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理论力学总复习 1 静力学研究作用在物体上力系的平衡 具体研究以下三个问题 物体的受力分析 力系的简化 力系的平衡条件及其应用 2 静力学公理是力学的最基本 最普遍的客观规律 3 物体的受力分析和受力图是研究物体平衡和运动的前提 第一章静力学基础 合力矩定理 二 平面一般力系的合成结果 第二章平面力系 一矩式二矩式三矩式 三 A B连线不x轴 A B C不共线 平面一般力系的平衡方程 平面平行力系的平衡方程成为恒等式一矩式二矩式 连线不平行于力线 平面汇交力系的平衡方程成为恒等式 四 静定与静不定未知力数目 独立方程数 为静不定 七 注意问题力偶在任何坐标轴上的投影均为零 力偶矩M 常数 它与坐标轴与取矩点的选择无关 第三章 空间力系 小结 二 基本方程1 空间力系的平衡方程 四矩式 五矩式和六矩式的附加条件均为使方程式独立 x y z 三个取矩轴和三个投影轴可以不重合 可以任选的六个轴 取矩方程不能少于三个 空间力系独立方程六个 空间物体六个自由度 平面三个自由度 空间力系中也包括摩擦问题 2 空间力系的几个问题 三 解题步骤 技巧与注意问题 1 解题步骤 与平面的相同 2 解题技巧 13 第四章摩擦一 概念 1 摩擦力 是一种切向约束反力 方向总是与物体运动趋势方向相反 a 当滑动没发生时F fN F P外力 b 当滑动即将发生时Fmax f Nc 当滑动已经发生时F f N 一般f 动 f静 14 2 全反力与摩擦角a 全反力R 即F与N的合力 b 当时 物体不动 平衡 3 自锁当时自锁 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内 则不论这个力多大 物体总能平衡 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外 则不论这个力多小 物体都不能保持平衡 15 二 内容 1 列平衡方程时要将摩擦力考虑在内 2 解题方法 解析法 几何法3 除平衡方程外 增加补充方程 一般在临界平衡4 解题步骤同前 状态计算 三 解题中注意的问题 1 摩擦力的方向不能假设 要根据物体运动趋势来判断 只有在摩擦力是待求未知数时 可以假设其方向 2 由于摩擦情况下 常常有一个平衡范围 所以解也常常是力 尺寸或角度的一个平衡范围 原因是和 A l P ql B 例6 D l 2 l l 2 q C 求A B D处的支座反力和铰链C的受力 A l P ql B D l 2 l l 2 q C 解 CD梁 整体 1 观擦物体的运动必须相对某一参考体 2 点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间变化的规律 一个点相对于同一参考体 若采用不同的坐标系 将有不同形式的运动方程 如 1 矢量形式 2 直角坐标形式 3 弧坐标形式 4 极坐标形式 第五章点的运动学 3 轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线 轨迹方程可由运动方程消去时间t得到 4 点的速度和加速度都是矢量 1 以直角坐标的分量表示 2 以自然坐标的分量表示 5 几种特殊运动的特点 1 直线运动 2 圆周运动 3 匀速运动 4 匀变速运动 刚体平移时 其上各点轨迹形状相同且相互平行 任一瞬时各点速度相同 各点加速度也相同 即 平移刚体的运动可以简化为一个点的运动 第六章刚体的简单运动 一 刚体的平行移动 刚体定轴转动 转动方程 角速度 角加速度 匀速转动 匀变速运动 二 刚体的定轴转动 三 解题步骤及注意问题1 解题步骤 弄清题意 明确已知条件和所求的问题 选好坐标系 直角坐标法 自然法 根据已知条件进行微分 或积分运算 用初始条件定积分常数 注意问题 几何关系和运动方向 求轨迹方程时要消去参数 t 坐标系 参考系 的选择 第七章点的合成运动 二 解题步骤1 选择动点 动系 静系 2 分析三种运动 绝对运动 相对运动和牵连运动 3 作速度分析 画出速度平行四边形 求出有关未知量 速度 角速度 4 作加速度分析 画出加速度矢量图 求出有关的加速度 角加速度未知量 一 概念与内容1 刚体平面运动的定义刚体运动时 其上任一点到某固定平面的距离保持不变 2 刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动 3 刚体平面运动的分解分解为4 基点可以选择平面图形内任意一点 通常是运动状态已知的点 第八章刚体平面运动小结 6 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例 7 求平面图形上任一点速度的方法 1 基点法 2 速度投影法 3 速度瞬心法 其中 基点法是最基本的公式 瞬心法是基点法的特例 8 求平面图形上一点加速度的方法基点法 A为基点 是最常用的方法此外 当 0 瞬时平动时也可采用方法它是基点法在 0时的特例 9 平面运动方法与合成运动方法的应用条件 1 平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速度 加速度之间的关系及任意一点的速度 加速度与图形角速度 角加速度之间的关系 2 合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有相对滑动时的运动关系的传递 二 解题步骤和要点1 根据题意和刚体各种运动的定义 判断机构中各刚体的运动形式 注意每一次的研究对象只是一个刚体 2 对作平面运动的刚体 根据已知条件和待求量 选择求解速度 图形角速度 问题的方法 用基点法求加速度 图形角加速度 3 作速度分析和加速度分析 求出待求量 基点法 恰当选取基点 作速度平行四边形 加速度矢量图 速度投影法 不能求出图形 速度瞬心法 确定瞬心的位置是关键 解 动点 顶杆上A点 动系 凸轮 静系 地面 绝对运动 直线 绝对速度 va 待求 方向 AB 相对运动 曲线 相对速度 vr 方向 n 牵连运动 定轴转动 牵连速度 ve r 方向 OA 例7 9 已知 凸轮机构以匀 绕O轴转动 图示瞬时OA r A点曲率半径 已知 求 该瞬时顶杆AB的速度和加速度 根据速度合成定理 做出速度平行四边形 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 作出加速度矢量图如图示 二 直角坐标形式 方程 一 矢径形式的质点运动微分方程由动力学基本方程 由运动学可知 于是可得 或 第九章质点动力学的基本方程 三 自然形式 质点运动微分方程除以上三种基本形式外 还可有极坐标形式 柱坐标形式等等 应用质点运动微分方程 可以求解质点动力学的两类问题 1 质点系的动量定理 建立了动量与外力主矢之间的关系 涉及力 速度和时间的动力学问题 第十章动量定理 2 质点系动量守恒定理 可以用于求解系统中的速度 以及与速度有关的量 px C1 或py C1 或px C1 3 质心运动定理 质心运动定理建立了质点系质心运动与系统所受外力主矢之间的关系 质心运动定理可以用于求解作用在系统上的未知外力 特别是约束力 质心的运动与内力无关 内力不能改变系统整体的运动状态 系统质心的运动 但是 内力可以改变系统内各个质点的运动状态 4 质心运动守恒定理 如果作用在质点系上的外力主矢等于0 则系统的质心作惯性运动 若初始为静止状态 则系统的质心位置始终保持不变 vCx C2 或vCx C2 或vCx C2 如果作用在质点系上的所有外力在某一坐标轴上投影的代数和等于0 则系统的质心的速度在这一轴上的投影等于常量 若初始速度投影等于0 则系统的质心在这一位轴上的坐标值保持不变 一 基本概念1 动量矩 物体某瞬时机械运动强弱的一种度量 2 质点的动量矩 3 质点系的动量矩 4 转动惯量 物体转动时惯性的度量 对于均匀直杆 细圆环 薄圆盘 圆柱 对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记 第十一章动量矩定理 5 刚体动量矩计算平动 定轴转动 平面运动 二 质点的动量矩定理及守恒1 质点的动量矩定理 2 质点的动量矩守恒 1 若 则常矢量 2 若 则常量 三 质点系的动量矩定理及守恒1 质点系的动量矩定理 2 质点系的动量矩守恒 1 若 则常矢量 2 若 则常量 四 质点系相对质心的动量矩定理 或 六 动量矩定理的应用应用动量矩定理 一般可以处理下列一些问题 对单轴传动系统尤为方便 1 已知质点系的转动运动 求系统所受的外力或外力矩 2 已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数 求刚体的角加速度或角速度的改变 3 已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零 应用动量矩守恒定理求角速度或角位移 动量定理 动量矩定理和动能定理的比较 动量定理 动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系 整体运动的变化 所受的作用力 动量定理 动能定理 动量矩定理 动量 力 冲量 动量矩 力矩 动能 力的功 动量定理 动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题 动量定理 动量矩定理和动能定理的比较 动量定理 动量矩定理的表达式为矢量形式 描述质点系整体运动时 不仅涉及有关运动量的大小 而且涉及运动量的方向 动能定理的表达式为标量形式 描述质点系整体运动时 不涉及运动量的方向 无论质点系如何运动 动能定理只能提供一个方程 动量定理 动量矩定理的表达式中含有时间参数 动能定理的表达式中含有路程参数 动量定理 动量矩定理和动能定理的比较 动量定理 动量矩定理的表达式中只包含外力 而不包含内力 内力的主矢和主矩均为零 动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力 主动力中可以是外力 也可以是内力 可变质点系 对于理想约束 则只包含主动力 动能定理建立了作用在质点系上的力所作之功与质点系动能变化之间的关系 机械能守恒所建立的是质点系的动能与势能之间的相互转化关系 动能定理中可以包含任何非有势力所作之功 因此 动能定理所包含的内容比机械能守恒更加广泛 可以说 机械能守恒是质点系所受之力均为有势力时的动能定理 应用机械能守恒求解动力学问题时 摩擦力如何考虑 要看摩擦力是否作功 1 当系统存在摩擦力 并且摩擦力作功 这时机械能守恒不成立 只能应用动能定理 2 当系统存在摩擦力 但是摩擦力不作功 这时机械能守恒成立 可以应用机械能守恒 第十二章动能定理 1 重力的功 式中 zc1 zc2为质点系的质心坐标 2 弹性力的功 3 定轴转动刚体上作用力的功 力偶的功 52 2 定轴转动刚体 刚体的动能 1 平移刚体 3 平面运动刚体 53 质点系动能定理的积分形式 质点系的动能定理 质点系动能定理的微分形式 1 绕线轮与滑块 已知 r m f 0 求与x的关系 研究滑块A 注意到 由得 为所求 55 卷扬机 鼓轮上作用常力偶M 鼓轮半径为R1 质量为m1 质量分布在轮缘上 圆柱半径为R2 质量为m2 质量均匀分布 求圆柱中心C经过路程s时的速度和加速度 盘C作纯滚动 初始时系统静止 例 解 取系统为研究对象 M C O m2g m1g 56 将 a 式两边对时间求一阶导数 56 57 58 物块和两均质轮的质量皆为m 轮半径皆为R 弹簧刚度为k C轮作纯滚动 现于弹簧的原长处释放重物 求重物下降h时的速度 加速度以及C轮与地面间的摩擦力 例 59 解 1 取整体为研究对象 利用动能定理 60 由动能定理 1 解得速度 将 1 式两端对时间求一次导数 解得加速度 61 2 取C轮为研究对象 62 2 取C轮为研究对象 应用对质心的动量矩定理 地面摩擦力 定义 质点惯性力加速运动的质点 对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和 一 惯性力的概念 第十三章达朗伯原理 二 质点的达朗伯原理 FN Fg称为质点的惯性力 大小等于质点的质量与加速度的乘积 方向与质点加速度的方向相反 三 质点系的达朗伯原理 可列6个独立投影方程 65 对平面任意力系 对于空间任意力系 实际应用时 同静力学一样任意选取研究对象 列平衡方程求解 用动静法求解动力学问题时 四 刚体惯性力系的简化 1 刚体作平动 结论 平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积 合力的方向与加速度方向相反 2 刚体绕定轴转动 向O点简化结果为 向质点C点简化 3 刚体作平面运动 刚体平面运动可分解为随基点 质心C 的平动和绕基点的转动 第十四章虚位移原理 虚位移与真正运动时发生的实位移不同 实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的 虚位移是在约束容许的条件下可能发生的 在定常约束下 微