抛物线的简单几何性质.ppt

抛物线的简单几何性质 一 复习回顾 抛物线标准方程 1 抛物线的定义 2 抛物线的标准方程 3 椭圆和双曲线的性质 结合抛物线y2 2px p 0 的标准方程和图形 探索其的几何性质 1 范围 2 对称性 3 顶点 类比探索 x 0 y R 关于x轴对称 对称轴又叫抛物线的轴 抛物线和它的轴的交点 二 讲授新课 4 离心率 5 焦半径 6 通径 e 1 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 PF x0 p 2 F P 通径的长度 2P y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的e 1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 P越大 开口越开阔 本质是成比例地放大 例1 顶点在坐标原点 对称轴是坐标轴 并且过点M 2 的抛物线有几条 求它的标准方程 当焦点在x 或y 轴上 开口方向不定时 设为y2 mx m 0 或x2 my m 0 可避免讨论 三 例题选讲 思考 通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗 继续 与直线的倾斜角无关 很奇怪 解完后回味一下 这是一个很好的解题习惯 利于提高 返回 这一结论非常奇妙 变中有不变 动中有不动 继续大胆猜想 太漂亮了 坐标法是一种非常好的证明 你还有没有其他好方法呢 本题几何法也是一个极佳的思维 A1 二 抛物线的焦点弦 通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为的最小值 6 已知直线l x 2p与抛物线 2px p 0 交于A B两点 求证 OA OB 证明 由题意得 A 2p 2p B 2p 2p 所以 1 1因此OA OB 变式1 若直线l过定点 2p 0 且与抛物线 2px p 0 交于A B两点 求证 OA OB 变式2 若直线l与抛物线 2px p 0 交于A B两点 且OA OB 则 直线l过定点 2p 0 2020年1月3日星期五 直线和抛物线的位置关系 一 复习回顾 直线与圆 椭圆 双曲线的位置关系的判断方法 1 根据几何图形判断的直接判断 2 直线与圆锥曲线的公共点的个数 形 判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的渐进线平行 相交 一个交点 计算判别式 F x y 问题 你能说出直线与抛物线位置关系吗 二 讲授新课 几何画板演示 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 相交 一个交点 计算判别式 总结 2答案 试试看 例2 已知抛物线C y2 4x 设直线与抛物线两交点为A B 且线段AB中点为M 2 1 求直线l的方程 说明 中点弦问题的解决方法 联立直线方程与曲线方程求解 点差法 1 在抛物线y2 64x上求一点 使它到直线 4x 3y 46 0的距离最短 并求此距离 附 补充例题 2 已知抛物线y x2 动弦AB的长为2 求AB中点纵坐标的最小值 F A B M 解 解法二 F A B M 2 已知抛物线y x2 动弦AB的长为2 求AB中点纵坐标的最小值 解 抛物线的对称性问题例 已知直线过原点 抛物线的顶点在原点 焦点在x轴的正半轴上 且点A 1 0 和B 0 8 关于直线的对称点都在抛物线上 求直线和抛物线的方程 类型四抛物线的最值与定值问题 例4 如图6 已知 AOB的一个顶点为抛物线y2 2x的顶点O A B两点都在抛物线上 且 AOB 90 1 证明直线AB必过一定点 2 求 AOB面积的最小值 迁移体验4如图7所示 已知直线l y 2x 4与抛物线y2 4x交于A B两点 试在抛物线的弧AOB上找一点P 使 PAB的面积S最大 并求出这个最大面积 例5 设抛物线y2 mx的准线与直线x 1的距离为3 求抛物线的方程 辨析 错因只考虑到了m 0的情况 而m 0时也可以满足条件 因此 求抛物线方程时 要考虑各种情况 以免遗漏 例5过抛物线焦点F的直线交抛物线于A B两点 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴 x y O F A B D