2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算学案新人教A版.docx

62.3向量的数乘运算考点学习目标核心素养向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理 问题导学预习教材P13P16的内容，思考以下问题：1向量数乘的定义及其几何意义是什么？2向量数乘运算满足哪三条运算律？3向量共线定理是怎样表述的？4向量的线性运算是指的哪三种运算？1向量的数乘的定义一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|a|(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0名师点拨 是实数，a是向量，它们的积a仍然是向量实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如a，a均没有意义2向量数乘的运算律设，为实数，那么：(1)(a)()a(2)()aaa(3)(ab)ab3向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b(2)向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba名师点拨 若将定理中的条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线(1)若b0，则不存在实数，使ba.(2)若b0，则对任意实数，都有ba. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量a的积还是向量()(2)3a与a的方向相同，3a与a的方向相反()(3)若mamb，则ab.()(4)向量共线定理中，条件a0可以去掉()答案：(1)(2)(3)(4) 4(ab)3(ab)b等于()Aa2bBaCa6b Da8b答案：D 若|a|1，|b|2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()Ab2a Bb2aCa2b Da2b答案：A 在四边形ABCD中，若，则此四边形的形状是_答案：梯形向量的线性运算(1)计算：4(ab)3(ab)8a；(5a4bc)2(3a2bc)；.(2)设向量a3i2j，b2ij，求(2ba)【解】(1)原式4a4b3a3b8a7a7b.原式5a4bc6a4b2cac.原式ab.(2)原式abab2baabab(3i2j)(2ij)iji5j.向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算 1化简(ab)(2a4b)(2a13b)_解析：原式ababab()a()b0a0b000.答案：02若2(bc3x)b0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x.解：因为2xabcxb0，所以xabc0，所以xabc，所以xabc.向量共线定理及其应用已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值【解】(1)证明：因为e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.所以，共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线(2)因为ke1e2与e1ke2共线，所以存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k1.向量共线定理的应用(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行 (2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_解析：由题意知存在kR，使得abk(b3a)，所以解得答案：用已知向量表示其他向量如图，ABCD是一个梯形，且|2|，M，N分别是DC，AB的中点，已知e1，e2，试用e1，e2表示下列向量(1)_；(2)_【解析】因为，|2|，所以2，.(1)e2e1.(2)e1e2e1e1e2.【答案】(1)e2e1(2)e1e2变条件在本例中，若条件改为e1，e2，试用e1，e2表示向量.解：因为，所以2()()又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以0，0.所以2，所以()e2e1.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么()ABC D解析：选D.1.等于()A2abB2baCba Dab解析：选B.原式(2a8b)(4a2b)ababa2b.2若点O为平行四边形ABCD的中心，2e1，3e2，则e2e1()A. B.C. D.解析：选A.3e22e1，e2e1.3已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求证A，B，D三点共线证明：因为e13e2，2e1e2，所以e14e2.又2e18e22(e14e2)，所以2，所以与共线因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线A基础达标设a是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是()Aa与a的方向相反B|a|a|Ca与2a的方向相同 D|a|a解析：选C.当取负数时，a与a的方向是相同的，选项A错误；当|1时，|a|a|不成立，选项B错误；|a|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为0，所以2一定是正数，故a与2a的方向相同，故选C.2已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma3b与a(2m)b共线，则实数m的值为()A1或3 B.C1或4 D3或4解析：选A.因为向量ma3b与a(2m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m，解得m1或m3.3已知O是ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且20，则()A.2 B.C.3 D2解析：选B.因为D为BC的中点，所以2，所以220，所以，所以.4设a，b不共线，akb，mab(k，mR)，则A，B，C三点共线时有()Akm Bkm10Ckm10 Dkm0解析：选B.若A，B，C三点共线，则与共线，所以存在唯一实数，使，即akb(mab)，即akbmab，所以所以km1，即km10.5(2019山东青岛胶南八中期中检测)在ABC中，若2，则等于()A B.C. D解析：选C.由2得()，所以().6若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_解析：由已知得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.答案：4b3a7已知点P在线段AB上，且|4|，设 ，则实数_解析：因为|4|，则的长度是的长度的，二者的方向相同，所以.答案：8设a，b是两个不共线的向量若向量ka2b与8akb的方向相反，则k_解析：因为向量ka2b与8akb的方向相反，所以ka2b(8akb)k8，2kk4(因为方向相反，所以0k0)答案：49计算：(1)(3a2b)(ab)；(2).解：(1)原式abab.(2)原式abab0.10已知两个非零向量a与b不共线，2ab，a3b，ka5b.(1)若20，求k的值；(2)若A，B，C三点共线，求k的值解：(1)因为22(2ab)a3bka5b(k3)a0，所以k3.(2)a4b，(k2)a6b，又A，B，C三点共线，则存在R，使，即(k2)a6ba4b，所以解得k.B能力提升11在ABC中，G为ABC的重心，记a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析：选A.因为G为ABC的重心，所以()ab，所以babab.12.如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有()2；.A BC D解析：选A.依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有x(1x)x(1x)，其中0x1，注意到x(1x)1；注意到1231，1，1，1，故选A.13.如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，且BD2DC，若mn(m，nR)，则mn_解析：直接利用向量共线定理，得3，则33()33，则m，n，那么mn2.答案：214已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足e2f，4ef，5e3f.(1)用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形解：(1)(e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)证明：因为8e2f2(4ef)2，所以与方向相同，且的模为的模的2倍，即在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD