高中数学 1.3.1第1课时 函数的单调性课件 新人教A版必修1.ppt

第一章集合与函数概念 1 3函数的基本性质1 3 1单调性与最大 小 值第1课时函数的单调性 1 理解函数单调性的概念 重点 难点 2 掌握判断函数单调性的一般方法 重点 易错点 3 会求函数的单调区间 重点 1 定义域为i的函数f x 的增减性 2 函数的单调性与单调区间如果函数y f x 在区间d上是 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的 增函数或减函数 单调区间 想一想 1 在增 减函数定义中 能否把 任意两个自变量 改为 存在两个自变量 提示 不能 如图所示 虽然f 1 f 2 但f x 在 1 2 上并不递增 2 若函数f x 在其定义域内的两个区间a b上都是增 减 函数 能不能认为f x 在a b上是增 减 函数呢 3 所有的函数都具有单调性吗 1 增函数 减函数定义的理解 1 单调性是与 区间 紧密相关的概念 一个函数在定义域的不同区间内可以有不同的单调性 即单调性是函数的一个 局部 性质 2 定义中的x1 x2有以下三个特征 任意性 即 任意取x1 x2 中 任意 二字绝不能去掉 证明时不能以特殊代替一般 有大小 属于同一个单调区间 3 单调性可使自变量取值的不等关系与函数值的不等关系相互转化 2 从三方面正确理解单调函数 1 有些函数在定义域上是单调的 如函数y x 有些却只在定义域内的子区间上单调 如y x2在 0 上为减函数 在 0 上为增函数 还有不单调的函数 如y 3 3 增减函数与图象升降的关系若函数f x 在区间d上是增函数 则f x 的图象在d上是上升的 若函数f x 在区间d上是减函数 则f x 的图象在d上是下降的 反之亦然 利用定义证明函数的单调性 互动探究 判断并证明本例中函数f x 在 0 1 上的单调性 利用增函数或减函数的定义证明或判断函数单调性的一般步骤为 求函数y x2 2 x 3的单调区间 根据函数图象求单调区间 由图象可以看出 在 1 和 0 1 上的图象是上升的 在 1 0 和 1 上的图象是下降的 函数的单调递增区间是 1 和 0 1 单调递减区间是 1 0 和 1 1 由函数图象确定函数单调区间是一种直观简单的方法 对于求较复杂的函数的单调区间 可以利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求 2 一个函数出现两个或两个以上单调区间时 不能用 而应该用 和 或 来表示 3 求函数的单调区间不能忽视定义域 单调区间是定义域的子集 2 作出函数y x x 1 的图象 并指出函数的单调区间 已知函数f x x2 2 a 1 x 2在 4 上是减函数 求实数a的取值范围 已知函数单调性求参数的取值范围 解 f x x2 2 a 1 x 2 x a 1 2 a 1 2 2 此二次函数的对称轴为x 1 a f x 的单调减区间为 1 a f x 在 4 上是减函数 对称轴x 1 a必须在直线x 4的右侧或与其重合 1 a 4 解得a 3 实数a的取值范围是 3 互动探究 在本例中 若将 函数f x 在 4 上是减函数 改为 函数f x 的单调递减区间为 4 则a为何值 若改为 函数f x 在 4 上是增函数 呢 已知函数的单调性求参数的取值范围 要注意数形结合思想 采用逆向思维 利用已知函数研究函数单调性问题 像一次函数 二次函数 正比例函数 反比例函数的单调性不必用定义研究 直接判断即可 易错误区系列 三 忽视分段函数分段点处的单调性致误 错解 本题易错选d 因忽视分段点x 1处函数值的大小比较 从而导致答案不正确 正解 由x 1时 f x x2 2ax 2a是减函数 得a 1 由x 1时 函数f x ax 1是减函数 得a 0 分段点1处的值应满足 12 2a 1 2a 1 a 1 解得a 2 2 a 0 故选b 答案 b 纠错心得 1 函数图象的应用在函数的单调性这一部分 尤其出现二次函数和分段函数来求参数的取值范围时 都先要画出函数图象 从而避免在求参数的取值范围时出错 如本例在两段中都可借助草图列出关系式 进而求出a的范围 2 特殊情况的处理在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时 不仅要