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1 第12章决策论 决策的基本概念与基本类型不确定型决策风险型决策 全情报价值 EVPI 效用理论在决策中的应用多目标决策 层次分析法 2 1 决策的基本概念与基本类型 例如 某工厂准备生产一种新产品 为生产这种产品 有3种方案可供选择 第1种方案是改建原有的生产线 第2种方案是新建一条生产线 第3种方案是将一部分零件包给外厂加工 市场需求量可能是大 中 小3种情况 各方案每年获利情况如下表所示 3 1 决策问题所含的一些主要因素 决策者可以控制的因素 称为方案或行动 决策者不能控制的因素 称为自然状态 简称状态或条件 各种方案所产生的利润 称为结果或效益值 损益值 方案集D 所有可供选择的方案全体所构成的集称为方案集 D中的元素至少是两个 如上例中 D Al A2 A3 状态集I 所有可能出现的状态全体所构成的集称为状态集 如上例I S1 S2 S3 结果集C 各种方案在各种状态下对应的结果全体所构成的集称为结果集如上例中 C 100 80 1 150 60 20 70 40 10 损益是方案Ai和状态Sj的函数 称为损益函数 收益函数或损失函数 记为R Ai Sj 或L Ai Sj 4 5 2 决策的分类 只有一种状态 即状态集I为单元素集 每种方案对应唯一一种效益值 从中选出最大 小 者作为最后的决策 6 2不确定型决策 一 等可能性准则 或称Laplace准则 认为 P S1 P S2 P Sn 1 n 则各方案的期望值为 最优解为 7 例2 某公司生产某种产品 有3种生产方案 其效益情形如表所示 单位 千元 试用等可能性准则确定最优方案 解 设P s1 P s2 1 2 则E A1 200 20 2 90 千元 E A2 150 20 2 85 千元 E A3 100 60 2 80 千元 由于 max 90 85 80 90 E A1 因此 选择A1为最优方案 8 二 悲观准则 或称max mim准则 取 最优方案A 满足 例 试用悲观准则决定上例的最优方案 解 u A1 min 200 20 20 千元 u A2 min 150 20 20 千元 u A3 min 100 60 60 千元 max u Ai max 20 20 60 60 u A3 即A3为最优方案 9 三 乐观准则 或称max max准则 取 最优方案A 满足 例 试用乐观准则决定上例的最优方案 解 u A1 max 200 20 200 千元 u A2 max 150 20 150 千元 u A3 max 100 60 100 千元 又有max u Ai max 200 150 100 200 u A1 即A1为最优方案 10 四 乐观系数准则 或称折衷主义准则 取 最优方案A 满足 例 试用乐观系数准则决定上例的最优方案 取 2 5 解 max u Ai max 68 72 76 76 u A3 即A3为最优方案 11 总结 12 课堂练习 试用上述四种准则决定下例最优方案 乐观系数 3 5 13 五 后悔值准则 或称min max遗憾准则 最小机会损失准则 将每种自然状态下的最优值 效益最大 定为理想目标 并将该状态下的其它效益值与最优值的差称为未达到理想之后悔值 然后把每个方案的最大后悔值找出来 再从这些最大值中找出具有最小值的方案 即为最优方案 14 一般情形下 记后悔值为Rij 即 记第i个方案的最大后悔值为R Ai 建立后悔矩阵 即 最优方案A 则应满足 计算方法 15 例 试用后悔值准则决定上例的最优方案 解 构造后悔矩阵为 min 80 50 100 50 因此 选择A2为最优方案 16 课堂练习 试用后悔值准则决定上例的最优方案 17 总结 18 课堂练习1 试用上述五种准则决定下例最优方案 其中乐观系数 3 5 19 课堂练习2 设某工厂按批生产某产品并按批销售 每件产品成本为30元 批发价格为35元 若每周生产的产品当月销售不完 则每件损失1元 工厂每投产一批是10件 最大月生产能力是40件 决策者可选择的生产方案是0 10 20 30 40件五种 假设决策者对其产品的需求情况一无所知 试问如何决策 才使每月利润最大 20 作业 管理运筹学P301 某食品店经营一种面包 根据已往资料 每天的销量可能是100 150 200 250 300个 但概率分布不知道 如果一个面包当天没有出售 则可在当天营业结束时以0 15元的价格处理 每个面包的进货价格为0 25元 新鲜面包的售价是0 49元 假定进货量是销售量中某一个 要求 1 作出此决策问题的收益矩阵 2 分别用五种决策准则求最优进货量 21 3风险型决策 两种基本决策准则 最大概率准则和最大期望值准则 22 一 最大概率准则 将风险决策化为确定型决策 解 从表中可看出 天气多云的概率为0 6最大 根据最大概率准则 只考虑多云这种状态下的决策 显然 max 25 27 15 27 故采用方案A2 即中规模展销为最优方案 例 某公司预定在某日举行展销会 获利大小除与举办规模大小有关外 还与天气好坏有关 根据天气形势预计 该日天气可能出现3种情况 晴的概率为0 1 多云的概率为0 6 下雨的概率为0 3 其效益情况如表所示 试用最大概率准则决定采用何种规模举行展销 23 二 最大期望值准则 ExpectedmontearyvalueEMV 求出各方案的效益期望值E Ai 然后进行比较 选择效益期望值最大的方案为最优方案 即 故采用方案A1 即大规模展销为最优方案 24 1 矩阵法 令 则 E A BP 25 2 决策树法 决策点与决策枝 方案枝 用方框结点表示决策结点 从决策点引出的直线称为决策枝 方案枝 每枝代表一个方案Ai 2 机会点与机会枝 概率枝 用圆结点表示机会点 从机会点引出的直线称为机会枝 概率枝 每枝代表 种状态Si 并注明其出现的概述P Si 3 结果点用三角结点表示结果点 它代表某一方案在某一状态下的结果 效益值标在结果点旁边 一般将效益期望值分别标在机会点及决策点的上方 26 某工厂有位推销员 计划某天到甲 乙两公司推销一批产品 与每个公司洽谈成交的概率和上午谈还是下午谈有关 到甲公司洽谈成交的概率 上午为0 8 下午为0 7 到乙公司洽谈成交的概率 上午为0 5 下午为0 4 如果在某公司谈成则不需要再到另一公司 又若上午在某公司未谈成 可等下午继续谈 也可下午去另一公司 与甲公司成交后 可获利润8000元 与乙公司成交后 可获利润10000元 问此推销员应如何安排行动方案 解令x表示上午 y表示下午 Xl Yl表示与甲公司洽淡成功 P X1 0 8 P Y1 0 7 X2 Y2表示与甲公司洽淡失败 P X2 0 2 P Y2 0 3 X3 Y3表示与乙公司洽谈成功 P X3 0 5 P Y3 0 4 X4 Y4表示与乙公司洽谈失败 P X4 0 5 P Y4 0 6 例题 27 第一步画决策树如图所示 28 第二步计算二级决策部分各机会点的效益期望值 并进行决策 第三步 计算一级决策部分各机会点的效益期望值 并进行决策 最优方案就是选择上午去乙公司 如果未谈成功 则下午去甲公司 29 课堂练习 某仓储公司打算新建一座巨型仓库 现有两种建造方案可供选择 一个是一开始就建5 104m2的仓库 投资费用是50元 m2 另一个是建2 104m2的仓库 三年后再决定是否扩建3 104m2的仓库 投资费用是55元 m2 仓库的存储情况 据统计头三年需求高的可能性是0 6 需求低的可能性是0 4 如果头三年需求高 则后七年需求高的可能性是0 8 如头三年需求低 则后七年需求高的可能性是0 3 仓库投入使用后 5 104m2的仓库在需求高时每年可获利120万元 需求低时只能获利20万元 而2 104m2的仓库在需求高时每年可获利45万元 需求低时只能获利40万元 仓储公司考虑10年的收益效果 要求 1 用决策树方法求出最优策略 2 若把前三年需求高的可能性改为0 3 最优决策是什么 30 31 各点的期望收益 故决策方案应为 修建大仓库 32 三 全情报的价值 EVPI 全情报的价值 expectedvalueofperfectinformationEVPI 全情报 可以完全准确地预测未来出现的各自然状态的信息 情报 称为全情报 全情报利润期望值 expectedprofitofperfectinformationEPPI 设EMV为无情报时的最大利润期望值 即期望值法 设搜集全情报费用为CPI costofperfectinformation 则只有当CPI EPPI时 全情报才值得搜集 全情报的价值为 EVPI EPPI EMV 33 例 设某地区可能贮有石油 其概率为0 3 若自行钻探 需花费300万 一旦有石油 开采后可获利1000万 若将钻探及开采权租让给国外公司 可得租金100万 若有石油还可再得100万 问应如何决策 解 用最大期望法 得期望获利130万 如下表所示 EPPI 1000 0 3 100 0 7 370 万元 EVPI 370 130 240 万元 若不实际钻探 就无法准确地肯定是否有油 而全情报 钻探 费为300万 超出其价值 显然不合算 34 决策是否正确和信息的获得有密切关系 决策者在决策过程中获得的信息越多 据此作出的决策越可靠 为了获得信息需要进行调查 实验和咨询 为衡量信息调查费是否值得 有必要对信息本身价值进行计算 补充信息获得后 会使原来的期望值发生变化 在决策过程中 所依据的状态概率是在方案实施前给定的 称为先验概率P S1 P S2 等 为增加决策把握 降低风险 组织调查组进行对市场调查 获得的信息修正原来概率 修正后的概率称为后验概率 四 有补充信息的决策问题 后验决策 35 进行市场调查的目的是获得条件概率 并以此做为修正后的状态概率 根据贝叶斯公式 36 例 某工厂计划生产一种新产品 产品的销售情况有好 S1 中 S2 差 S3 三种 据已往经验 估计三种情况的概率分布和利润如下表1所示 为进一步摸清市场对这种产品的需求情况 工厂通过调查和咨询的方法得到一份市场调查表2 销售情况也有好 T1 中 T2 差 T3 三种 其概率如表2所示 假定得到市场调查表的费用为0 6万元 试问 补充信息的价值多少 如何决策可使得利润期望值最大 37 38 解 1 画出决策树如图 2 91 39 2 计算相关概率 40 4效用理论 研究决策者对价值与风险的关系 效用值 与决策者的经济地位 个人素质 对风险的态度等有关 例 有一个投资为200万元的工厂 该厂发生火灾的可能性是0 1 工厂的决策者面临的问题是 要不要保险 若买保险 每年应支付2500元保险费 在 旦发生火灾后 保险公司可以偿还全部资产 若不保险 就不需要支付保险费 但发生火灾后 工厂的决策者承担资产损失的责任 一 效用概念 41 决策者面对这个决策问题时 若仍按货币损益期望值为准则进行决策 他的结论是 不保险 因为工厂发生火灾的损失的期望值是200万元 0 001 2000元 小于保险费 这种结论往往与实际情况不一致 工厂决策者一般都是愿意保险的 并愿意每年支付保险费 而不希望发生火灾 这里提出了这样一个问题 同一笔货币量在不同场合的情况下 它的价值在人们的主观上具有不同的值的含意 经济学家和社会学家应用了效用这个概念 用它去衡量人们对同一笔货币在主观上的价值 这就给出货币的效用值的概念 42 例2设某人在参与某次活动中获得一笔奖金 主办者规定两种领奖办法 第一种 直接领取1000元奖金 第二种 采用抽签发奖办法 抽中了 可得到奖金3000元 抽不中 则得不到奖金 抽中或抽不中的概率各为0 5 问该人需决策按那种办法领奖 按第一种办法领奖 比较稳妥 可以稳得1000元 按第二种办法领奖 得奖的期望值是3000 0 5 0 0 5 1500元 但他可能选择第一种领奖的办法 稳得1000元 若将第二种发奖办法的得奖额由3000元增加到5000元 其它条件不变 这时他可能认为值得去冒一下险 值得按第二种办法去领奖 因为他认为承担50 的风险去得到5000元的奖金是同稳得1000元奖金具有同样的效用值 若第二种发奖办法的得奖额还是3000元 但得奖的机会提到80 他也可能认为值得去冒一下险 按第二种办法去领奖 这就是说 稳得1000元奖金 有80 机会得到3000元与有50 机会得到5000元这三种情况 对该人来讲具有相同的效用值 显然 这三种情况 对该人来讲具有 等价性 43 同一种货币 在不同风险情况下 对同一个人来讲具有不同效用值在同等程度的风险情况下 不同人对风险的态度不同 这时对相同货币量的得失有不同的效用值 一般规定 效用值最大为1 最小为0 在一个问题中 结果集C中的任何两个结果 对决策者来说应该是可以比较的 如C中的a b 用a b表示在a与b两个结果之间 决策者 偏好 a 或称a优于b 用a b表示决策者认为a与b 无差别 用a b表示决策者认为a不差于b 用u a 表示结果a的效用值 显然 a b时 u a u b 44 二 效用曲线 用效用值进行决策时 需要绘制效用曲线 效用曲线表示每个结果与其所具有的效用值的对应关系 绘制效用曲线时 先找出一些结果所对应的效用值 然后用横坐标表示结果 用纵坐标表示效用值 这样就确定了曲线上的点 最后平滑地将这些点连接起来就得到了效用曲线 首先在结果集C中 找出两个特殊的结果c 与c0 c 不差于C中每一个结果 而C中每一个结果不差于c0 得到效用曲线上的两个端点 c 1 和 c0 0 然后对决策者采取询问的方式确定cl 使得肯定得到cl与以0 5的概率得c 与以0 5的概率得c0无差别 记作cl c 0 5 c0 0 5 cl的效用值为 u cl 0 5u c 0 5u c0 0 5 这就找出了效用曲线上的另一点 cl 0 5 45 类似地 再找c2 c 0 5 cl 0 5 c3 cl 0 5 c0 0 5 并求得效用值u c2 0 5u c 0 5u cl 0 75u c3 0 5u cl 0 5u c0 0 25 于是又得到效用曲线上的两点 c2 0 75 和 c3 0 25 照此做下去 可得到另外的许多点 平滑地连接这些点 便得到所求的效用曲线 0 1 c0 c c1 0 5 c3 0 75 c2 0 25 46 例3某决策问题如表所示 试绘出其效用曲线 解结果集C 300 200 50 50 显然取c 300 c0 50 效用值u c l u c0 0 于是得到效用曲线上的两端点 300 1 和 50 0 47 1 询问决策者 在 300 0 5 50 0 5 与肯定得100两者之间选哪一个 如果决策者选稳得100 则说明肯定得100比 300 0 5 50 0 5 的效用值大 那末减少肯定得的值 若当肯定得50与 300 0 5 50 0 5 决策者认为一个样 即50 300 0 5 50 0 5 时 则肯定得50的效用值等于 300 0 5 50 0 5 的效用值 即u 50 0 5u 300 0 5u 50 0 5 得效用曲线上的一点 50 0 5 2 再询问决策者 找出与 300 0 5 50 0 5 无差别的稳得值 假定为130 即130 300 0 5 50 0 5 130的效用值则为 u 130 0 5 1 0 5 0 5 0 75 又得到效用曲线上的一点 130 0 75 3 继续询问决策者 找出与 50 0 5 50 0 5 无差别的稳得值 假定为 10 即 10 50 0 5 50 0 5 10的效用值则为 u 10 0 5 0 5 0 5 0 0 25 又得到效用曲线上的一点 10 0 25 重复以上询问过程 则能得到足够的点 即可描绘出效用曲线 如图所示 得到效用曲线后 就可根据效用曲线进行决策 48 效用曲线反映了结果与效用值之间的对应关系 对于不同人 不同决策问题 效用曲线也不同 不过大致可分为3种类型 如上图所示 当曲线是向上凸时 它代表的决策者是谨慎小心的避险型 保守型 这类决策者的特点是对利益反映比较迟缓 对损失比较敏感 如有任意两个结果a b 令c 0 5a 0 5b 此类决策者宁愿稳得c 而不愿选 a 0 5 b 0 5 即u c 0 5u a 0 5u b 当曲线是直线时 它所代表的决策者是按效益期望值决策的中间型 风险无关型 这类决策者认为c a 0 5 b 0 5 即u c 0 5u a 0 5u b 此种类型按效用期望值与按效益期望值进行决策 会得到同样的最优方案 当曲线是向下凸的 它所代表决策者是敢冒风险求大利的冒险型 进取型 这类决策者的特点是对损失反应迟缓 对利益则比较敏感 此类决策者与避险型相反 宁愿选择 a 0 5 b 0 5 而不愿选择稳得c的方案 即u c 0 5u a 0 5u b 49 例4为生产某种新产品需建新工厂 有两个基建方案 一是建大厂 二是建小厂 大厂需要投资300万元 小厂需要160万元 两者使用期都为10年 估计在些期间产品销路好的可能性是0 7 两个方案的年度效益值如表所示 试进行决策 解 1 用效益率进行决策 E 2 0 7 100 10 0 3 20 10 640 万元 E 3 0 7 40 10 0 3 10 10 310 万元 建大厂的效益率为640 300 2 1建小厂的效益率为310 160 1 8所以选择建大厂为最优决策 50 2