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微信公众号 大学生学术墙 微积分 考试及参考答案 微积分 考试及参考答案 得分评阅人 一 填空题 共10题 每题2 分 共20分 1 2 3 00 1 limsin x x t dt x 2 设1 p 则广义积分 0 1 1 p dx x 3 在区间 0 2 上 由曲线sinyx 与直线0 1xy 所围成的图形的面积 4 幂级数 1 n n x n 的收敛域是 5 0 2 lim sin x y x xy 6 已知arctan zxy 则dz 7 无穷级数 1 1 2 n n 收敛 发散 8 微分方程2yxy 的通解为 9 微分方程430yyy 的通解为 10 将函数 2 x f xe 在收敛域内展成x的幂级数为 院 系 专业 年级 学生姓名 学号 课堂号 密 封 线 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 第1页 共3页 9 ln3 1 x e dx x 10 设 为平面区域xyx2 22 则 D dxdy 得分评阅人 二 判断正误并说明理由 共4 题 每题4 分 共16 分 1 2 1 limlim0 2 a a aaa a xdxxdxx 2 若 可微 f u vzf xy xy 则 u z xf y 3 若无穷级数 1 n n u 与 1 n n v 满足 1 2 nn uv n 若 1 n n u 发散 则 1 n n v 也发散 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 4 3 22 3 ln 1 0 xxxdx 得分评阅人 三 计算题 共7 题 每题7 分 共49分 1 计算 3 0 ln e x dx 2 dxexx x 1 1 密 封 线 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 第2页 共3页 3 设 f u具有二阶连续导数 且 yx g x yfyf xy 求 22 22 22 gg xy xy 4 平面图形由经过曲线2yx 上的点 2 2 的切线 直线0y 及该曲线围成 求其面积 5 求微分方程 x exy dx dy x 3 2 满足初始条件 1 0 x y 的特解 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 6 计算积分 2 11 0 y x Idxedy 7 求 1 1 n n n nx 的收敛域及和函数 得分评阅人 四 应用题 共1题 每题9 分 共9 分 经济学中有Cobb Douglas生产函数模型 1 100f x yx y 其中x表示劳动力的数量 y表示资本数 量 C与 1 o 是常数 由不同企业的具体情况决定 函数值表示生产量 现已知某生产商的 Cobb Douglas生产函数为 31 44 100f x yx y 其中每个劳动力与每单位资本的成分分别为150元及250 元 该生产商的总预算是50000元 问他该如何分配这笔钱用于雇佣劳动力及投入资本 以使生产量最高 密 封 线 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 第3页 共页 得分评阅人 五 证明题 共1题 每题6 分 共6 分 设 f x g x在 a b上连续 证明至少存在一个 a b 使得 b a fg x dxgf x dx QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 中南财经政法大学中南财经政法大学 20062006 20072007 学年第二学期学年第二学期 期末考试试卷标准答案及评分标准期末考试试卷标准答案及评分标准 课程名称 微积分 下 B 卷 课程代号 09156020 考试形式 闭卷 笔试 使用对象 全校财经类各专业2006级 一 1 1 3 2 1 1p 3 1 2 4 1 1 5 1 2 6 22 1 1 ydxxdy x y 7 发散 8 2 x yce 9 e 3ln 3 10 二 1 错 1 分 2 00 1 limlim 2 a aa xdxxdxx 发散 4 分 2 错 1 分 令 uxyvxy uv z xff y 4 分 3 错 1 分 如 1 1 n n 发散 2 1 1 1 n n 收敛 4 分 4 对 1 分 被积函数为奇函数 4 分 三 1 原式 32 1 1 ln 3 ln e e xxx dx 3 分 2 11 11 3 ln 2ln 3 2 ln ee ee exxxdxeexxdx 6 分 3 2 1 62eeeee 7 分 2 解dxexx x 1 1 dxxedxex xx 1 1 1 1 1 分 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 dxex x 1 1 3 分 1 0 1 0 22 xx xdedxxe 5 分 2 1 0 1 0 dxexe xx 6 分 21 2 1 e 7 分 3 由已知条件可得 2 y x f x y f x y x g 1 分 1 2 4 2 32 2 y x f yy x f x y x y f x y x g 3 分 1 y x f y x y x f x y f xy g 4 分 1 3 2 2222 2 y x f y x y x f y x y x f y x x y f xy g 6 分 22 22 22 gg xy xy 2 2 2 2 y x f y x y x f x y x y f x y 2 2 2 y x f y x x y f x y 2 x y f x y 7 分 4 解 图形略 1 分 2 2 dy dxx 2 1 2 x y 3 分 切线方程为22xy 4 分 2 2 0 14 22 23 Syydy 7 分 5 方程可化为 x exy xdx dy 2 2 1 分 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 这是一阶非齐次线性方程 其中 x xp 2 2 x q xx e 由通解公式得通解 cdxexqey dxxpdxxp 2 2 2 cdxeexe dx x x dx x 2 x x eC 5 分 由 1 0 x y 得c e 所求特解为 2 x yx ee 7 分 6 图形略 2 分 2 2 1 00 1 0 1 1 1 2 y y y dyedx yedy e 原式 7 分 7 1 2 lim 1 1 n nn n n 1 分 所以幂级数的收敛半径R 1 2 分 又当x 1 及x 1 时幂级数分别成为 1 1 1 n nn和 1 1 n nn 它们都发散 所以幂级数的收敛区间 为 1 1 4 分 设 1 1 n n xnnxS 则当x 1 1 时 1 2 1 12 1 1 n n n n n n xxnxxnxxS 1 1 1 1 1 2 22 x x x x 3 1 2 x x 7 分 四 解 要求目标函数 f x y在约束条xy 下的最大值 31 44 100 50000 150250 L x yx yxy 3 分 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 11 44 33 44 751500 252500x y Lxy Lx y xy 6 分 250 50 x y 这是目标函数在定义域内 的唯一可能极值点 故此时获最大利润 9 分 五 证明 作辅助函数 xb ax F xf t dtg t d