《线性代数》(陈维新)第1-2章部分习题答案.pdf

线性代数 线性代数 陈维新陈维新 习题答案习题答案 第第 1 章章 行列式行列式 习题习题 1 1 P51 1 P5 9 如果排列 1 2 的逆序数为 问排列 1 1的逆序数是多少 为什么 解解 因 1 2 中任意两个数 必在排列 1 2 或 1 1中构成逆序 且只能在其中 一个构成逆序 所以这两个排列的逆序之和为 2 1 2 现 1 2 故 1 1 1 2 10 证明 个不同的 阶排列中奇偶排列各占一半 解解 设奇排列为 个 偶排列为 个 则 对 个奇排列作一次固定的对换 比如说 第 1 和第 2 两个数对换 得到 个偶排列 注意 对换后得到的 个偶排列是互不相同的 现 偶排列总数为 个 故 同理可证 从而 即 1 2 习题习题 1 2 P51 2 P5 9 证明 d d 11 12 1 21 22 2 1 2 11 d d 1 1 21 d d 2 2 1 d d 1 证证 左端 d d 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 d d 1 1 2 2 1 1 d d 2 2 1 1 2 2 d d 右端 习题习题 1 31 3 P20P20 2 用行列式性质计算下列行列式 4 2 2 2 2 2 2 解解 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 提取公因子 111 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 111 0 0 00 3 8 计算 3 1 10 00 0 2 2 00 00 3 00 000 111 11 解解 解题思路 设法将行列式化为上三角或下三角行列式 行列式的最后一行都是 1 似乎将最 后一行第1 列的元素化为 1 比较容易 实际上这样计算并不能化简行列式 1 10 00 0 2 2 00 00 3 00 000 111 11 1 2 2 1 10 00 2 2 2 00 00 3 00 000 011 11 还有一种思路 将行列式化为下三角行列式 1 10 00 0 2 2 00 00 3 00 000 111 11 2 1 3 2 1 100 00 0 20 00 00 3 00 000 0 123 1 1 1 1 2 注 这里 表示新的第 列 解法二解法二 把第2 3 列加到第 1 列上得 4 1 10 00 0 2 2 00 00 3 00 000 111 11 0 10 00 0 2 2 00 00 3 00 000 111 11 1 1 1 1 1 10 00 2 2 00 0 3 00 00 1 1 1 2 3 计算下列行列式 2 123 1 12 2 1 1 1 3 2 345 12 234 1 解解 1 2 1 2 123 1 112 2 1 1 1 3 2 145 12 134 1 1 1 2 2 1 1 2 123 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 按第 1 列 展开 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 0 00 00 00 00 0 1 5 按第 1 列展开 1 2 1 1 1 1 0 0 00 0 00 2 1 1 1 1 2 9 已知数 18055 83283 61042 48576 57776 都能被 23 整除 证明 行列式 18055 83283 61042 48576 57776 也能被 23 整除 证明 证明 假设 18055 83283 61042 48576 57776 被 23 整除的商分别为 1 2 3 4 5 则 18055 83283 61042 48576 57776 10000 1 1000 2 100 3 10 4 5 180518055 832883283 610461042 485748576 577757776 23 1805 1 8328 2 6104 3 4857 4 5777 5 因为行列式的值是取自不同行不同列元素乘积的代数和 当行列式所有元素为整数时 行列式的值也为整数 所以 6 1805 1 8328 2 6104 3 4857 4 5777 5 是整数 因此行列式 18055 83283 61042 48576 57776 能被 23 整除 习题习题 1 61 6 P43P43 2 设 用数学归纳法证明 1 0 00 1 00 01 00 000 00 0 1 1 1 证证 对阶数 用第二数学归纳法 1 先证明当 1和 2时结论成立 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 假设结论对 时成立 即当 1 时结论成立 1 1 1 现将 1按第 1 行展开得递推关系 7 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 这就证明了当假设 1 时结论成立 则当 1时 结论也成立 结合 1 和 2 知 等式对一切的自然数 都成立 注注 部分同学作业的错误是证明过程不够严格 只证明当 1时结论成立 没有证明当 2时结论也成立 在第 2 步证明时要假设当 时结论成立 不要只假设当 时结 论成立 此题如果不是证明题 而是要求求行列式的值 则可以采用下面方法求解 解解 按第 1 行 展开 1 1 1 2 1 00 0 00 00 00 1 1 1 2 由此可得 1 1 2 1 2 于是反复递推可得 1 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 同理可得 1 解方程组 1 1 当 时 1 1 1 1 当 时 有递推公式 8 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 3 计算下列行列式 2 123 1 12 2 1 1 1 3 2 345 12 234 1 解解 1 2 1 2 123 1 112 2 1 1 1 3 2 145 12 134 1 1 1 2 2 1 1 2 123 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 按第 1 列 展开 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 0 00 00 00 00 0 1 按第 1 列展开 1 2 1 1 1 1 0 0 00 0 00 2 1 1 1 1 2 9 6 计算 1 阶行列式 11 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 解解 这个行列式很像范德蒙德行列式 就缺 1 1 2 一行 因此 给这个行列式加 上一行和一列 配成范德蒙德行列式 有 1 11 11 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 由行列式 1 按第 1列展开知 1的系数为 1 1 而由上式右端 知 1系数为 1 1 故 11 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 第第 2 章章 线性方程组线性方程组 习题习题 2 2 3 3 P64P64 8 问 满足什么条件时 线性方程组 2 2 2 3 有唯一解 并求之 解解 111 2 1 3 1 100 1 1 因为线性方程组有唯一解 111 0 所以当 互不相等时线性方程组有唯一解 1 11 2 2 2 3 11 2 11 2 11 2 2 1 1 2 2 2 3 3 11 2 2 2 3 所以 习题习题 2 2 4 4 P69P69 5 证明 线性方程组 11 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1