2019_2020学年高中数学第七章复数7.1.2复数的几何意义复数的几何意义学案新人教A版.docx

71.2复数的几何意义考点学习目标核心素养复平面了解复平面的概念数学抽象复数的几何意义理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系直观想象复数的模掌握复数的模的概念，会求复数的模数学运算共轭复数掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数数学运算 问题导学预习教材P70P72的内容，思考以下问题：1复平面是如何定义的？2复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？3复数zabi的共轭复数是什么？1复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的两种几何意义(1)复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.名师点拨 (1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.(2)当a0，b0时，abi0bibi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b0)都表示纯虚数(3)复数zabi(a，bR)中的z，书写时应小写；复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时应大写3复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|abi|，即|z|abi|名师点拨 如果b0，那么zabi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)4共轭复数(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数(3)复数z的共轭复数用表示，即如果zabi，那么abi名师点拨复数zabi在复平面内对应的点为(a，b)，复数abi在复平面内对应的点为(a，b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)原点是实轴和虚轴的交点()(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数()(3)若|z1|z2|，则z1z2.()(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|z2|.()答案：(1)(2)(3)(4) 复数12i在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D 复数z13i的模等于()A2 B4C. D2答案：C 复数z25i的共轭复数_答案：25i复数与复平面内的点已知复数z(a21)(2a1)i，其中aR.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围)(1)在实轴上；(2)在第三象限【解】(1)若z对应的点在实轴上，则有2a10，解得a.(2)若z对应的点在第三象限，则有解得1a.故a的取值范围是.变条件本例中复数z不变，若点Z在抛物线y24x上，求a的值解：若z对应的点(a21，2a1)在抛物线y24x上，则有(2a1)24(a21)，即4a24a14a24，解得a.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数zabi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解 在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i(mR)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.解：(1)若复数z的对应点在虚轴上，则m2m20，所以m1或m2，所以z6i或z0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，则所以m1，所以z2.复数与复平面内的向量在复平面内，复数i，1，42i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数【解】法一：由复数的几何意义得A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，则AC的中点为，由平行四边形的性质知该点也是BD的中点，设D(x，y)，则所以即点D的坐标为(3，3)，所以点D对应的复数为33i.法二：由已知得(0，1)，(1，0)，(4，2)，所以(1，1)，(3，2)，所以(2，3)，所以(3，3)，即点D对应的复数为33i.复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化 1已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是()A55iB55iC55i D55i解析：选B.向量，对应的复数分别记作z123i，z232i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2，3)，(3，2)由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是55i.2在复平面内，O为原点，向量表示的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量表示的复数为()A2i B2iC12i D12i解析：选B.由题意得A(1，2)，则B(2，1)，所以向量表示的复数为2i.复数的模(1)设复数z1a2i，z22i且|z1|z2|，则实数a的取值范围是()A1a1 Ba1Ca1 Da0(2)(2019贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z在复平面内对应点的集合是()A1个圆 B线段C2个点 D2个圆【解析】(1)由题意得，即(aR)，所以1az2 Bz1|z2| D|z1|z2|解析：选D.|z1|53i|，|z2|54i|.因为，所以|z1|z2|.2已知复数z3ai(aR)，且|z|4，求实数a的取值范围解：法一：因为z3ai(aR)，所以|z|，由已知得32a242，所以a27，所以a(，)法二：由|z|4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，由图可知a.1已知z(m3)(m1)i(mR)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3，1)B(1，3)C(1，) D(，3)解析：选A.由题意得解得3m1.2在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为()A2i B2iC12i D12i解析：选D.由题意可知，点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为(1，2)，故向量对应的复数为12i.3已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是_解析：依题意，可知zai(aR)，则|z|2a21.因为0a2，所以a21(1，5)，即|z|(1，)答案：(1，)4若复数z12bi与复数z2a4i互为共轭复数，则a_，b_解析：因为z1与z2互为共轭复数，所以a2，b4.答案：24A基础达标1已知复数zaa2i(a0)，则复数z在复平面内对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B.因为a0，所以复数zaa2i对应的点(a，a2)位于第二象限2已知i是虚数单位，在复平面内，复数2i和13i对应的点之间的距离是()A. B.C5 D25解析：选C.由于复数2i和13i对应的点分别为(2，1)，(1，3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为5，故选C.3在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为，则复数z()A3i B.3iC2i D.2i解析：选D.由题意可设复数zyi(yR，y0)，则3，所以y2，复数z2i.故选D.4(2019黑龙江齐齐哈尔模拟)若|42i|x(32x)i3(y5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|xyi|()A5 B.C2 D2解析：选A.由已知，得6x(32x)i3(y5)i，所以解得所以|xyi|34i|5，故选A.5(2019昆明检测)在复平面内，复数zi对应的点为Z，将点Z绕原点逆时针旋转90后得到点Z，则Z对应的复数是()Ai B.iCi D.i解析：选C.|OZ|z|1，故Z点坐标为(cos 60，sin 60)，逆时针旋转90后得到点Z，所以Z(cos 150，sin 150)，则Z对应的复数是i.6已知复数z12mi(mR)，且|z|2，则实数m的取值范围是_解析：|z|2，解得m.答案：7若复数z对应的点在直线y2x上，且|z|，则复数z_解析：依题意可设复数za2ai(aR)，由|z|，得，解得a1，故z12i或z12i.答案：12i或12i8若复数z135i，z21i，z32ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a_解析：设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，5)，P2(1，1)，P3(2，a)，由已知可得，从而可得a5.答案：59实数m取什么值时，复平面内表示复数z(m3)(m25m14)i的点：(1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线yx上解：(1)由题意得解得3m7或2m3，此时复数z对应的点位于第一、三象限(3)要使复数z对应的点在直线yx上，只需m25m14m3，所以m26m110，所以m32，此时复数z对应的点位于直线yx上10在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数解：(1)设向量对应的复数为z1x1y1i(x1，y1R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2，1)根据对称性可知，x12，y11，故z12i.(2)设点C对应的复数为z2x2y2i(x2，y2R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知，x22，y21，故z22i.B能力提升11若，则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B.由复数的几何意义知(cos sin )(sin cos )i在复平面内对应点的坐标为(cos sin ，sin cos )因为 ，所以cos sin sin0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.12已知复数z满足|z| 2，则|z34i|的最小值是()A5 B2C7 D3解析：选D.|z|2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z34i|表示圆上的点到(3，4)这一点的距离，故|z34i|的最小值为2523.13i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_解析：因为z123i在复平面内对应的点的坐标为(2，3)，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应的点的坐标为(2，3)，对应的复数为z223i.答案：23i14已知复数z1cos isin 2，z2sin icos ，求当满足什么条件时，(1)z1，z2在复平面内