2019_2020学年高中数学第三章推理与证明2数学证明练习北师大版.docx

2数学证明课时过关能力提升1.下面说法正确的有()演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理是由特殊到一般的推理;演绎推理的一般模式是三段论形式;演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C2.有一段演绎推理是这样的:“若一条直线平行于一个平面,则该直线平行于平面内所有的直线.已知直线b不在平面内,直线a在平面内,直线b平面,则直线b直线a.”此推理的结论显然是错误的,这是因为 ()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大、小前提都错误解析:本题的大前提不对,一条直线平行于一个平面,该直线并不与平面内所有的直线都平行.答案:A3.等和数列的定义:在一个数列中,如果每一项与它后面一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫作等和数列.下列数列不是等和数列的为()A.an=10B.an=2,n为奇数,3,n为偶数C.an=2n,n为奇数,3n,n为偶数D.an=sin2,n为奇数,cos2,n为偶数答案:C4.“四边形ABCD是矩形,四边形ABCD的对角线相等.”以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案:B5.在边长不相等的三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边a,b,c应满足的条件是()A.a2b2+c2D.a2b2+c2解析:由题意,知cosA=b2+c2-a22bc0,所以b2+c2-a2b2+c2.答案:C6.f(x)是定义在(0,+)内的非负可导函数,且满足xf(x)+f(x)0.对任意正数a,b,若ab,则必有()A.bf(a)af(b)B.af(b)bf(a)C.af(a)f(b)D.bf(b)f(a)解析:构造函数F(x)=xf(x),则F(x)=xf(x)+f(x).由题设条件,知F(x)=xf(x)在(0,+)内是减少的.若aF(b),即af(a)bf(b).又f(x)是定义在(0,+)内的非负可导函数,所以bf(a)af(a)bf(b)af(b).故选B.答案:B7.用演绎推理证明y=x2在(-,0)内是减少的时,大前提是.解析:大前提:函数递减的定义,即在定义域D内的区间I上,若x1f(x2),则f(x)在区间I上是减少的.小前提:y=x2在(-,0)内,对于x1f(x2).结论:y=x2在(-,0)内是减少的.答案:函数递减的定义8.“平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提).已知平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4(小前提),则动点M的轨迹是椭圆(结论).”此推理中错误的环节是.解析:大前提应是到两定点距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密.答案:大前提9.如图,在锐角三角形ABC中,M为AB的中点,ADBC,BEAC,D,E是垂足.求证:EM=DM.(要求:用三段论证明,并指出每一步推理的大前提和小前提.)证明因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,大前提在ABC中,ADBC,即ADB=90,小前提所以ABD是直角三角形.结论同理,ABE也是直角三角形.因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提M是RtABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,小前提所以DM=12AB.结论同理,EM=12AB.所以EM=DM.10.已知正数数列an的前n项和Sn=an2+an2,求证:数列an是等差数列.证明Sn=an2+an2,当n=1时,a1=a12+a12.a10,a1=1.当n2时,an=Sn-Sn-1=an2+an2-an-12+an-12.(an+an-1)(an-an-1-1)=0.an0,an-an-1=1.an为等差数列.11.请你把不等式“若a1,a2是正实数,则有a12a2+a22a1a1+a2”推广到一般情形,并证明你的结论.解:推广的结论:若a1,a2,an都是正实数,则a12an+a22an-1+an-12a2+an2a1a1+a2+an.证明:因为a1,a2,an都是正实数,所以a12an+an2a1,a22an-1+an-12a2,an-12a2+a22an-1,an2a1+a12an.故a12an+a22an-1+an-12a2+an2a1a1+a2+an.12.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C,AB的中点,A1B交AB1于点G.求证:(1)A1BAD;(2)CE平面AB1D.证明(1)连接A1D,DG,BD,因为三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱,所以四边形A1ABB1为正方形,所以A1BAB1.因为D是C1C的中点,所以A1C1DBCD,所以A1D=BD.因为G为A1B的中点,所以A1BDG.因为DGAB1=G,DG平面AB1D,AB1平面AB1D,所以A1B平面AB1D.因为AD平面AB1D,所以A1BAD.(2)连接GE,因为