离散小波变换ppt课件.ppt

主要内容 引言时频展开使用Matlab若干应用场景 1 引言 小波变换的动机福利叶变换是非常有效地计算工具但是是时间亚元变换 在很多场合不满足需求 石油勘探 乐谱分析 小波的含义 小 波 时频展开数学显微镜 2 时频展开 希望定义一种工具能帮助计算信号x t 的瞬时傅里叶变换 记为X F 如何定义一组能够表现出信号瞬时性的基函数 该基函数必须包括两个基本变量时间 和频率F 3 时频展开主要内容 短时傅里叶变换STFTGabor变换GT连续小波变换CWT小波变换WT 4 短时傅里叶变换STFT 确定信号局部频率特性的比较简单的方法是在时刻 附近对信号加窗 然后计算傅里叶变换 X F STFT x t FT x t w t 其中 w t 是一个以时刻 为中心的窗函数 注意信号x t 中的时间t和X F 中的 5 窗函数w根据 进行了时移 扩展傅里叶变换表达式 短时傅里叶变换操作示意 6 问题 实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反 给定一个信号 希望能够在时域和频域上定位信号发生的事件 因此时间 和频率F都是不确定的 即按上述的分析不可行 结果不确定或有误差 分析中 分辨率的损失是由于窗函数w t 的时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的 信号不能同时在时域和频域准确定位 测不准定理 7 Gabor变换引言 STFT将一个连续时间变量t的信号x t 变换为有两个连续时间变量的X F 意味着STFT包含了很多的冗余信息将频率F离散化 F Kf0将时间离散化 在 mT0采样 8 Gabor变换 通过Gabor变换 信号x t 被展开为 Gabor变换公式 9 小波变换是强有力的时频分析 处理 工具 是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的 已成功应用于很多领域 如信号处理 图像处理 模式识别等 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具有很好的局部化特征 它能够提供目标信号各个频率子段的频率信息 这种信息对于信号分类是非常有用的 小波变换一个信号为一个小波级数 这样一个信号可由小波系数来刻画 小波变换 10 基本小波 也称为小波母函数定义如下 紧支性 在有限区域内迅速衰减到0 容许性条件 11 小波的特点 具有有限的持续时间 突变的频率和振幅波形可以是不规则的 也可以是不对称的在整个时间范围里的幅度平均值为零比较正弦波 12 部分小波波形 13 小波基函数 将信号在这个函数系上分解 就得到连续小波变换 14 小波基函数 将信号在这个函数系上分解 就得到连续小波变换 15 缩放 scaled 的概念 示例 正弦波的Scaled算法 16 示例 小波的缩放 17 平移 translation 的概念 18 小波分析深圳大学信息工程学院 小波分析与付里叶变换的比较 19 小波分析 小波变换通过平移母小波 motherwavelet 可获得信号的时间信息 而通过缩放小波的宽度 或者叫做尺度 可获得信号的频率特性 对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数 这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系 连续小波变换离散小波变换 20 连续小波变换 where a 缩放因子 时间平移注意 在CWT中 scale和position是连续变化的 21 CWT的变换过程 把小波 t 和原始信号f t 的开始部分进行比较计算系数c 该系数表示该部分信号与小波的近似程度 系数c的值越高表示信号与小波越相似 因此系数c可以反映这种波形的相关程度把小波向右移 距离为k 得到的小波函数为 t k 然后重复步骤1和2 再把小波向右移 得到小波 t 2k 重复步骤1和2 按上述步骤一直进行下去 直到信号f t 结束扩展小波 t 例如扩展一倍 得到的小波函数为 t 2 重复步骤1 4 22 CWT的变换过程图示 23 CWT性质 24 CWT小结 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解 缩放因子小 表示小波比较窄 度量的是信号细节 表示频率w比较高 相反 缩放因子大 表示小波比较宽 度量的是信号的粗糙程度 表示频率w比较低 25 离散小波变换 在计算连续小波变换时 实际上也是用离散的数据进行计算的 只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已 不难想象 连续小波变换的计算量是惊人的 为了解决计算量的问题 缩放因子和平移参数都选择2 j j 0的整数 的倍数 使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换 dyadicwavelettransform 它是离散小波变换 discretewavelettransform DWT 的一种形式 26 离散小波变换定义 需要强调指出的是 这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数的 而不是针对时间变量t的 27 使用离散小波分析得到的小波系数 缩放因子和时间关系如图所示 图 a 是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶变换 shorttimeFouriertransform STFT 得到的时间 频率关系图图 b 是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的时间 缩放因子 反映频率 关系图 离散小波变换分析图 28 DWT变换方法 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器该方法是Mallat在1988年开发的 叫做Mallat算法这种方法实际上是一种信号的分解方法 在数字信号处理中称为双通道子带编码用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示S表示原始的输入信号 通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号A表示信号的近似值 approximations D表示信号的细节值 detail 29 在许多应用中 信号的低频部分是最重要的 而高频部分起一个 添加剂 的作用 比如声音 把高频分量去掉之后 听起来声音确实是变了 但还能够听清楚说的是什么内容 相反 如果把低频部分去掉 听起来就莫名其妙 在小波分析中 近似值是大的缩放因子产生的系数 表示信号的低频分量 而细节值是小的缩放因子产生的系数 表示信号的高频分量 双通道滤波过程 30 离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解信号的分解过程可以叠代 也就是说可进行多级分解 如果对信号的高频分量不再分解 而对低频分量连续进行分解 就得到许多分辨率较低的低频分量 形成如图所示的一棵比较大的树 这种树叫做小波分解树 waveletdecompositiontree 分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要 小波分解树 31 小波包分解树 小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解 如果不仅对信号的低频分量连续进行分解 而且对高频分量也进行连续分解 这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量 而且也可得到许多分辨率较低的高频分量 这样分解得到的树叫做小波包分解树 waveletpacketdecompositiontree 这种树是一个完整的二进制树 32 二维离散小波变换 33 标准分解流程示意 34 非标准分解是指使用一维小波交替地对每一行和每一列像素值进行变换 首先对图像的每一行计算像素对的均值和差值 然后对每一列计算像素对的均值和差值 这样得到的变换结果只有1 4的像素包含均值 再对这1 4的均值重复计算行和列的均值和差值 依此类推 非标准分解的过程如下 非标准分解 35 非标准分解流程示意 36 小波的应用 J Morlet 地震信号分析 S Mallat 二进小波用于图像的边缘检测 图像压缩和重构Farge 连续小波用于涡流研究Wickerhauser 小波包用于图像压缩 Frisch噪声的未知瞬态信号 Dutilleux语音信号处理H Kim时频分析Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化 信号处理 图像处理 模式识别 语音识别 量子物理 地震勘探流体力学 电磁场 CT成象 机器视觉 机械故障诊断 分形 数值计算 37 软件包 MathWorks WaveletToolboxStandford WaveToolYale WPLabMathSoft S WAVELETSAware WaveToolRice WaveletToolBoxhttp www dsp rice edu 38 使用Matlab dwt函数idwt函数wcodemat函数dwt2函数wavedec2函数idwt2函数waverec2函数 39 dwt函数 功能 1 D离散小波变换格式 cA cD dwt X wname cA cD dwt X Lo D Hi D 说明 cA cD dwt X wname 使用指定的小波基函数 wname 对信号X进行分解 cA和cD分别是近似分量和细节分量 cA cD dwt X Lo D Hi D 用指定的滤波器组Lo D Hi D对信号进行分解 40 idwt函数 功能 1 D离散小波反变换格式 X idwt cA cD wname X idwt cA cD Lo R Hi R X idwt cA cD wname L X idwt cA cD Lo R Hi R L 说明 由近似分量cA和细节分量cD经过小波反变换 选择某小波函数或滤波器组 L为信号X中心附近的几个点 41 wcodemat函数 功能 对数据矩阵进行伪真彩色编码格式 Y wcodemat X NB OPT ABSOL Y wcodemat X NB OPT Y wcodemat X NB Y wcodemat X 说明 Y wcodemat X NB OPT ABSOL 返回数据矩阵X的编码矩阵Y NB为编码的最大值 缺省16 OPT是编码方式 row 行方式 col 列方式 mat 整个矩阵编码 缺省 ABSOL是函数的控制方式 0返回编码矩阵 1返回数据矩阵的ABS 缺省 42 dwt2函数 功能 2 D离散小波变换格式 cA cH cV cD dwt2 X wname cA cH cV cD dwt2 X wname 说明 cA近似分量 cH水平细节分量 cV垂直细节分量 cD对角细节分量 43 示例1 对图象做2 D小波分解 loadwoman nbcol size map 1 cA1 cH1 cV1 cD1 dwt2 X db1 cod X wcodemat X nbcol cod cA1 wcodemat cA1 nbcol cod cH1 wcodemat cH1 nbcol cod cV1 wcodemat cV1 nbcol cod cD1 wcodemat cD1 nbcol dec2d cod cA1 cod cH1 cod cV1 cod cD1 subplot 1 2 1 imshow cod X subplot 1 2 2 imshow dec2d 44 实验结果 45 wavedec2函数 功能 2 D信号的多层小波分解格式 C S wavedec2 X N wname C S wavedec2 X N Lo D Hi D 说明 使用小波基函数或指定滤波器对2 D信号X进行N层分解 46 idwt2函数 功能 2 D离散反小波变换格式 X idwt2 cA cH cV cD wname X idwt2 cA cH cV cD Lo R Hi R X idwt2 cA cH cV cD wname S X idwt2 cA cH cV cD Lo R Hi R S 说明 略 47 示例 2 D小波重构 loadwoman sX size X cA1 cH1 cV1 cD1 dwt2 X db4 A0 idwt2 cA1 cH1 cV1 cD1 db4 sX subplot 1 2 1 imshow X Title OriginalImage subplot 1 2 2 imshow A0 Title Imageusingidwt2 48 实验结果 49 示例 loadwoman nbcol size map 1 cA1 cH1 cV1 cD1 dwt2 X db1 cod X wcodemat X nbcol cod cA1 wcodemat cA1 nbcol cod cH1 wcodemat cH1 nbcol cod cV1 wcodemat cV1 nbcol cod cD1 wcodemat cD1 nbcol nbcol size cod X 1 xcA1 xcH1 xcV1 xcD1 dwt2 cA1 db1 xcod cA1 wcodemat xcA1 nbcol xcod cH1 wcodemat xcH1 nbcol xcod cV1 wcodemat xcV1 nbcol xcod cD1 wcodemat xcD1 nbcol xdec2d xcod cA1 xcod cH1 xcod cV1 xcod cD1 dec2d xdec2d cod cH1 cod cV1 cod cD1 subplot 1 2 1 imshow cod X subplot 1 2 2 imshow dec2d 50 实验结果 51 waverec2函数 功能 2 D信号的多层小波重构格式 X waverec2 C S wname X waverec2 C S Lo R Hi R 说明 略 52 示例 两层分解重构 loadwoman c s wavedec2 X 2 sym4 a0 waverec2 c s sym4 subplot 1 2 1 imshow X Title OriginalImage subplot 1 2 2 imshow a0 Title Imageusingidwt2 53 实验结果 54 小波分析在信号降噪中的应用 分解过程 选定一种小波 对信号进行N层小波 包 分解 作用阀值过程 选择一个阀值 并对细节系数作用重建过程 将处理后的系数经过小波 包 重建原始信号 55 如何选择一个阈值是关键 缺省的阈值确定模型Birge Massart策略确定模型小波包中的penalty阈值 本课程不做介绍 56 基于Matlab的示例基于小波变换 57 loadnoisdopp x noisdopp c l wavedec x 5 db4 ca wrcoef a c l db4 5 index l 2 1 l 7 c1 c c1 index c index 3 x2 waverec c1 l db4 subplot 311 plot x title OriginalSignal subplot 312 plot ca title RecoverSignal subplot 313 plot x2 title Recoverwithdimming 58 基于Matlab的示例 基于FFT 对原始信号进行FFT变换根据频谱 对比我们需要关心的成分 对不需要的频谱进行抑制 进行逆变换 59 信号的频谱 60 利用FFT滤波 使用不同的宽度 61 loadnoisdopp x noisdopp y fft x 1024 pyy y conj y Y f 1000 0 512 1024 plot f pyy 1 513 y1 y y1 10 1024 0 y2 y y2 30 1024 0 y3 y y3 50 1024 0 xd1 real ifft y1 1024 xd2 real ifft y2 1024 xd3 real ifft y3 1024 subplot 411 plot x title OriginalSignal subplot 412 plot xd1 title width 10 subplot 413 plot xd2 title width 30 subplot 414 plot xd3 title width 50 62 FFTVsDWT FFT是一刀切的做法 DWT可以多重选择 FFT保留的能量 有时 比DWT多 但是相似性很差 降噪的光滑性和相似性在时间和频率两个空间体上体现的比重不同 63 小波分析在信号压缩中的应用 对原始信号进行小波变换零填充编码 量化存储解码重建 64 注意 本例只说明局部化压缩 实际中一般不仅在第1层压缩 65 loadwbarb ca1 ch1 cv1 cd1 dwt2 X sym4 codca1 wcodemat ca1 192 codch1 wcodemat ch1 192 codcv1 wcodemat cv1 192 codcd1 wcodemat cd1 192 codx codca1 codch1 codcv1 codcd1 rca1 ca1 rch1 ch1 rcv1 cv1 rcd1 cd1 rch1 33 97 33 97 zeros 65 65 rcv1 33 97 33 97 zeros 65 65 rcd1 33 97 33 97 zeros 65 65 codrca1 wcodemat rca1 192 codrch1 wcodemat rch1 192 codrcv1 wcodemat rcv1 192 codrcd1 wcodemat rcd1 192 codrx codrca1 codrch1 codrcv1 codrcd1 rx idwt2 rca1 rch1 rcv1 rcd1 sym4 subplot 221 image wcodemat X 192 colormap map title OriginalImage subplot 222 image wcodemat codx 192 colormap map title dwt subplot 223 image wcodemat rx 192 colormap map title zipimage subplot 224 image wcodemat codrx 192 colormap map title aboutzipimage 66 DWTVSDCT DCT在压缩过程中不能提供时域信息 而DWT保留了这方面的特性 局部压缩特性 67 小波分析在图象锐化和钝化中的应用 图象的钝化 锐化 就是提取出图象中的低频 高频 部分 目前的方法主要集中在时域和频域上 时域方法是依靠在图象上做算子操作 快 但会丢失相关信息 频域需要两次傅里叶变换 计算量大 而且 小波变换是上述两种方法的折中 68 69 算法比较 DCT法进行高通滤波的结果比较纯粹 小波结果中高频 低频都有 时间复杂度DCT 2 O nlogn O n DWT 2 O n 70 loadchess blur1 X blur2 X ff1 dct2 X fori 1 256forj 1 256ff1 i j ff1 i j 1 32768 i i j j 2 endendblur1 idct2 ff1 c l wavedec2 X 2 db3 csize size c fori 1 csize 2 if abs c i 300 c i c i 2 elsec i c i 2 endendblur2 waverec2 c l db3 subplot 221 image wcodemat X 192 colormap gray 256 title OriginalImage subplot 222 image wcodemat blur1 192 colormap gray 256 title DCTImage subplot 223 image wcodemat blur2 192 colormap gray 256 title DWTImage 71 小波分析在故障诊断中的应用 小波分析在故障诊断中的应用已取得了极大的成功 小波分析不仅可以在低信噪比的信号中检测到故障信号 而且可以滤去噪声恢复原信号 具有很高的应用价值 72 小波分析在语音信号处理中的应用 语音信号处理的目的是得到一些语音参数以便高效地传输或存储 利用小波分析可以提取语音信号的一些参数 并对语音信号进行处理 小波理论应用在语音处理方面的主要内容包括 清浊音分割 基音检测 去噪 重建与数据压缩等几个方面 小波应用于语音信号提取 语音合成 语音增加 波形编码已取得了很好的效果 73 小波分析在地球物理勘探中的应用 在地球物理勘探中 寻找地壳物质物性参数的奇异性时是非常有意义的 由于小波变换同时具有空间域和频率域的局部性 因此它是描述 检测函数奇异性的有效工具 利用小波变换和分形理论 对石油 天然气中的实际地震道数据进了奇异性检测和