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4.一元二次方程根的判别式1理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点)2通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况 不解方程，判断下列方程的根的情况(1)2x23x40；(2)x2x0；(3)x2x10.解析：根据根的判别式我们可以知道当b24ac0时，方程才有实数根，而b24ac2 Ba2Ca2且a1 Da2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a1不为0.即44(a1)0且a10，解得a2且a1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b24ac0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合 已知a，b，c分别是ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2(b2c2a2)xc20没有实数根解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式c，acb，bca.证明：b为三角形一边的长，b0，b20，b2x2(b2c2a2)xc20是关于x的一元二次方程(b2c2a2)24b2c2(b2c2a22bc)(b2c2a22bc)(bc)2a2(bc)2a2(bca)(bca)(bca)(bca)(abc)(bc)a(ab)cb(ac)a，b，c是三角形三条边的长，a0，b0，c0，且abc0，abc，bca，acb.(bc)a0，(ab)c0，b(ac)0，(abc)(bc)a(ab)cb(ac)0，即0，解得m.m为非负整数，m0.而当m0时，原方程m2x2(2m1)x10是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根易错提醒：在求出m0后，常常会草率地认为m0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别
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