数形结合思想专题

专题：数学集合思想 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的 思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。以“形”变“数” 虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂 的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。“形”“数”互变 “形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。 数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提 高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。双基自测：1. 已知，则方程的实数根的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个2. 设数集，数集，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值为A. B. C. D.3. 若奇函数在上的增函数，有，则（ ） A.B. C. D.4. 当满足条件时，变量的取值范围是（）A. B. C. D.参考解析：1.解析 在同一坐标系下，画出函数y=a|x|， y=|logax|的图象，则图象有两个交点. 2.解析 由题意知.集合M的“长度”为，集合N 的“长度”为，而集合x|0x1的“长度” 为1；设线段AB=1，a，b可在线段 AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为MN. 如图，显然当a，b各自靠近AB两端时，重叠部分最短,其值为 . 答案 C3.解析 由f(x)为奇函数且f(-3)=0，得f(3)=0. 又f(x)在（0,+)上是增函数，据上条件做出满足 题意的y=f(x)草图，如图，如右图中找出f(x)与x异号的部分，可以看出xf(x)0的解集为x|0x3或-3x0.答案 D4.解析 由题意在坐标系下画出|x|+|y|1的图象如右图阴影部分，若x=0时，|y|1,此时u=0;若x0时，变量 可看成点A(0，3)与可行域内的点B连线斜率k的倒数,而k(-,-33,+),题型一 代数问题“几何化”以形助数【例1】求函数的值域。解 由题意令，所以 其图象 如右图所示，原式A=x+y其几何 意义是直线在坐标轴上的截距，故可设则A=x+y=，结合图像可知，【探究拓展】在解答此类问题时，主要是通过对“数”的形式进行观察、分析，把“数”转成图形，再借助其几何意义，通过“换元”使问题得以顺利解答.变式训练1.已知实数，则实数A的取值范围是 .题型二 几何问题“代数化”以数助形【例2】设M是抛物线y=x2上的一点，若点M到直线l:4x-3y-8=0的距离d最小，求点M的坐标及距离d的最小值.解：方法一 设点M，由题意可知即当时，满足条件，所以。方法二 设过点M平行于直线l与抛物线相切的直线方程为4x-3y+b=0,则整理得3x2-4x-b=0,由题意可知=42+12b=0, 即，所以，所以，。方法三 如图所示,若想使抛物线上的 点到直线l的距离最小，只需抛物线在 点M处的切线与直线l平行即可,因为直 线l的斜率为,抛物线的导数为y=2x,所以。【探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设 出抛物线上动点的坐标，利用二次函数求最值，是 解决距离问题的重要方法；而利用直线平行求距离 也是常规方法;利用导数求切线的斜率也是十分简 单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的 应用,注意体会.变式训练2 设F1、F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使,则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）A. B. C. D. 题型三 “数”“形”互化，相得益彰【例3】已知二次函数的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，. （1）求函数f(x)的表达式； （2）证明：当a3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三 个实数解. （1）解 由已知,设,由,得a=1,.设， 它的图象与直线y=x的交点分别为 ，由(2) 证明 方法一 由f(x)=f(a),得，在同一坐标系内做出的大致图像，其中的图像是位于第一、第三象限的双曲线，的图像是以为顶点，开口向下的抛物线。因此的图像在第三象限有一个交点，即有一个负数解。又，当，所以当时，在第一象限的图像上存在一点在图像的上方。的图像在第一象限有两个交点，即有两个正数解。因此，在时，方程有三个实数解。方法二 由，得，即的方程的一个解。方程化为，由，则，这与矛盾，。故原方程有三个实数解。【探究拓展】在解答此类问题时，注意将方程f(x)=g(x)转化成函数，然后在同一坐标系下 画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，通过研究函数图象交点的个数，来确定方程解的个数或 函数零点的个数.变式训练3 定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,则在R上f(x)=0的实数根的个数是 。经典考题赏析【考题再现】（2008四川）已知x=3是函数的一个极值点. (1)求a; (2)求函数f(x）的单调区间； (3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围.【解题示范】 （1）因为 所以 因此（2由（1）知， 当时，当时，所以的单调增区间是的单调减区间是（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因为 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当因此，的取值范围为。思想方法总结数形结合的本质是几何图形的性质反映了数量关系，数量关系解决了几何图形的性质.数形结合思想方法的应用可分为两种情况：借助于“数”的精确性来阐明“形”的属性；借助于“形”的直观来阐明“数”之间的关系.数形结合的基本思路:根据“数”的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或消除“形”的推理部分，把要解决的“形”的问题转化为数量关系的讨论.能力提升演练一、选择题1.不等式的解集为 （ ）A.x|x2或x-1 B.x|x2C.x|-1x2 D.x|1xc B.bc或bc中至少有一个正确 C.bc D.不能确定5.已知实数，则实数A的取 值范围是 （ ） A. B. C. D.6设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是（ ）A2,8 B3,6 C2,6 D3,8二、填空题7.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+1，且ab,若m、n是方 程f(x)=0的两根，且mn,则实数a,b,m,n的大小关 系是_.8.函数y=f(x)=sin x+2|sin x| (x0，2) 的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_.9.动点P（a,b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则 的取值范围是_.10.已知实数,则实数M的取值范围是_.三、解答题11.若方程在x(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围.12.如图,A,B,C为函数的图象上的三点，他们的横坐标分别是t,t+2,t+4 (t1). (1)设ABC的面积为S，求S=f(t)的解析式； (2)判断函数S=f(t)的单调性； (3)求函数S=f(t)的最大值.参考答案：变式训练1：变式训练2：A变式训练3：3能力提升演练：1.B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C7. amnb 8. 9.(-,-13,+) 10. 11.解 原方程即为 即 设 其图象如图， 由图象可知： 当1-m=0时，有唯一解，即m=1; 当11-m4时