圆锥破碎机破碎质量的粒度和粒形数学建模.pdf

第 4 9卷第 6期 2 0 l 3 年3 月 机械工程学报 J OURNAL 0F M E CHANI C AL E NGI NE ERI NG VoI 49 NO 6 M a r 201 3 DoI l 0 3 9 0 1 J M E 2 0 1 3 0 6 0 9 5 圆锥破碎机破碎质量的粒度和粒形数学建模木 马彦军 范秀敏 2 何其昌 董 钢 1 上海交通大学机械工程与动力学院上海2 0 0 2 4 0 2 上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室上海2 0 0 2 4 0 摘要 为定量分析计算圆锥破碎机的破碎物料质量以支持产品的优化设计 基于层压破碎理论对圆锥破碎机破碎腔进行分层 建立改进的圆锥破碎机破碎过程的操作模型 深入研究破碎产品粒度分布模型和粒形的计算方法 将粒形模型与粒度分布模 型相结合来描述层压破碎过程中物料破碎的本质原因 利用岩石力学试验系统对层压破碎过程进行试验 建立 以压缩比和粒 度分布系数为参数的粒度的选择函数 破碎函数和粒形的选择函数 破碎函数的数学模型 结合 P Y G B 1 1 2 1型圆锥破碎机 实际结构参数及工作参数 对其破碎过程中的物料粒形和粒度的变化进行求解 得到圆锥破碎机的粒度分布曲线和针片率随 压缩比和粒度分布系数变化的关系 为圆锥破碎机破碎过程中破碎生产率的动态优化提供理论模型 关键词 圆锥破碎机层压破碎粒形针片率粒度分布 中图分类号 T D 4 5 1 M a t h e m a t i c a l M o de l i n g o f Pa r t i c l e S i z e a n d Pa r t i c l e S ha p e o f Cr us h i ng Qu a l i t y f o r Co n e Cr u s h e r MA Va n j u n F A N Xi u mi n L H E Qi c h a n g DO NG Ga n g 1 S c h o o l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e r i n g S h a n g h a i J i a o T o n g Un i v e r s i t y S h a n g h a i 2 0 0 2 4 0 2 S t a t e Ke y L a b o r a t o r y o f Me c h ani c a l S y s t e m and V i b r a t i o n S h a n gha i J i a o T o n g U n i v e r s i t y S h a n gha i 2 0 0 2 4 0 Ab s t r a c t I n o r d e r t o q u a n t i t a ti v e l y an a l y z e a n d c a l c u l a t e c r u s h i n g q u a l i t y and s u p p o r t f o r c o n e c rus h er o p t i mi z a ti o n d e s i g n an i mp r o v e d c o n e c rus h e r ma n i p u l a t i o n mo d e l b a s e d o n t h e i n t e r p a r t i c l e b r e a k a g e the o r y i s b ui l t b y s t u d y i n g the c r u s h ing p r o c e s s o f c o n e c rus h e r s a n d c a l c u l a ti o n me tho o f p a r t i c l e s i z e d i s t r i b u t i o n and p a r t i c l e s h a p e arc u n d e r s tud i e d T h e c o mb i n a t i o n o f the p a r t i c l e s i z e d i s t r i b u t i o n mo d e l and the fl a k i n e s s r a t e mo d e l for p r e d i c t i n g p a r t i c l e s h a p e un c o v e rs the e s s e n t i a l c a u s e s o f int e r p a r t i c l e b r e a k a g e o f c o n e c rus h e rs A r o c k me c h an i c s t e s t ing s y s t e m i s u s e d t o d o e x p e r i me n t t o s tud y the int e r p a r t i c l e b r e a k a g e p r o c e s s o f c o n e c rus h e rs Ma the ma t i c a l mo d e l s o f p a r t i c l e s i z e s e l e c t i o n f u n c t i o n p a r t i c l e s i z e b r e aka g e f u n c t i o n p a r t i c l e s h a p e s e l e c ti o n f u n c t i o n and p a r t i c l e s h a p e b r e ak a g e f u n c ti o n are e s t a b l i s h e d and p ara me t e r i z e d b y c o mp r e s s i o n r a t i o an d p a r t i c l e s i z e dis t r i b u t i o n W i m s t r u c t u r a l p a r a me t ers and wo r k i n g p ara me t e r s o fthe P YGBl l 21 c o n e c r u s h e r a s inp u t t h e v a r i a t i o n o fthe p a r t i c l e s h a p e and s i z e C an b e c a l c u l a t e d an d the p a r t i c l e s i z e dis t r i b u t i o n c u r v e an d the fl a k i n e s s c h ang e d wi th c o mp r e s s i o n rat i o and p r o d u c ti o n s i z e d i s t ri b u ti o n are o b t a i n e d Th e o u t c o me p r o v i d e s the o r e t i c a l mo d e l s for d y n a mi c o p ti mi z a ti o n o f c rus h i n g pr oc e s s Ke y wo r d s Co n e c rus h e r I n t e r p a r t i c l e b r e a k a g e P a r t i c l e s h a p e F l a k i n e s s i n d e x S i z e d i s t r i b u t i o n 0 前言 圆锥破碎机是岩石物料破碎的主要设备之一 物料在破碎腔中由动锥偏心运动的挤压而破碎成小 颗粒 该设备广泛用于矿山 冶炼 水利 公路 高 等学 校博 士学 科 点专项 科研 基金 资助 项 目 2 0 0 9 0 0 7 3 l 1 0 0 3 8 2 0 1 2 1 2 0 5收到初稿 2 0 1 3 0 2 2 0收到修改稿 铁路和化工等部 门 并在相应的生产工艺中起到了 关键作用L 1 J 其 中破碎后产品的粒度和粒形是评价 圆锥破碎机性能的主要指标 破碎产品粒度和粒形 的好坏直接影响到生产厂家的经济效益 体现了圆 锥破碎机性能的优劣 J 在混凝土骨料与沥青等建 筑行业中 混凝土骨料中针片状颗粒的增加会导致 建筑整体抗压强度的下降 并增加建筑过程中的水 泥消耗量 同样 在沥青混合料中 针片状颗粒的 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 机械工程学报 第 4 9卷第 6期 增加和粒度大小的不均也会导致混合物整体密度与 抗压 抗拉强度 的下降 j J 国内外对破碎机设计理 论的研究 其 目标也是为提高产 品中立方状颗粒的 质量分数 4 J 由此可见 针片状颗粒的多少和颗粒 的粒度分布对于破碎产品质量的优劣具是一项重要 指标 而针片率则用于衡量产品含有针片状颗粒的 多少 此外 圆锥破碎机工作过程中腔形发生磨损 和喂入物料不均等 因素会 导致破碎机破碎质量 降 低 对圆锥破碎机破碎产 品的粒度和粒形的数学表 达模型的研究 可以做到对粒度 粒形的计算 为 破碎机破碎过程的结构参数动态调整来优化破碎产 品质量提供依据 因而具有重要的理论意义和使用 价值 国外已有学者在粒形和粒度方面开展研究 E VE R T S S O N s 6 j 提 出了物料 在破碎腔 内的整个 破 碎过程是 由一系列挤压破碎事件构成的 并 由此建 立了粒度预测 的模型 通过选择 函数和破碎函数去 描述产品粒度 在产品粒形的研究方面 国内外大 部分学者都是通过现场试验 分析影响粒形的主要 因素来建立模型 这些模型必然与破碎机腔型和相 关设置的工作参数有很大的关系 B OU QUE T Y等p J 提出了破碎机的工作参数和喂入物料的分级对产品 的针片率的影响 B E N G T S S O N等 7 8 建立了描述破 碎产品针片率的经验模型 该模型是喂入物料的平 均粒度 产 品粒度和 闭边排料 口尺寸 C lo s e d s id e s e t t in g c s s 等参数的函数 但与层压破碎中的重要 参数 粒度分布系数和压缩比 没有关联 这就造 成无法用层压破碎理论的描述过程去求解产品的粒 形 DO NG 等 9 1 o j 将产品的针片率经验模型与粒度 模型结合起来用于预测物料的针片率 该模型将一 个经验模型用于层压破碎理论模型 其适用范围有 一 定的限制 B E NGT S S O N等 提出了利用粒形的 选择函数和破碎 函数对破碎机产品的针片率进行预 测 为圆锥破碎机破碎产品粒度和粒形预测提供了 理论基础 本文基于 B E NGT S S O N等 u 提出的理论 并利 用 R MT 1 5 0 B岩石力学系统对圆锥破碎机层压破碎 过程进行模拟试验研究 提出并建立考虑粒度分布 系数和压缩比的粒度和粒形的选择函数和破碎函数 数学模型 实现圆锥破碎机破碎产品的粒度和粒形 的预测 从而为圆锥破碎机破碎过程的动态优化和 圆锥破碎机的研发提供理论模型 1 圆锥破碎机破碎过程的操作模型 在圆锥破碎机破碎工作过程中 动锥部随偏心 轴套的旋转而围绕破碎腔及定锥的中心线做回旋运 动 如图 l 所示 可知动锥不断地在开边和闭边两 极限位置间做往复运动 其运动实质上是 以球面轴 承球面中心 即悬挂点D为圆心的简谐运动 破碎 分层 图 1 圆锥破碎机破碎腔分层特性 散体物料从破碎机给料 口进入破碎腔 在挤压 过程中受挤压破碎力不断增大而破碎 破碎壁到达 闭边位置后再次后撤 物料破碎后的若干子颗粒将 再次 自由下落 并重复历经上述过程 最后经排料 口排出破碎腔 由破碎腔阻塞面 出发 根据圆锥破 碎机的运动学模型 可依次求出物料颗粒在通过破 碎腔各破碎层时的详细下落轨迹 l 引 同时 依据固 定质量原理和层压破碎原理 散体物料颗粒在破碎 腔内的各破碎层受到 且仅受到一次挤压破碎作用 并且保证破碎腔各破碎层物料通过质量相等可知 物料颗粒在破碎腔 内的运动轨迹 即为破碎腔内各 破碎层的分层信息 图 l 即为采用上述方法 描述 圆锥破碎机的破碎腔内物料下落过程以及破碎腔分 层 圆锥破碎机破碎过程的操作模型揭示了散体物 料破碎的本质过程 该操作模型是对破碎产品的粒 度和粒形模型建模的重要理论基础 而破碎过程 的 操作模型是基于总体平衡模型和破碎设备矩阵模型 建立 的 总体平衡 模型 由学者 B RO AD B E NT 及 C A L L CO T T于 1 9 5 6首先提出 破碎过程是由一系 列的破碎事件构成 每一次的破碎给料均为上一破 碎事件 的排料 每次破碎事件均可以用选择函数和 破碎函数来描述 破碎设备矩阵模型是 由 L Y NC H 于 1 9 7 7 年在矿物破碎与磨碎循环 中进行完善的 l B E N G T S S O N 等 J u 将破碎产品的粒度和粒形通过 粒度选择函数 粒度破碎函数 粒形的选择函数和 粒形的破碎函数所构成的矩阵模型进行描述 基于 总体模型和 B E N G T S S O N的研究成果 结合圆锥破 碎机破碎过程 建立如图2 所示的圆锥破碎机破碎 层的操作模型框图 图2中 Z N 为破碎腔的第 分层 盯 为粒度分 布系数 6 为第 层的压缩 比 E N 为第 层破 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 3 年 3月 马彦军等 圆锥破碎机破碎质量的粒度和粒形数学建模 图2 圆锥破碎机散体物料总体破碎过程 碎过程所需的能耗 F1 为给料 中颗粒 的粒度分布 F s h l为给料中针片状 的粒度分布 尸 为破碎后产 品中的第 次所排物料的粒度分布 P s h e N 为第 次所排物料 中针片状颗粒的粒度分布 S i 为粒度 的选择 函数 B i 为粒度的破碎函数 为粒形 的选择函数 B s h a p 为粒形的破碎函数 总体平衡模 型的数学表达形式如式 1 所示p 1 0 0 2 0 i B叭BN 2 BN 3 式中 为给料中的第 粒级物料所占的质量分 数 B N N 为破碎算子 从式 1 可得粒级 的破碎产 品可从 F 粒级的给料中获得 表 明某粒级破碎 产品只能从与其粒级粗细相同或更粗粒级的给料 的 破碎 中获得 根据破碎破碎层 的操作模型图 2 可 以得到其数学模型矩阵表达式如式 2 3 所示 1 为第 层破碎事件给料的粒度分布 P i删 iz e 一 i 一 l 2 印 h eN S sh ap e 一 a p e h 一 3 根据 固定质量原理和层 压破碎 原理对破碎腔 进行分层研究 并将粒形模型与粒度分布模型相结 合来描述层压破碎过程 建立圆锥破碎机过程操作 模型 该模型是压缩 比和粒度分布系数的函数 并 不受 圆锥破碎机的结构参数和工作参数的影 响 可 以基于该模型对圆锥破碎机破碎产品的性能进行深 入研究 2 散体物料的层压破碎试验 对于物料的挤压破碎过程而言 其在破碎过程 中所表现的内在与外在特征 应当只与物料的初始 状态和挤压过程的特征参数相关 以往的研究成果 也表 明 1 4 1 5 物料挤压破碎过程的中的破碎函数与 选择函数 仅与压缩比8 和粒度分布系数D 丰 日 关 压 缩 比表示物料 受到 的压缩程 度 粒度分布 系数是 描述散体物料在层压破碎中粒度分布均匀性对选择 函数的影响指数 可有效地描述各粒级散体物料的 分布情况 即散体物料群内颗粒尺寸的均匀程度 其计算过程如式 4 6 所示 s b 4 m ll 2 l p 一 l 5 L l J m d p j d j 6 1 式中 s为压缩比 表示物料受压缩的程度 压缩 比越大说明物料的体积被压缩的越大 b为排料口 尺寸 为粒度分布系数 p 为粒级 内散体物料所 占百分比 为粒级J内散体物料的平均粒度 为各粒级平均粒度 2 1 试验 过程 为了实现圆锥破碎机产品粒度和粒形的数学 建模 并对破碎物料质量 的数值求解 必须对破碎 腔各个破碎层选择 函数和破碎 函数模型进行深入的 探讨 本文采用 国产 R MT 1 5 0 B岩石力学试验机对 散体物料层压破碎试验进行研究如图 3 所示 图 3 a 3 c 所示 分别为石子压碎仪 压缩比定 义简图和标准石子筛 层压破碎试验前的散体物料 高度为 b 对物料施加压力P 进给压缩量 石子 压碎仪内岩石散体物料发生层压破碎 施加不同的 位移以实现不 同压缩 比的试验工况 之后利用新型 标准筛对层压破碎的破碎产品进行筛分分析 得到 一 系列的破碎产品粒度和针片率的数据 图 3 d为 R MT 1 5 0 B 岩石力学试验系统 利用该系统对散体 物料进行挤压破碎 该过程的应力应变数据可以通 过传感器测定 并可以得到载荷位移关系图和应力 应变关系图 o 0 0 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 3 年 3月 马彦军等 圆锥破碎机破碎质量的粒度和粒形数学建模 9 9 1 4 2 2 1 1 1 6 a 0 9 6 8 6 7 S s b O S s b T o 1 5 3 9 1 7 s b 一 4 1 4 7 l s b 一3 5 9 9 3 s b 一1 6 2 8 6 3 s b o 4 3 8 8 l s b o 3 8 0 8 5 f b 0 1 6 1 3 o 一 0 0 4 3 5 o 一0 0 3 7 7 8 式中 影响因子 挤压破碎过程的粒度选择函数 挤压破碎过程的破碎函数就是粒度分布函数 根据试验数据可以得到该模型的系数 相应破碎函 数模型如式 9 1 0 所示 6 1 a 4 s b 6 4 s b N N 6 1 3 3 6 2 4 6 3 5 0 0 9 5 4 5 6 4 0 41 3 7 9 1 0 g 2 XN r一 l l 0 g 2 x 0 X 0 X m a x 1 9 0 0 7 5 1 0 式 中 挤压破碎过程 的破碎 函数 拟 合系数 标准筛筛分物料确定的最大筛孔值 散体物料的最小粒径 给料的最大粒径值 h 层压破碎物料第 层当量粒径 层压破碎物料第 层的粒径 粒度分布系数可有效地描述各粒级散体物料 的分布情况 当个粒径分布不均匀时 粒度分布系 数值变大 相应选择函数减小 因此粒度分布系数 可以有效地描述粒度分布不均匀所带来对选择函数 的影响 基于式 7 1 0 所示的选择函数模型和破 碎函数模型 利用 Ma t l a b对其进行数值计算 可得 到如图 6 7所示的选择函数和破碎函数分布 图 1 0 籁 O 6 旧 鞲 锻0 2 02 一 蓝 1 皿 蝈 撩 0 0 l 02 0 3 0 4 0 5 压缩比 图 6 粒度选择函数模型 粒度 mm 图7 粒度破碎函数模型 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 1 0 0 机械工程学报 第 4 9 卷第6期 从图 6 可以得到 随着粒度分布系数的增加 其选择函数的曲率降低 这是 由于粒度分布系数增 加时 也即粒度大小分布更加不均 使得层压破碎 过程中细粒对粗粒起破碎保护作用而导致部分物料 得不到破碎 导致选择函数的曲率降低 图 7则表 明随着压缩比的增加 某粒度大小的筛下百分比也 是增加的 说明压缩比的增加有利于降低产品的粒 度大小 2 2 2 粒形的选择函数和破碎函数 根据 国标 T 3 0 1 1 2 0 0 5粗集料针片状颗粒质量 分数试验标准 做 出两个假设 针片状颗粒质量分 数测 量方法采用 的是游标卡尺法 用于测量 4 7 5 I T l l n 以上的粗物料颗粒的针状及片状质量分数 粒 径接近 0时 其针片率质量分数为零 即 X r 0时 O 对上述试验数据进行统计回归分析 基于 B E NG T S S O N 相关学者 l 提 出粒形的选择 函数和 破碎 函数模型 对试验数据进行拟合 得到如式 1 1 所示不考虑粒度分布的粒形选择函数模型 S s b 0 1 8 8 6 s b 1 3 1 6 1 1 在试验设计中 由于料层比较厚 夯实的过程 对其有一定的影响 所以对压缩比小于 O 0 5的数据 不予考虑 根据以上假设对粒形破碎 函数 的形式进 行 了修正 对试验数据统计回归得 到该模型的系数 相应粒形破碎函数模型如式 1 2 1 3 所示 B x N s b J c t 4 s b r a s s b N t 6 J x N 2 4 0 9 2 4 4 9 2 O 91 4 8 6 3 4 一 3 4 1 0 5 1 2 墨 一l o g 2 x o X m m X o X m a x 2 6 5 i 4 7 5 1 3 基 于式 1 1 1 3 所示的选择 函数模 型和破碎 函数模型 利用 Ma t l a b数值仿真工具对其进行数值 计算 可得到如图8 9 所示的粒形选择函数和破碎 函数分布图 从 图 8 9 中可 以得到 随着压缩比的增加 发生破碎的物料越来越多 压缩比的增加使得粒形 破碎函数的曲率降低 通过试验得到层压破碎过程 的粒度选择函数 粒度破碎函数 粒形选择函数和 粒形破碎函数模型后 可利用式 2 3 所示的层压 破碎过程操作模型对破碎产品粒度和粒形分布进行 仿真研究 从而实现对破碎产品质量的有效控制 为圆锥破碎机破碎过程的动态优化奠定理论基础 籁 隧 避 嫂 1 o o 8 O 6 0 妞 g 4 0 捶 压缩比 图8 粒形选择函数模型 O 8 1 2 l 6 2 O 2 4 2 6 粒度 mm 图 9 粒形破碎函数模型 3 基于粒度和粒形模型的圆锥破碎机 破碎性能 以国产的 P YG B1 1 2 1 型圆锥破碎机为例 其结 构参数如表 2所示 表 2 P YGB l l 2 1的工作及结构参数 利用以上模型对其破碎性能进行求解仿真 从 上述模型可知 散体物料层压破碎过程选择函数模 型和破碎函数模型均为相应进给压缩比的函数 而 各破碎层进给压缩比关于破碎机工作参数和结构参 数的函数 选择破碎机工作参数与结构参数作为模 型设计变量 根据表 2中的数据 依据破碎产品粒 度分布计算模型 式 2 3 7 1 0 可以求得破 碎腔各层压破碎层排出的物料和最终产品的粒度分 布 曲线 如 图 1 0所示 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 1 0 2 机械工程学报 第 4 9 卷第 6期 L A NG B a o x ia n L A NG S h i p in g C r u s h e r M B e i j in g Me t a l l u r g i c a l I n d u s t r y P r e s s 2 0 0 8 2 黄冬明 挤压类破碎机工作机理和工作性能优化研究 D 上海 上海交通大学 2 0 0 8 HUANG Do n g m in g Re s e a r ch o n wo r k in g me ch a n is m a n d wo r ki n g p e rfo r man ce o p t i miz a t i o n o f co mp r e s s iv e crus h e r D S h a n g h a i S h a n g h a i J ia o T o n g Un i v e r s it y 2 0 0 8 3 BO U QU E T Y M N D E S C A NT E S Y E x p e rime n t a l s t u d y o f crus h e d a g g r e g a t e s h a p e J C o n s t r u ct i o n and B u i l d i n g Ma t e r ia l s 2 0 0 7 2 1 4 8 6 5 8 7 2 4 黄冬明 武殿梁 范秀敏 等 圆锥破碎机的多 目标规 划设计 J 机械工程学报 2 0 0 7 4 3 3 2 0 4 2 1 1 HUANG Do n g min g W U Dian l ia n g F AN Xiu min e t a 1 D e s ig n f o r mu l t io b j e ct i v e p l a n n i n g o f co n e crus h e r J C h in e s e J o u r n a l o f Me ch anica l E n g i n e e r i n g 2 0 0 7 4 3 3 2 0 4 2 l 1 5 E V E R T S S O N C M S i z e r e d u ct i o n i n co n e crus h e r s C Min e r a l s E n g i n e e rin g C o n f e r e n l e F a l mo u t h En g l an d S e p 2 2 2 4 1 9 9 9 E1 E 3 0 6 E VE R T S S ON C M Ou u t p r e d i ct i o n o f co n e crus h e r s J Min e r a l s E n g in e e r in g 1 9 9 8 1 1 3 2 1 5 2 3 1 7 B E N GT S S ON M S V E D E NS T E N P E V E R T S S O N C M I mp r o v i n g y ie l d and s h a p e i n a crus h i n g p l ant J Min e r a l s E n g in e e ri n g 2 0 0 9 2 2 7 8 6 1 8 6 2 4 8 B E N GT S S O N M E VE R T S S O N C M A n e mp i r i ca l mo d e l for p r e d i ct i n g fl a k in e s s i n co n e crus h in g J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f Mi n e r a l P r o ce s s i n g 2 0 0 6 7 9 1 49 6 0 9 DO NG Ga n g HU A NG D o n g mi n g F A N X iu mi n C o n e crus h e r ch a mb e r o p t i miz a t io n u s i ng mu l ti p l e co n s t r a i n t s J I n t e rna t io n a l J o u r n a l o f Mi ne r a l P r o ce s s in g 2 0 0 9 9 3 2 2 0 4 2 0 8 1 0 董钢 范秀敏 黄冬明 基于产品质量控制预测机制的 圆锥破碎机优化方法 J 机械工程学报 2 0 1 0 4 6 3 1 5 2 1 5 7 DONG Gan g F AN Xiu min HUANG Do n g mi n g Co n e crus h er o p t i miz a t io n b a s e d o n q u a l i t y co n tr o l a n d p r e d i ctio n J J o u r n a l o f Me ch anica l E n g i n e e r i n g 2 0 1 0 4 6 3 1 5 2 1 5 7 1 1 B E NG T S S O N M L E E E E V E R T S S O N C M I n fl u e n ce o f t h r o w and co mp r e s s i o n r a t i o o n p a r t i cl e s h a p e a f u l l s ca l e i n v e s t i g a t io n and l a b o r a t o r y t e s t s J Mi n e r a l s E n g in e e ri n g 2 0 1 0 2 3 7 5 4 9 5 5 7 1 2 黄冬明 范秀敏 武殿梁 等 挤压类破碎机破碎产品 粒度分析 J 机械工程学报 2 0 0 8 4 5 5 2 0 1 2 0 7 HUANG Do n g min F AN Xiu mi n WU Di a n l iang e t a 1 Crus h i ng p r o d u ct s iz e r e d u ct io n a n a l y s is o f co mp