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例4 15P179 一个正态总体的区间估计 为估计一件物体的重量a 将其称了10次 得到的重量 单位 kg 为10 1 10 9 8 10 5 9 7 10 1 9 9 10 2 10 3 9 9 假设所称出物体重量服从正态分布求该物体重量a的置信系数为0 95的置信区间 x c 10 1 10 9 8 10 5 9 7 10 1 9 9 10 2 10 3 9 9 t test x 程序结果 OneSamplet testdata xt 131 59 df 9 p value 4 296e 16alternativehypothesis truemeanisnotequalto095percentconfidenceinterval 9 87722510 222775sampleestimates meanofx10 05得到的区间估计为 9 88 10 22 例4 18P185 均值差的区间估计 现从生产线上随机抽取样本x1 x2 x12和y1 y2 y17 都服从正态分布 其均值分别为u1 201 1 u2 499 7 标准差分别为2 4 4 7 给定置信系数0 95 试求u1 u2的区间估计 x rnorm 12 501 1 2 4 y rnorm 17 499 7 4 7 两样本方差不同t test x y 程序结果 WelchTwoSamplet testdata xandyt 0 6471 df 25 304 p value 0 5234alternativehypothesis truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval 3 6571211 907620sampleestimates meanofxmeanofy500 7888501 6635u1 u2的置信系数为0 95的区间估计为 3 66 1 91 方差相同t test x y var equal TRUE 例4 19P186 配对数据情形下均值差的区间估计 抽查患者10名 记录下治疗前后血红蛋白的含量数据 试求治疗前后变化的区间估计 a 0 05 x c 11 3 15 0 15 0 13 5 12 8 10 0 11 0 12 0 13 0 12 3 y c 14 0 13 8 14 0 13 5 13 5 12 0 14 7 11 4 13 8 12 0 t test x y 程序结果 OneSamplet testdata x yt 1 3066 df 9 p value 0 2237alternativehypothesis truemeanisnotequalto095percentconfidenceinterval 1 85728810 4972881sampleestimates meanofx 0 68治疗前后变化的区间估计为 1 86 0 497 例4 22P193 一个总体求均值的单侧置信区间估计 从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验测得寿命以小时计为10501100112012501280设灯泡的寿命服从正态分布 求灯泡寿命平均值的置信度为0 95的单侧置信下限 x c 1050 1100 1120 1250 1280 t test x alternative greater 程序结果 OneSamplet testdata xt 26 003 df 4 p value 6 497e 06alternativehypothesis truemeanisgreaterthan095percentconfidenceinterval 1064 9Infsampleestimates meanofx116095 的灯泡寿命在1064 9小时以上 习题4 6P201甲 乙两种稻种分布播种在10块试验田中 每块试验田甲 乙稻种各种一半 假设两稻种产量X Y均服从正态分布 且方差相等 收获后10块试验田的产量如下所示 单位 千克 求出两稻种产量的期望差u1 u2的置信区间 a 0 05 x c 140 137 136 140 145 148 140 135 144 141 y c 135 118 115 140 128 131 130 115 131 125 t test x y var equal T 程序结果TwoSamplet testdata xandyt 4 6287 df 18 p value 0 0002087alternativehypothesis truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval 7 53626120 063739sampleestimates meanofxmeanofy140 6126 8置信区间为 7 536261 20 063739 习题4 7甲 乙两组生产同种导线 现从甲组生产的导线中随机抽取4根 从乙组生产的导线中随机抽取5根 它们的电阻值分别为 甲 0 143 0 142 0 143 0 137 乙 0 140 0 142 0 136 0 138 0 140 假设两组电阻值分别服从正态分布 方差相同但未知 试求u1 u2的置信系数为0 95的区间估计 x c 0 143 0 142 0 143 0 137 y c 0 140 0 142 0 136 0 138 0 140 a rnorm 4 mean x var x b rnorm 5 mean y var y t test a b 程序结果 WelchTwoSamplet testdata aandbt 636 28 df 5 788 p value 3 028e 15alternativehypothesis truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval 0 0020414400 002057343sampleestimates meanofxmeanofy0 14124940 1392000区间为 0 00204 0 00205 例5 2P209 单个正态总体均值的假设检验 某种元件的寿命X 小时 服从正态分布 其中f方差和均值均未知 16只元件的寿命如下 问是否有理由认为元件的平均寿命大于255小时 x c 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 t test x alternative greater mu 225 程序结果 OneSamplet testdata xt 0 66852 df 15 p value 0 257alternativehypothesis truemeanisgreaterthan22595percentconfidenceinterval 198 2321Infsampleestimates meanofx241 5计算出P值为0 257大于0 05 所以 接受原假设 即认为元件的平均寿命不大于255小时 例5 6P221 二项分布总体的假设检验 有一批蔬菜种子的平均发芽率为P 0 85 现在随机抽取500粒 用种衣剂进行浸种处理 结果有445粒发芽 问种衣剂有无效果 binom test 445 500 p 0 85 程序结果 Exactbinomialtestdata 445and500numberofsuccesses 445 numberoftrials 500 p value 0 01207alternativehypothesis trueprobabilityofsuccessisnotequalto0 8595percentconfidenceinterval 0 85923420 9160509sampleestimates probabilityofsuccess0 89P值 0 01207 0 05 拒绝原假设 认为种衣剂对种子发芽率有显著效果 习题5 1P249正常男子血小板计数均值为225 10 9 L 今测得20名男性油漆作业工人的血小板计数值如下 问油漆工人的血小板计数与正常成年男子有无差异 x c 220 188 162 230 145 160 237 188 247 113 126 245 164 231 250 183 190 158 224 175 t test x alternative two side mu 225 程序结果 OneSamplet testdata xt 3 5588 df 19 p value 0 002096alternativehypothesis truemeanisnotequalto22595percentconfidenceinterval 172 2743211 3257sampleestimates meanofx191 8P值 0 002096 0 05 拒绝原假设 认为油漆工人的血小板计数与正常成年男子有差异 习题5 3为研究某铁剂治疗和饮食治疗营养性缺铁性贫血的效果 将16名患者按年龄 体重 病程和病情相近的原则配成8对 分别使用饮食疗法和补充铁剂治疗的方法 三个月后测得两种患者血红蛋白如表5 1所示 问两种方法治疗后的患者血红蛋白有无差异 x0 05 接受原假设 两种方法治疗后的患者血红蛋白无差异 例6 2P257 回归方程的显著性检验 求例6 1的回归方程 并对相应的方程做检验 x c 0 1 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 20 0 21 0 23 y c 42 0 43 5 45 0 45 5 45 0 47 5 49 0 53 0 50 0 55 0 55 0 60 0 lm sol lm y 1 x summary lm sol 程序结果见下一张PPT回归方程为 从回归结果可以看出 回归方程通过了回归参数的检验与回归方程的检验 例6 2的程序结果 程序结果 Call lm formula y 1 x Residuals Min1QMedian3QMax 2 0431 0 70560 16940 66332 2653Coefficients EstimateStd ErrortvaluePr t Intercept 28 4931 58018 045 88e 09 x130 8359 68313 519 50e 08 Signif codes 0 0 001 0 01 0 05 0 1 1Residualstandarderror 1 319on10degreesoffreedomMultipleR squared 0 9481 AdjustedR squared 0 9429F statistic 182 6on1and10DF p value 9 505e 08 例6 4P260 预测 求例6 1中X x0 0 16时相应的Y的概率为0 95的预测区间 new data frame x 0 16 lm pred predict lm sol new interval prediction level 0 95 lm pred程序结果 fitlwrupr49 4263946 3662152 48657预测值为49 43 预测区间 46 37 52 49 例6 5P261 全面展示一元回归模型的计算过程 Forbes数据 X matrix c 194 5 20 79 1 3179 131 79 194 3 20 79 1 3179 131 79 197 9 22 40 1 3502 135 02 198 4 22 67 1 3555 135 55 199 4 23 15 1 3646 136 46 199 9 23 35 1 3683 136 83 200 9 23 89 1 3782 137 82 201 1 23 99 1 3800 138 00 201 4 24 02 1 3806 138 06 201 3 24 01 1 3805 138 05 203 6 25 14 1 4004 140 04 204 6 26 57 1 4244 142 44 209 5 28 49 1 4547 145 47 208 6 27 76 1 4434 144 34 210 7 29 04 1 4630 146 30 211 9 29 88 1 4754 147 54 212 2 30 06 1 4780 147 80 ncol 4 byrow T dimnames list 1 17 c F h log log100 forbes data frame X plot forbes F forbes log100 程序结果是出现散点图 lm sol t Intercept 42 130873 33895 12 622 17e 09 F0 895460 0164554 45 2e 16 Signif codes 0 0 001 0 01 0 05 0 1 1Residualstandarderror 0 3789on15degreesoffreedomMultipleR squared 0 995 AdjustedR squared 0 9946F statistic 2965on1and15DF p value 2 2e 16 abline lm sol 程序结果 得到散点图和相应的回归直线 y res t Intercept 41 301801 00038 41 295 01e 16 F0 890960 00493180 73 2e 16 Signif codes 0 0 001 0 01 0 05 0 1 1Residualstandarderror 0 1133on14degreesoffreedomMultipleR squared 0 9996 AdjustedR squared 0 9995F statistic 3 266e 04on1and14DF p value 2 2e 16 例6 14P292某公司为了研究产品的营销策略 对产品的销售情况进行了调查 设Y为某地区该产品的家庭人均购买量 单位 元 X为家庭收入 单位 元 表6 8给出了53个家庭的数据 试通过这些数据建立Y与X的关系 X scan 6792921012493582115699721891097207818181700747203016434143541276745435540874154310297101434837174813811428125517773702316113046377072480879078340612426581746468111441317873560149522211526Y scan 0 790 440 560 792 703 644 739 505 346 855 845 213 254 433 160 500 171 880 771 390 561 565 280 644 000 314 204 883 487 582 634 990 598 194 790 511 744 103 940 963 290 443 242 145 710 641 900 518 3314 945 113 853 93 lm sol t Intercept 0 83130370 4416121 1 8820 0655 X0 00368280 000333911 0304 11e 15 Signif codes 0 0 001 0 01 0 05 0 1 1Residualstandarderror 1 577on51degreesoffreedomMultipleR squared 0 7046 AdjustedR squared 0 6988F statistic 121 7on1and51DF p value 4 106e 15 y rst rstandard lm sol y fit predict lm sol plot y rst y fit abline 0 1 0 5 abline 0 1 0 5 程序结果 画出了标准化后的残差图 lm new t Intercept 5 822e 011 299e 014 4814 22e 05 X9 529e 049 824e 059 6993 61e 13 Signif codes 0 0 001 0 01 0 05 0 1 1Residualstandarderror 0 464on51degreesoffreedomMultipleR squared 0 6485 AdjustedR squared 0 6416F statistic 94 08on1and51DF p value 3 614e 13 yn rst rstandard lm new yn fit predict lm new plot yn rst yn fit 习题6 1P331为估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响 在山上建立一个观测站 测量最大积雪深度X 米 与当年灌溉面积Y 公颂 测得连续10年的数据如表6 1所示 snow t x385 515 0975 746 17e 14 Signif codes 0 0 001 0 01 0 05 0 1 1Residualstandarderror 104 6on9degreesoffreedomMultipleR squared 0 9984 AdjustedR squared 0 9983F statistic 5736on1and9DF p value 6 169e 14 现测得今年的数据是X 7m 给出今年灌溉面积的预测值与相应的区间估计 a 0 05 4 X data frame x 7 lm pred predict lm sol X interval prediction level 0 95 lm pred 拟合