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;. 常微分方程 期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩 题号一二三总分分数得分.一、填空（每格3分，共30分）1、方程有只与有关的积分因子的充要条件是 。2、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是 。3、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。4、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 。5、当 时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。6、若是的基解矩阵，则满足的解 。7、若为n阶齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 。8、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程 的解。9、如果在上 且关于满足李普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中 ，。得分二、 计算题(每题10分,共50分) 10、求方程 的解。11、求方程通过点的第二次近似解。12、求非齐线性方程的特解。13、求解恰当方程 。14、求伯努利方程得分三、证明.（20分）15、1)试验证初值问题，的解为: ;2）求该微分方程组的expAt。 试卷（1）答案一、填空（每格3分，共30分）1、方程有只与有关的积分因子的充要条件是。2、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是。3、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是，C为非奇异常数矩阵。4、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 存在常数0，对于所有都有使得不等式成立。5、当时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。6、若是的基解矩阵，则满足的解。7、若为n阶齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为，其中是任意常数。8、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程y=y+的解。9、如果在上 连续 且关于满足李普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中 ，。二、计算题(每题10分,共50分) 10、求方程 的解。解：原式可化为 分离变量得 两边积分后 即故原方程的通解为 11、求方程通过点的第二次近似解。解：令 则 12、求非齐线性方程的特解。解：线性方程的特征方程，故特征根。又， 是特征单根，所以原方程有特解，将其代入原方程得， B=0 。故原方程的特解为。13、求解恰当方程。解： ， .则 .所以此方程为恰当方程。凑微分，得 14、 求伯努利方程解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.三、证明.（20分）15、1)试验证初值问
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