 2 37 因纯五的情况较少见 故通常只遵循四舍五入也可以 41 2 在进行有效数字运算前 先确定几个运算规则 1 有效数字相互运算后仍为有效数字 既最后一位可疑其它位数均可靠 2 可疑数与可疑数相互运算后仍为可疑数 但其进位数可视为可靠数 3 可疑数与可靠数相互运算后仍为可疑数 4 可靠数与可靠数相互运算后仍为可靠数 42 在运算中 为了与可靠数字加以区别 可疑数字以红色数字表示 1 有效数字的加减法则计算10 1 1 551 3 下面用实例讨论如何确定有效数字的运算法则 数值11 651的末两位已无意义 根据舍入法改写为11 7 有效数字经过加减运算后 得数的最后一位数应该与参与运算的诸数中可疑位数最高的位数一致 43 计算12 385 1 1 有效数字经过乘除运算后 得数的有效数字的位数与参与运算的各数中有效数字位数最少那个数的有效数字位数相同 93 505 12 舍入后13 6235变为14 所以12 385 1 1 14 同理93 505 12 7 8 2 有效数字的乘除运算法则 44 3 乘方 开方的有效数字运算后的有效数字位数与底数的有效数字相同 45 例 求cos7o26 的数值 4 三角函数 对数 指数有效数字运算法则一般可采用函数增量分析的方法 先决定误差位 再将测量结果误差位对齐 由误差传递公式可得cos7o26 的误差 sin7o26 1 这里角度是直接测量量 其测量量具为角游标尺 其最小分度值为1 所以 1 1 60 o 1 60 180 2 将 2 代入 1 得 sin7o26 1 60 180 0 00004所以 cos7o26 0 99198 46 例 例 1 对数对数运算结果的小数点后面的位数与原值的位数相同 当原值的第一位数大于 5 时 多取一位 对数 指数和三角函数有效数字取位简略规则如下 2 指数运算结果的有效位数与原值指数的小数点后的位数相同 包括零 47 5 特殊数的有效数字位数参与运算的准确数字或常数 比如2 e等的有效数字的位数可以认为有无限位 48 实验结果的表达 49 用0 1 分度的水银温度计测量水温t为28 35 温度计的误差为 则温度表示为 不确定度的位数与有效位数对齐 按宁大勿小进位 若实验仪器长期使用而又不被经常校准 如教学仪器 不确定度通常只取一位 也按宁大勿小进位 单次测量结果的表达 一位估读值 50 这时有效位数与不确定度的位数对齐 按宁大勿小进位 可接受的不确定度位数一般为1或2位 若不确定度超过有效位数两位的 说明相关的测量有待改进 对于一般教学实验 不确定度通常只取一位 也按宁大勿小进位 作为中间结果 可以多保留一位 等精度多次测量结果的表达 51 这时有效位数也向不确定度的位数对齐 不确定度按宁大勿小进位 可接受的不确定度位数一般为1或2位 对于一般教学实验 不确定度通常只取一位 按宁大勿小进位 结果的有效位数向不确定度对齐 间接测量结果的表达 间接量w的值按照有效数字计算规则和四舍五入法则确定 52 练习题计算以下各式的结果及其误差 标准误差 1 y A 2B C 2D 其中A 38 206 0 001cm B 13 2487 0 0001cm C 161 25 0 01cm D 1 3242cm 0 01cm 2 三角形边a 10 00 0 01cm b 15 00 0 02cm 夹角 30 0 0 5o 由其面积公式 求面积S及其误差 53 实验中 被记录下来的原始数据还需要经过适当的处理和计算才能反映出事物的内在规律或得出测量值 这种处理的计算过程称为数据处理 根据不同的需要 可采用不同的数据处理方法 10物理实验的数据处理方法 一 列表法把数据按一定的规律列成表格 可以使物理量之间的一一对应关系简明 醒目 也有助于发现其间的规律 比如递增或递减 列表法要点 1 表格设计力求合理 简明 便于观察 2 各栏目中的物理量均应注其名称和单位 3 各量排列顺序尽量与测量顺序一致 以便寻规律 54 作图要点 1 标明横坐标和纵坐标的分度 变量名及单位 2 实验数据点用 等标出 交点处即为实验数据的位置 多组数据用不同颜色的 等标出 并标明图例 二 作图法作图是指将自变测量量作为横坐标 因变测量量作为纵坐标在坐标纸上一一找出对应点 称为实验点 再把这些实验点连成曲线 从而发现两个测量量之间的关系 坐标纸分为方格纸 单对数纸 双对数纸 概率纸等多种 使用时 可根据需要选择 统一用25X20毫米方格纸 可以将画图部分剪贴到实验报告纸上 55 例 设用一实验方法测得出Y与X对应数据如下表 试用作图法求其经验公式 从数据表上看出Y对均匀变化的X较为均匀的变化 所以可估计X Y曲线为直线 令Y aX b 如图可求得a tan 22 5o 0 41 b 1 5 所以经验公式为Y 0 41X 1 5 56 手工画图时 数据点用十字叉丝 交叉点为测量值的位置 57 某些函数关系是非线性关系 图线常常不易画 而且也难判断实验结果的特点 但若能通过某些坐标的变换来处理 就可以把曲线变换成直线 从而获得许多好处 例 在热敏电阻温度测量实验中 所得实验数据记录如下表 在转换测量中 常将被测量量经某种方法转换为另一种物理量显示 于是利用读出的量与被测量之间的固定关系 由读出的量找出相应的被测量值 58 59 作变换用lnRT 1 T作图 就变为一条直线关系 60 11曲线拟合 把实验数据画成图表 虽然可以通过曲线拟合表示出一定的物理规律 求出相关物理量 但是它存在着较多的主观随意性 对于同一组测量数据作图 不同的人可以得出的不同的结果 由一组实验数据找出一条最佳拟合曲线 常用的方法是最小二乘法 所得的变量之间的函数关系称为回归方程 这里介绍物理实验中最常用的用最小二乘法进行一元线性拟合方法 最小二乘法原理 最佳拟合直线上的函数值与各相应点测量值之差的平方和在所有拟合直线中为最小 61 假定每个测量点 xi yi 都是等精度的 且xi没有误差 设拟合直线上的函数值y与各相应点测量值yi之差为vi yi a bxi 最小二乘法原理 最佳拟合直线上的函数值与各相应点测量值之差的平方和在所有拟合直线中为最小 现在的目标是确定a和b 使差值vi的平方和最小 62 63 假定每个测量点 xi yi 都是等精度的 且xi没有误差 设拟合直线上的函数值y a bx与各相应点测量值yi之差为vi yi a bxi 最小二乘法原理 最佳拟合直线上的函数值与各相应点测量值之差的平方和在所有拟合直线中为最小 现在的目标是确定a和b 使差值vi的平方和最小 64 r 0 973 r 0 995 65 三物理实验常用基础仪器的有关知识 游标卡尺螺旋测微器秒表电表磁电式仪表数字仪表电阻箱电源 66 1 游标卡尺 深度量尺 游标 主尺 固定螺钉 数显游标卡尺 校零 电源开关 公制英制转换 为了提高米尺的测量精度 通常在米尺 主尺 上附带一个可以沿尺身移动的小尺 游标 游标上的分度值x与主尺分度值y之间有一定关系 一般使游标上p个分度格的长度与主尺上 p 1 个分度格的长度相等 即使得pX p 1 y主尺与游标上每个最小分格之差 为 y x y p差值 称为游标尺的精度 它表示了游标尺能读准的最小值 也就是游标的最小分度值 67 常用的游标 0 1mm 0 05mm 0 02mm 游标尺的准确度 即仪器的误差限 1 68 卡尺的指示值为37 02 测量结果 用误差限表达 D 37 02 0 02 mm用不确定度表达 D 37 02 0 02 mm 测量结果 d 3 10 0 02 mm 卡尺的指示值为3 1 卡尺的指示值为3 10 69 2 螺旋测微器 70 零点误差 0 005mm 指示值 0 465mm 刻度间的估读方法 1 2估读 1 5估读 细丝直径的测量值 0 460mm 71 3秒表 启动 停止按钮 日期时间 秒表按钮 照明 清零按钮 仪器误差 仪 0 01 0 0000058tt为计时时间 人操作所产生的测量误差 0 2s 测量结果t 12 8 0 2 s 72 4电表 电测仪表的种类很多 根据结构原理不同 分磁电系仪表 电磁系仪表 电动系仪表等 其用途各不相同 在物理实验室中常用的绝大多数电表是磁电系仪表 它不但可直接用于对直流电参量的测量 而且与附加整流器结合用来测量交流电参量 或加上换能器 还可以对非电量进行电测 73 电表 当动圈中有电流通过时 动圈与磁场相互作用 产生一定大小的磁力矩 使线圈发生偏转 与此同时 与动圈固定在一起的游丝