2020版高考数学大二轮复习专题三立体几何第二讲空间向量与立体几何限时规范训练理.docx

第二讲 空间向量与立体几何1(2019合肥二模)如图，三棱台ABCEFG的底面是正三角形，平面ABC平面BCGF，CB2GF，BFCF.(1)求证：ABCG；(2)若BCCF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值解析：(1)证明：取BC的中点为D，连接DF.由ABCEFG是三棱台得，平面ABC平面EFG，从而BCFG.CB2GF，CD綊GF，四边形CDFG为平行四边形，CGDF.BFCF，D为BC的中点，DFBC，CGBC.平面ABC平面BCGF，且交线为BC，CG平面BCGF，CG平面ABC，而AB平面ABC，CGAB.(2)连接AD.由ABC是正三角形，且D为中点得，ADBC.由(1)知，CG平面ABC，CGDF，DFAD，DFBC，DB，DF，DA两两垂直以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设BC2，则A(0,0，)，E，B(1,0,0)，G(1，0)，(2，0)，.设平面BEG的一个法向量为n(x，y，z)由，可得令x，则y2，z1，n(，2，1)设AE与平面BEG所成角为，则直线AE与平面BEG所成角的正弦值为sin |cos ，n|.2.(2019湖南五市十校联考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2.(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求出BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由解析：(1)证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由ADCD2，BC4，可得ABC是等腰直角三角形，即ABAC，因为PA平面ABCD，所以PAAB，又PAACA，所以AB平面PAC，所以ABPC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，B(2，2，0)，(0,2，2)，(2，2，0)，(0,0,2)设t(0t1)，则(0,2t，2t)，所以(0,2t,22t)设平面MAC的法向量是n(x，y，z)，则即则可取n.又m(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，所以|cosm，n|cos 45，解得t，即点M是线段PD的中点此时平面MAC的法向量n(1，1，)，M(0，1)，(2，3，1)设BM与平面MAC所成的角为，则sin |cosn，|.所以存在PD的中点M使得二面角MACD的大小为45，且BM与平面MAC所成角的正弦值为.3.(2019郑州二模)如图，等腰直角ABC中，B90，平面ABEF平面ABC,2AFABBE，FAB60，AFBE.(1)求证：BCBF；(2)求二面角FCEB的正弦值解析：(1)证明：等腰直角ABC中，B90，BCAB，平面ABEF平面ABC，平面ABEF平面ABCAB，BC平面ABEF，BF平面ABEF，BCBF.(2)由(1)知BC平面ABEF，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设2AFABBE2，FAB60，AFBE.B(0,0,0)，C(0,2,0)，F，E(1,0，)，(1,2，)，(0,2,0)，设平面CEF的一个法向量n(x，y，z)，则即令x，得n(，2，5)，设平面BCE的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即取x1，得m(，0,1)，设二面角FCEB的平面角为.则|cos |，sin ，二面角FCEB的正弦值为.4(2019高考全国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小解析：(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC60，可求得BH1，EH.以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，(1,0，)，(2，1,0)设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3,6，)又平面BCGE的法向量可取m(0,1,0)，所以cosn，m.因此二面角BCGA的大小为30.5(2019汉阳区校级模拟)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC，且DABDBF60.(1)求证：AC平面BDEF；(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值解析：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连接FO，四边形ABCD为菱形，ACBD，且O为AC的中点，FAFC，ACFO，又FOBDO，AC平面BDEF.(2)连接DF，四边形BDEF为菱形，且DBF60，DBF为等边三角形，O为BD中点，FOBD，又ACFO，FO平面ABCD.OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，设AB2，四边形ABCD为菱形，DAB60，BD2，AC2.DBF为等边三角形，OF.A(，0,0)，B(0,1,0)