高考数学冲刺专题复习之——均值不等式(教师版).doc

高考数学（文）冲刺专题复习之均值不等式一、知识点梳理1、均值不等式 （1）基本不等式：若a,bR，则a2+b22ab（当且仅当a=b时取“=”号） （2）均值不等式：若a,bR+，则（当且仅当a=b时取“=”号）（一正）；（二定：积定和最小，和定积最大）若，则有最大值；若，则有最小值；（三相等）当且仅当a=b时取“=”号； （3）均值不等式的推广（三个数的均值不等式）：若，则（等号仅当时成立）2、均值不等式的变形 ； ；3、二个重要不等式：若a,b同号，则（当且仅当a=b时取“=”号）若xR+，则（当且仅当时取“=”号）4、由不等式求最值的方法：（1）、积定，求和最小值：基本不等式a2+b22ab （2）、和定，求积最大值：（3）、和定，求和与积的最大、最小： 5. 不等式解法 整式不等式：； 图像法 高次不等式：穿根法(系数正化、轴上标根、穿根取解)分式不等式：（分整）；绝对值不等式：（）；（）或（若换为可仿上处理）6.简单的线性规划二元一次不等式（组）表示的平面区域及判定方法；可行域：满足约束条件（不等式组）所表示的平面区域；目标函数：关于的函数解析式；线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。解线性规划问题的一般步骤：设未知数、列出约束条件、建立目标函数、求最优解。二、考点、题型及方法考点1 均值不等式1、设,且，则的最小值为 。2、（重庆）已知，则的最小值是（A） （B）4 （C） （D）5（C）3、（10 山东）若对任意，则实数的取值范围是 .【解】因为，所以（当且仅当时等号成立），则，即的最大值为，故.4、（四川）设，则的最小值是w_w w. k#s5_u.c o*m（A）2 （B）4 （C） （D）5【解】 w_w_w.k*s 5*u.c o*m当且仅当时等号成立如取满足条件.（B） 5、（上海）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）（A） （B） （C） （D）（D）6、（重庆）已知，则的最小值是（ ）（A）3 （B）4 （C） （D） 【解】考察均值不等式，整理得 即，又，7、（1）求的最大值。（2）求函数的最小值。【解】（1），即的最大值为，当且仅当时，即，时取得最大值。 （2）的最小值为3，当且仅当，即，时取得最小值。8、已知，求的最小值【解】法1：（换元法）令，即在时，取最小值。因为，所以。所以。当，即时，有最小值是法2：所以，训练 ,，求的最大值。提示：9、若实数，满足，则的最小值为（ ）（A）18 （B）6 （C） （D）（B） 10、当时，函数的最小值是 。 11、已知，求的最小值。12、已知，求的最小值。提示：13、已知，为锐角，求的最大值提示：利用公式，得到考点2 线性规划1、（四川）（8）某加工厂用某原料由车间加工出产品，由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品，每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品，每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱y0x70488070(15,55)（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱则目标函数z280x300y结合图象可得：当x15,y55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案：B 训练 （四川）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 【解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系： A原料 B原料甲产品吨 3 2 乙产品吨 （3，4）（0，6）O（，0）913 3 则有： 目标函数 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当3，5时可获得最大利润为27万元，故选D 三、高考链接1、（浙江）若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是（）ABC5D6 【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧. 【解析】x+3y=5xy, . 2、（天津）设若的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选择C3、（四川）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 . 【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。4、（2009浙江）若实数满足不等式组则的最小值是 . 答案：4 【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，5、(山东)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元. . 【解析】:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 产品 设备 A类产品 (件)(50) B类产品 (件)(140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即:, . 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. . 答案:2300【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题. 6、设且的最大值是_7、若实数满足，则的最小值是_ 8、设是满足的正数，则的最大值是_9、（浙江）若正实数满足，则 的最小值是 10、（江苏）.的最小值为 3.；4.6；5.；6.18； 8.3；11、（江苏）设变量x、y满足约束条件，则的最大值为1812、（浙江）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（A） （B） （C）1 （D）2解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 （2010天津文数）(2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为（A）12 （B）10 （C）8 （D）2【答案】