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文档简介

6重积分的应用 应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量 还可求曲面的面积 立体的重心 转动惯量和物体之间的引力等 一 曲面的面积 二 重心 三 转动惯量 四 引力 返回 一 曲面的面积 具有连续的一阶偏导数 现讨论由方程 所表示的曲面S的面积 1 对区域D作分割T 把D分成n个小区域 这个分割相应地将曲面S也分成n个 小曲面片 充分小时 有 在点附 现在按照上述曲面面积的概念 来建立曲面面积的 计算公式 作为的面积 注意到和数 或另一形式 到曲面S的面积计算公式 解据曲面面积公式 那一部分的面积 一阶偏导数 且 记 其中 则有 由 4 便得参数曲面 3 的面积公式 例2求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积 图21 39中阴影部分 解设球面的参数方程为 其中R是球面半径 由于 所以 由公式 5 即得所求曲面的面积 注在讨论曲线的弧长时 我们曾用弧内接折线长度 地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积 呢 施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是 不可行的 对此读者可参见有关的数学分析教程 如菲赫金哥尔茨 微积分学教程 中译本第三卷 第二分册 的面积公式 下面用二重积分给予严格证明 例3设平面光滑曲线的方程为 的极限来定义 当各段的长趋于零时 但能否类似 在上册的定积分应用中 曾用微元法给出过旋转面 二 重心 V上连续 为求得V的重心坐标 先对V作分割T 物体就可用这n个质点的质点系来近似代替 由于 质点系的重心坐标公式为 的重心坐标 重心坐标 例4求密度均匀的上半椭球体的重心 由 5例5已知 故得 即求得上半椭球体的重心坐标为 三 转动惯量 A的质量 r是A与l的距离 现在讨论空间物体V的转动惯量问题 我们仍然采 用前面的办法 把V看作由n个质点组成的质点系 然后用取极限的方法求得V的转动惯量 质点A对于轴l的转动惯量为其中m是 质点系对于x轴的转动惯量是 动惯量 类似可得V对于y轴与z轴的转动惯量分别为 同理 物体V对于坐标平面的转动惯量分别为 同样地 平面薄板D对于坐标轴的转动惯量为 平面薄板D对于轴l的转动惯量为 例5求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面中心 轴的转动惯量 图21 40 解设圆环D为 与z轴的距离平方 例6求均匀圆盘D对其直径的转动惯量 图21 41 解设圆盘D为 动惯量 由于D内任一点 其中为圆环的质量 其中m为圆盘的质量 例7设某球体的密度与各点到球心的距离成正比 试求它对于切平面的转动惯量 则球体对于此平面的转动惯量为 经详细计算 可得 四 引力 的引力 示 现用微元法来求V对A的引力 V中质量微元对A的引力在坐标
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