高中数学 第一部分 第三章 §2 2.1 第一课时 一元二次不等式及其解法课件 北师大版必修5.ppt

第一课时一元二次不等式及其解法 2 1一元二次不等式的解法 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点三 考点二 第三章不等式 知识点一 知识点二 2一元二次不等式 2 1一元二次不等式的解法 对于两个不等式2x2 11x 6 0和10 x2 9x 2 0 问题1 这两个不等式有哪些共同点 提示 1 含有一个未知数x 2 未知数x的最高次数为2 问题3 这两个不等式分别有多少个解 提示 分别都有无穷个解 1 一元二次不等式形如的不等式 其中a0 叫作一元二次不等式 2 一元二次不等式的解使某个一元二次不等式成立的叫这个一元二次不等式的解 3 一元二次不等式的解集一元二次不等式的 叫作这个一元二次不等式的解集 ax2 bx c 0 0 ax2 bx c 0 0 x的值 所有解组成的集合 或 观察函数y x2 x 6的图像 回答下列问题 问题1 x在什么范围内取值时 y 0 提示 x 2或x 3 问题2 x在什么范围内取值时 y 0 提示 x 3或x 2 问题3 x在什么范围内取值时 y 0 提示 2 x 3 一元二次函数的图像 一元二次方程的根 一元二次不等式解集之间的关系见下表 x x x1或x x2 x x r x x1 x x2 1 从函数观点来看 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集 就是二次函数y ax2 bx c a 0 的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合 ax2 bx c 0 a 0 的解集 就是二次函数y ax2 bx c a 0 的图像在x轴下方的点的横坐标x的集合 2 解一元二次不等式 要先把二次项系数化为正数 再根据判别式的符号确定相应的方程有无实根 最后根据二次函数的图像写出解集 第一课时一元二次不等式及其解法 例1 解下列一元二次不等式 1 2x2 x 6 0 2 x2 6x 9 0 3 x 7 x 0 4 13 9x2 0 思路点拨 按照解一元二次不等式的步骤来解 精解详析 1 原不等式可化为2x2 x 6 0 方程2x2 x 6 0的判别式 1 2 4 2 6 0 函数y 2x2 x 6的图像开口向上 与x轴无交点 如图 1 观察图像可得 不等式的解集为r 2 原不等式可化为x2 6x 9 0 即 x 3 2 0 函数y x 3 2的图像如图 2 所示 根据图像可得 原不等式的解集为 x x 3 3 原不等式可化为x x 7 0 方程x x 7 0的两根是x1 0 x2 7 函数y x x 7 的图像是开口向上的抛物线 与x轴有两个交点 0 0 7 0 如图 3 观察图像可得 不等式的解集为 x 0 x 7 一点通 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1 通过对不等式的变形 使不等式右侧为0 使二次项系数为正 2 确定相应方程的解 或判断方程无实数解 3 根据一元二次方程解的情况画出对应的二次函数的草图 4 根据图像写出不等式的解集 1 2011 晋江高二检测 不等式5 x2 4x的解集为 a 5 1 b 1 5 c 5 1 d 1 5 解析 原不等式可化为x2 4x 5 0 即 x 5 x 1 0 解集为 x 5 x 1 答案 a 对应方程根的判别式 82 4 17 0 故对应二次函数图像开口向上 与x轴无交点 则x2 8x 17 0的解集是r 原不等式可化为2x2 3x 3 0 对应方程根的判别式 3 2 4 2 3 0 则不等式的解集为 答案 c 3 解不等式 2x2 x 1 0 例2 解关于x的不等式x2 ax 2a2 0 a r 思路点拨 首先将不等式的左边因式分解 求出相应方程的两根 讨论两根的大小关系 写出解集 精解详析 原不等式转化为 x 2a x a 0 对应的一元二次方程的根为x1 2a x2 a 1 当a 0时 x1 x2 不等式的解集为 x a x 2a 2 当a 0时 原不等式化为x2 0 无解 3 当a 0时 x1 x2 不等式的解集为 x 2a x a 综上所述 原不等式的解集为 a 0时 x a x 2a a 0时 a 0时 x 2a x a 一点通 1 熟练掌握一元二次不等式的解法是解决不等式问题的基础 所以应当能够熟练记住形如ax2 bx c 0 0 a 0 的不等式在各种情况下解集的形式 2 含参数的一元二次不等式的解题步骤为 将二次项系数转化为正数 判断相应方程是否有根 根据根的情况写出相应的解集 若方程有两个相异根 为了正确写出解集还要确定两根的大小 4 若a 0 则不等式x2 ax 12a2 0的解集为 a x 3a x 4a b x 3a x 4a c x 4a x 3a d x 4a x 3a 解析 原不等式可化为 x 3a x 4a 0 方程 x 3a x 4a 0两个根为x1 3a x2 4a 又a 0 4a 3a 原不等式的解集为 x 4a x 3a 答案 c 5 解关于x的不等式x2 a a2 x a3 0 a r 解 原不等式可化为 x a x a2 0 当a 0时 a a2 解集为 x x a或x a2 当a 0时 a2 a 解集为 x x 0 当0 a 1时 a2 a 解集为 x x a2或x a 当a 1时 a2 a 解集为 x x 1 当a 1时 a a2 解集为 x x a或x a2 综上所述 当a 0或a 1时 解集为 x x a或x a2 当0 a 1时 解集为 x x a2或x a 当a 0时 解集为 x x 0 当a 1时 解集为 x x 1 一点通 这种题型是已知一元二次不等式的解集 根据三个 二次 之间的关系 由解集得到方程的根 巧妙运用根与系数的关系 将所解不等式的 多个参数 化为 一个参数 从而求解 6 2012 东营高二检测 已知关于x的不等式x2 bx c 0的解集为 x x 1 或x 2 则b2 c2 a 5b 4c 1d 2 解析 根据三个 二次 之间的关系知 1和2是对应一元二次方程x2 bx c 0的两根 b 1 2且c 1 2 b 1 c 2 b2 c2 1 2 2 2 5 答案 a 1 解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图像 一元二次方程的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标 对应不等式的解集 就是使函数图像在x轴上方或下方的部分所对应的x的集合 而方程的根就是不等式解集区间的端点 2 解含参数不等式时一般需对参数进行讨论 何时进行讨论 如何分类是这类题的难点 根据运算的需要分以下几种情况 1 二次项系数含参数时 需要化二次项系数为正 所以对参数符号要进行讨论 2 解 的过程中