高考数学一轮总复习 第十一章 第5节 数学归纳法课件.ppt

第十一章复数 算法 推理与证明 第5节数学归纳法 1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 要点梳理 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设当n k k n k n0 时命题成立 推出当 时命题也成立 n k 1 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对n取第一个值后面的所有正整数都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 质疑探究 数学归纳法两个步骤有什么关系 提示 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 1 第一步中 验算n n0中的n0不一定为1 根据题目要求 有时可为2或3等 2 第二步中 证明n k 1时命题成立的过程中 一定要用到归纳假设 掌握 一凑假设 二凑结论 的技巧 解析 观察等式左边的特征易知选c 答案 c 解析 从n到n2共有n2 n 1个数 所以f n 中共有n2 n 1项 答案 d 4 凸k边形内角和为f k 则凸k 1边形的内角和为f k 1 f k 解析 易得f k 1 f k 答案 典例透析 所以当n k 1时等式也成立 综合 1 2 知对一切n n 等式都成立 拓展提高 1 用数学归纳法证明等式问题是常见题型 其关键点在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是几 2 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 思路点拨利用假设后 要注意不等式的放大和缩小 拓展提高 1 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 最后猜出从某个n值开始都成立的结论 常用数学归纳法证明 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时成立得n k 1时成立 主要方法有 放缩法 利用均值不等式法 作差比较法等 考向三用数学归纳法证明整除性问题例3用数学归纳法证明42n 1 3n 2能被13整除 其中n为正整数 思路点拨当n k 1时 把42 k 1 1 3k 3配凑成42k 1 3k 2的形式是解题的关键 拓展提高用数学归纳法证明整除问题 p k p k 1 的整式变形是个难点 找出它们之间的差异 然后将p k 1 进行分拆 配凑成p k 的形式 也可运用结论 p k 能被p整除且p k 1 p k 能被p整除 p k 1 能被p整除 活学活用3已知n为正整数 a z 用数学归纳法证明 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 证明 1 当n 1时 an 1 a 1 2n 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 2 假设n k时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 那么当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 2 ak 1 a 1 2 思路点拨关键是搞清n k到n k 1时对角线增加的条数 看顶点的变化可知对角线的变化从而可解 拓展提高用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何图形来分析 事实上 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧 活学活用4平面上有n个圆 每两圆交于两点 每三圆不过同一点 求证这n个圆分平面为n2 n 2个部分 审题视角 1 将n 1 2 3代入已知等式得a1 a2 a3 从而可猜想an 并用数学归纳法证明 2 利用分析法 结合x 0 y 0 x y 1 利用基本不等式可证 答题模板 第1步 寻找特例a1 a2 a3等 第2步 猜想an的公式 第3步 转换递推公式为an与an 1的关系 第4步 用数学归纳法证明an 验证递推公式中的第一个自然数n 2 推证ak 1的表达式为k 1 补验n 1 说明对于n n 成立 第5步 分析法证明 提醒 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 2 为了正确地猜想an 首先准确求出a1 a2 a3的值 思维升华 方法与技巧 1 数学归纳法的两个步骤相互依存 缺一不可有一无二 是不完全归纳法 结论不一定可靠 有二无一 第二步就失去了递推的基础 2 归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时 对于归纳假设要注意以下两点 1 归纳假设就是已知条件 2 在推证n k 1时 必须用上归纳假设 3 利用归纳假设的技巧在推证n k 1时 可以通过凑 拆 配项等方法用上归纳假设 此时既要看