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文档简介
例子 一块长方形的金属板 四个顶点的坐标是 1 1 5 1 1 3 5 3 在坐标原点处有一个火焰 它使金属板受热 假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比 在 3 2 处有一个蚂蚁 问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点 问题的答案 应沿由热变冷变化最骤烈的方向 即梯度方向 爬行 一问题的提出 方向导数图示 讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题 A B C 中 x O y z P0 P l 沿 方向的方向导数 二 方向导数的定义 设函数 在 内有定义 若点 沿射线l趋于 时 极限 存在 则称该极限值为函数 在点 处沿l方向的方向导数 记为 或 利用直线方程可将方向导数的定义 表示为 射线l的方程为 则 故 比较方向导数与偏导数的概念 在方向导数中 分母 在偏导数中 分母 可正 可负 即使l的方向与x轴 y轴的正方向一致时 方向导数与偏导数的概念也是不同的 方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想 为什么 怎么计算方向导数 看看三维空间的情形 定理 方向导数导计算公式 若函数 在点 处可微 则函数 在点 处 沿任一方向 的方 向导数存在 且 其中 各导数均为在点 处的值 运用向量的数量积 可将方向 导数计算公式表示为 其中 称为梯度 在 中 在 中 可统一表示为 设 求函数在点 沿方向 的方向导数 解 例 由点 到坐标原点的距离定 义的函数 在坐标原点处 的两个偏导数均不存在 但它在该点 沿任何方向的方向导数均存在 且方 向导数值都等于1 想一想 该例给你什么启示 函数可微是方向导数存在的充分条件 而不是必要条件 方向导数存在时 偏导数不一定存在 例 一个问题 在给定点 沿什么方向增加得最快 该问题仅在 不同时为零才有意义 可微函数 三 梯度 由前面的推导 有 现在正式给出 的定义 gradu 由此可得出什么结论 方向导数等于梯度在此方向上的投影 定义 设 则称向量 为函数 在点 处的梯度 记为 或 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致 而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值 以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致 而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值 以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中 在几何上表示一个曲面 曲面被平面所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模为方向导数的最大值 梯度的概念可以推广到三元函数 设 求 并求在 点 处方向导数的最大 小 值 解 从而 例1 解 由梯度计算公式得 故 25 精品课件 26 精品课件 1 方向导数的概念 2 梯度的概念 3 方向导数与梯度的关系 注意方向导
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