安徽省滁州二中高中数学 合情推理课件 新人教A版选修12.ppt

第二章推理与证明 内容概述 推理与证明 是数学的基本思维过程 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式 推理一般包括合情推理和演绎推理 在本章中 我们将通过对已学知识的回顾 进一步体会合情推理 演绎推理以及二者之间的联系与差异 体会数学证明的特点 了解数学证明的基本方法 包括直接证明的方法 如分析法 综合法 和间接证明的方法 如反证法 感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用 养成言之有理 论证有据的习惯 2 1合情推理与演绎推理 推理的定义 新的判断 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理 已知的判断 推理与证明 推理 证明 本节知识结构 2 1 1合情推理 10 3 720 3 1730 13 17 数学皇冠上璀璨的明珠 哥德巴赫猜想 归纳推理的定义 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 应用归纳推理可以发现新事实 获得新结论 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 这就是从部分到整体 从个别到一般的归纳推理 你想起来了吗 2n 1 1 3 5 7 由此你猜想出第n个数是 例如 磨擦双手能产生热 敲击石头能产生热 锤击铁块能产生热 磨擦双手 敲击石头 锤击铁块都是物质运动 所以 物质运动能产生热 例1 观察下图 可以发现 1 12 1 3 4 22 1 3 5 9 32 1 3 5 7 16 42 1 3 5 7 9 25 52 1 3 2n 1 n2 例2 已知数列的第1项试归纳出这个数列的通项公式 归纳推理的一般步骤 检验猜想 提出带有规律性的结论 即猜想 对有限的资料进行观察 分析 归纳整理 练习 p30第1题 第2题 除了归纳 人们在创造发明中 还常常用到类比 从一个传说说起 春秋时代鲁国的公输班 后人称鲁班 被认为是木匠业的祖师 一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手 这桩倒霉事却使他发明了锯子 他的思路是这样的 茅草是齿形的 茅草能割破手 我需要一种能割断木头的工具 它也可以是齿形的 这个推理过程是归纳推理吗 情景创设1 相似点 绕太阳运转 绕轴自转 有大气层 有季节变换 大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等 地球上有生命 火星上可能有生命 上述推理是怎样的一个过程呢 步骤 情景创设2 可能有生命存在 有生命存在 火星上是否存在生命 火星与地球类比的思维过程 火星 地球 存在类似特征 高考链接 2011陕西 观察下列等式 照此规律 第五个等式应为 1 12 3 4 93 4 5 6 7 254 5 6 7 8 9 10 49 解析 把已知等式与行数对应起来 则第一个等式得左边的式子的第一个数是行数n 加数的个数是2n 1 等号右边是完全平方数 则第5行等号的左边有项 9 右边是的平方 9 所以5 6 7 8 9 10 11 12 13 81 请大家完成p25页表格 圆与球在它们的的生成 形状 定义等方面都具有相似的属性 据此 圆与球的相关元素之间可建立如下的对应关系 圆弦直径周长面积 球 截面圆 大圆 表面积 体积 等等 于是根据圆的性质 可以猜测球的性质如下表 球心与截面圆 不是大圆 的圆心的连线垂直于截面圆 与球心距离相等的两截面圆相等 与球心距离不等的两截面圆不等 距球心较近的截面圆较大 球的切面垂直于过切点的半径 经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 类比推理的定义 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理是自然奧妙的参与者和自己最好的老师 数学家波利亚曾指出 类比是一个伟大的引路人 求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题 2 从运算的角度考虑 加法和乘法都满足交换律和结合律 即 解 1 两个实数经过加法运算或乘法运算后 所得的结果仍然是一个实数 例3类比实数的加法和乘法 列出它们相似的运算性质 3 从逆运算的角度考虑 加法和乘法都有逆运算 加法的逆运算是减法 乘法的逆运算是除法 4 在加法中 任意实数与0相加都不改变大小 任意实数与1的积都等于原来的数 即 类比推理的一般步骤 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 检验猜想 类比推理举例 例4 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 例4类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 通俗地说 合情推理是指 合乎情理 的推理 合情推理的应用 数学研究中 得到一个新结论之前 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论 证明一个数学结论之前 合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向 例5 如图所示 有三根针和套在一根针上的若干金属片 按下列规则 把金属片从一根针上全部移到另一根针上 1 每次只能移动1个金属片 2 较大的金属片不能放在较小的金属片上面 试推测 把n个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动多少次 解 设an表示移动n块金属片时的移动次数 当n 1时 a1 1 当n 2时 a2 3 1 2 3 当n 1时 a1 1 当n 2时 a2 3 解 设an表示移动n块金属片时的移动次数 当n 3时 a3 7 当n 4时 a4 15 猜想an 2n 1 1 2 3 传说在古老的印度有一座神庙 神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环 古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则 把圆环从一根针上全部移到另一根针上 第三根针起 过渡 的作用 1 每次只能移动1个圆环 2 较大的圆环不能放在较小的圆环上面 如果有一天 僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上 那么世界末日就来临了 请你试着推测 把个圆环从1号针移到3号针 最少需要移动多少次 1 2 3 游戏 河内塔 towerofhanoi n 1时 n 2时 n 1时 n 3时 n 2时 n 1时 n 2时 n 1时 n 3时 n 4时 n 3时 n 2时 n 1时 n 4时 n 3时 n 2时 n 1时 归纳 当n 1时 只需把金属片从1号针移到3号针 用符号 13 表示 共移动一次 当n 2时 按照规则 我们利用2号针作为 中间针 移动的顺序是 1 把第1个金属片从1号针移到2号针 2 把第2个金属片从1号针移到3号针 3 把第1个金属片从2号针移到3号针 即 12 13 23 共移动了3次 当n 3时 把上面两个金属片作为一个整体 归结为n 2的情形 移动的顺序是 1 把上面两个金属片从1号针移到2号针 2 把第3个金属片从1号针移到3号针 3 把上面两个金属片从2号针移到3号针 其中步骤1 3都要借助中间针 用符号表示为 13 12 32 13 21 23 13 当n 4时 把上面3个金属片作为一个整体 归结为n 2的情形 移动的顺序是 1 把上面3个金属片从1号针移到2号针 2 把第4个金属片从1号针移到3号针 3 把上面3个金属片从2号针移到3号针 其中步骤1 3都要借助中间针 用符号表示为 12 13 23 12 31 32 12 13 23 21 31 23 12 13 23 共移动了15次 移动1 2 3 4个金属片所需次数构成的数列为 1 3 7 15 观察这个数列 可以发现如下规律 1 21 1 3 22 1 7 23 1 15 24 1 于是我们猜想 an 2n 1 同样地 类比推理所得的结论也不一定可靠 看下面两个例子 所得猜想是否正确 平面内两组对边分别相等的四边形是平行四边形空间中两组对边分别相等的四边形是平行四边形平面内同时垂直于一条直线的两直线