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1 第十一章曲线积分与曲面积分 2 3 4 5 1对弧长的曲线积分 定义 函数在光滑平面曲线上有界 性质 几何意义 当时 为曲线的弧长 6 1 1对弧长的曲线积分的计算 7 1 2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算 设平面曲线关于轴对称 且位于上半平面的部分曲线为 则如果被积函数关于是奇函数 则 如果被积函数关于是偶函数 则 平面曲线关于轴对称时有类似的结论 8 设空间曲线关于面对称 且位于面上半部分曲线为 则如果被积函数关于是奇函数 则 如果被积函数关于是偶函数 则 关于其它坐标面的对称性也有类似结论 1 2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算 9 2 1对坐标的曲线积分的定义 定义 函数在上对坐标的曲线积分函数在上对坐标的曲线积分 10 2 1对坐标的曲线积分的定义 定义 在空间的有向光滑曲线上的对坐标的曲线积分 性质 11 2 2对坐标曲线积分的计算 设有向光滑曲线 起点参数 终点参数 当单调地从变到时 点从起点变到终点 连续且不同时为零 则同理 一般的 12 对于空间有向光滑曲线 则两类曲线积分之间的关系 其中 是空间曲线方向的方向余弦 13 3 1格林公式 有界闭区域由分段光滑的曲线围成 函数 在区域内的一阶偏导数连续 是区域的正向边界曲线 则注 14 3 2四个等价命题 设为单连通区域 函数 在区域内的一阶偏导数连续 则以下四个命题等价 在内 对于内的任意一条闭曲线 对于内任意一条曲线 积分值与路径无关 只与的起点和终点有关 存在内的可微函数 使得 15 4 1对面积的曲面积分 定义 性质 几何意义 是曲面的面积 16 4 2对面积的曲面积分的计算 设曲面一阶偏导数连续 则当时 如果曲面方程为或时 有类似的计算方法 17 4 3关于面积的曲面积分的对称性 对于积分 积分曲面关于坐标面面对称 则 如果被积函数关于是奇函数 则 如果被积函数关于是偶函数 则其中是的在坐标面上半部分的曲面 对其他情形有类似的对称性 18 5 1对坐标的曲面积分 定义 函数在有向曲面上对坐标的曲面积分 记作 同理 可定义 19 性质 1 2 若表示与相反侧的有向曲面 则 20 5 2对坐标的曲面积分的计算 设曲面 取上侧 在面上的投影区域为 在上连续 函数在上一阶偏导数连续 则当曲面取下侧时 21 即同理 上侧为正 下侧为负 前侧为正 后侧为负 右侧为正 左侧为负 22 5 3两类曲面积分之间的关系 其中为有向曲面的指定一侧的法向方向的方向余弦 23 6 高斯公式 Gauss 定理 设空间区域由分片光滑的曲面围成 函数在上的一
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