2020版高考数学大二轮复习7.2概率、随机变量及其分布列学案理.docx

第2讲概率、随机变量及其分布列 考点1古典概型与几何概型1古典概型的概率公式P(A).2几何概型的概率公式P(A).例1(1)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和“阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B.C. D.(2)2019郑州一模已知矩形ABCD中，BC2AB4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足0的概率是()A. B.C. D.【解析】(1)本题主要考查古典概型、计数原理等知识，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算由6个爻组成的重卦种数为2664，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P.故选A.(2)由0，知BMC为锐角或直角，则点M所在的区域如图中阴影部分所示，则所求概率P11，故选B.【答案】(1)A(2)B解答几何概型、古典概型问题时的策略(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性(3)利用几何概型求概率时，关键是确定构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.对接训练12019辽宁五校协作体联考某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个篮球的箱子中，任意取出2个球，若取出的2个球颜色相同，则中奖，否则不中奖则中奖的概率为()A. B.C. D.解析：设事件A为“中奖”，则P(A).故选C.答案：C22019山东青岛调研有一底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点A，则点A到点O的距离大于1的概率为()A. B.C. D.解析：设点A到点O的距离小于或等于1的概率为P1，则P1，故点A到点O的距离大于1的概率P1，故选B.答案：B 考点2相互独立事件和独立重复试验1条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A).2相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)3独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.例22019全国卷11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率【解析】本题主要考查互斥事件的概率、相互独立事件的概率，意在考查考生的逻辑思维能力、数据获取与处理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算(1)X2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.(1)求复杂事件概率的两种方法直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.对接训练32019河南一诊某班为了活跃元旦晚会的气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2,3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2,3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品已知同学甲参加了该游戏(1)求甲获得奖品的概率；(2)设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望解析：(1)设“甲获得奖品”为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则P(A).(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，则P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以随机变量X的分布列为X1234P所以数学期望E(X)1234. 考点3离散型随机变量的分布列、均值与方差1均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b；(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为实数)2两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)例32019广东佛山调研某市对居民用水拟实行阶梯水价，每户用水量不超过w米3的部分按4元/米3收费，超出w米3的部分按10元/米3收费，从该市随机调查了100户家庭，获得了他们某月的用水量，用水量分组为：第一组0.5,1)，第二组1,1.5)，第八组4,4.5，由此得到如下频率分布直方图，并且前四组的频数成等差数列(1)求a，b，c的值及居民该月用水量在2米3到2.5米3内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上的居民月用水价格为4元/米3，请估计w的值(精确到小数点后两位)；(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3户居民的月用水量，将月用水量不超过2.5米3的户数记为X，求X的分布列及均值【解析】(1)前四组的频数成等差数列，所对应的频率也成等差数列，可设a0.2d，b0.22d，c0.23d，0.5(0.20.2d0.22d0.23d0.2d0.10.10.1)1，得d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.故居民该月用水量在2米3到2.5米3内的频率为0.25.居民该月用水量在2米3到2.5米3内的频数为0.2510025(人)(2)由图可知，居民月用水量不超过2.5米3的频率为0.70.8，为使80%以上居民月用水价格为4元/米3，w2.52.83(米3)(3)将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知P(A2.5)0.7，则由题意可知XB(3,0.7)，P(X0)C0.330.027，P(X1)C0.320.70.189，P(X2)C0.30.720.441，P(X3)C0.730.343.X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343XB(3,0.7)，E(X)2.1.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解.对接训练42019湖南两市联考某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况一个运动员出线记1分，未出线记0分假设甲、乙、丙出线的概率分别为，他们出线与未出线是相互独立的(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分数之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望E()解析：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)1P()1.(2)的所有可能取值为0,1,2,3.P(0)P()；P(1)P(A)P(B)P(C)；P(2)P(AB)P(AC)P(BC)；P(3)P(ABC).所以的分布列为0123P故E()0123.课时作业18概率、随机变量及其分布列12019湖北宜昌联考某次下课后，某教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2个走出的是女同学的概率是()A. B.C. D.解析：由题意知共有6个基本事件，第2个走出的是女同学包含2个基本事件，所以第2个走出的是女同学的概率是.答案：B22019山东青岛调研已知某运动员每次投篮投中的概率是40%.现采用随机数法估计该运动员三次投篮中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生09中的整数，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果现产生了如下10组随机数；907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为()A. B.C. D.解析：随机模拟产生了10组随机数，在这10组随机数中，表示三次投篮恰有两次投中的有191,271,932，共3组，故所求概率为，故选C.答案：C32019广东佛山调研将一根长为6 m的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的2倍的概率为()A. B.C. D.解析：绳子的长度为6 m，剪成两段后，设其中一段的长度为x m，则另一段的长度为(6x)m，记“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”为事件A，则Ax|x|0x2或4x6，P(A)，故选B.答案：B42019河北九校联考如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为()A16.32 B15.32C8.68 D7.68解析：由题意，可估计椭圆的面积为6416.32.故选A.答案：A52019广东惠州二调设随机变量服从正态分布N(4,3)，若P(a5)P(a1)，则实数a等于()A7 B6C5 D4解析：由随机变量服从正态分布N(4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x4，又P(a1)，所以直线xa5与xa1关于直线x4对称，所以a5a18，即a6.故选B.答案：B62019河南中原名校联盟一模市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是()A. B.C. D.解析：大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为，某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为，又实体店里的家用小电器的合格率约为，某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P.答案：A72019湖北部分重点中学起点考试有4位游客去某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为()A. B.C. D.解析：通解由题意知，4位游客各从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览的选法有3481(种)第一步：从三个不同景点中选出一个景点的选法有C种；第二步：从4位游客中选2位到第一步选出的景点去游览，有C种方法；第三步：余下2位游客到余下的两个景点的分法有A种所以每个景点都有人去游览的方法有CCA36(种)，于是所求概率P，故选D.优解由题意知，4位游客各从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览的选法有3481(种)将4位游客分为3组的分法有C种，然后将这3组游客分到甲、乙、丙三个不同景点，其分法有A种，由分步乘法计数原理知，每个景点都有人去游览的方法有CA36(种)于是所求概率P，故选D.答案：D82019黑龙江齐齐哈尔模拟随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为()A. B.C. D.解析：图标第一部分的面积为83124，图标第二部分的面积和第三部分的面积和为329，图标第三部分的面积为224，故此点取自图标第三部分的概率为，故选B.答案：B92019湖南长沙一模已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A0.75 B0.6C0.52 D0.48解析：设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)0.6，P(A)0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)0.75，故选A.答案：A102019湖南株洲联考如图，三国时期数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影部分)设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷1 000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影部分)内的米粒数大约为(1.732)()A134 B866C300 D500解析：设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为xx，向弦图内随机抛掷1 000颗米粒(大小忽略不计)，设落在小正方形(阴影部分)内的米粒数大约为a，则，解得a1 000134.故选A.答案：A112019浙江七彩联盟联考若随机变量XB，则P(X3)_.解析：随机变量XB，则P(X3)C3.答案：122019广东肇庆联考已知某条线的地铁每10分钟一班，每站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是_解析：由于地铁每10分钟一班，每站停1分钟，故所求概率P.答案：132019福建福州质量抽测甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够解决这个问题的概率分别为，则有人能够解决这个问题的概率为_解析：没有人能解决这个问题的概率为，故有人能够解决这个问题的概率为1.答案：142019全国卷甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是_解析：本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算记事件M为甲队以4：1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)0.6(0.620.5220.60.40.522)0.18.答案：0.18152019江苏南通联考甲、乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲、乙两人从装有4个红球、1个黑球(除颜色外完全相同)的袋中轮流不放回摸取1个球，摸到黑球便结束该局，且摸到黑球的人获胜(1)若在一局游戏中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；(2)若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸并获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望解析：(1)记“一局中甲先摸，甲在该局获胜”为事件A，易知黑球被摸到的情况有5种，且被甲摸到的情况有3种，所以P(A).故甲在该局获胜的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的概率分布为X0123P数学期望E(X)0123.162019贵州贵阳监测互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为人们日常生活中不可或缺的一部分M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两家网络外卖企业(以下简称外卖A、外卖B)的服务质量进行了调查，从使用过这两家外卖服务的市民中随机抽取了1 000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：分数种类0,20)20,40)40,60)60,80)80,100外卖A(人数)50150100400300外卖B(人数)100100300200300表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：分数0,40)40,60)60,80)80,100服务质量指标0123用频率表示概率，解决下列问题：(1)从该市使用过外卖A的市民中任选5人，记对外卖A服务质量评价较高的人数为X，求X的数学期望；(2)从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率解析：(1)由频数分布表可知，对外卖A服务质量评价较高的频率为，将频率作为概率，则从该市使用过外卖A的市民中抽取1人，对外卖A服务质量评价较高的概率P，显然XB，故E(X)5.(2)记外卖A的“服务质量指标”为事件Ai，外卖B的“服务质量指标”为事件Bi，i0,1,2,3，则其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率为P(A2B0A3B1A0B2A1B3)P(A2B0)P(A3B1)P(A0B2)P(A1B3)0.40.20.30.30.20.20.10.30.24.172019河北武邑中学期末我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表：空气污染指数05051100101150151200201250251300300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重污染我们把空气污染指数在0100内的称为A类天，在101200内的称为B类天，大于200的称为C类天某市从2018年全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了18天的数据制成如下茎叶图(百位为茎)：(1)从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；(2)从这18天中任取