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文档简介

1 导数的定义2 求导法则3 微分与应用 一 本章要点 1 导数的定义 1 导数 左导数 右导数 函数可导左导数 右导数 可导与连续的关系 函数在一点可导 则在该点连续 导数的几何意义 函数在一点的导数为函数曲线在该点 曲线的切线方程及法线方程 切线 法线 的切线斜率 2 求导法则设为可导函数 则 反函数的求导法则设函数为的反 函数 直接函数在区间上连续 单调 可导且 其导函数 则 对于具有更多中间变量的复合函数 则相应的导数为 复合函数的导数设函数均为可导 函数 则函数为可导函数 且 3 高阶导数若函数是阶可导 则递归定义 或 其中 记 阶导数的Leibniz公式设为两个阶可导的函数 则函数也阶可导 且有 由隐函数求导法 得到对数求导法 4 隐函数的导数设函数由方程 确定 在一定的条件下 可以求出函数的导数 注意 一般情况下 其导函数的表达式仍然以隐式方程的 形式给出 5 由参数方程确定的函数的导数设函数由参 数方程 确定 则当时 可确定为的函数 或 为的函数 相应的导数为 由此方法 可得到更高阶的导数 若令 则 3 微分 1 微分的定义若函数的增量具有表达式 则函数可微 相应的微分为 2 可微的条件函数在点处可微的充要条件 是在点可导 且有 3 微分应用近似计算公式 二 例题选讲 例1设求 解当时 当时 当时 即不存在 因此 例2设且存在 求 解因存在 故在处连续 所以 即得 又因存在 而 因此 例3设在的某个邻域内有定义 又 讨论下列函数在的可导性 解 设 则 即 设 则 故极限存在的充分必要条件为 此时 例4设 其中 且 证明 证 故 因此 即得 例5可导函数的图形与相切于原 点 试求 解由条件得 例6证明可导的周期函数的导函数为周期函数 因此有 证设为周期函数 为其周期 即 即为周期函数 例7设 求 解法一因 因此 解法二因 其中为一多项式 故 例8设 求 解 故切线方程与法线方程分别为 例9曲线上哪一点的切线与直线 平行 并求过该点的切线与法线方程 解设切点为 则切线的斜率为 例10试求垂直于直线且与曲线 相切的直线方程 解设切线的斜率为 切点为 因切线与已知 直线垂直 得 又由 得 从而切点为 故切线方程为 例11设 其中为可导函数 求 解 解两边取对数 得 例12设由确定 求 两边对求导 得 两边继续求导 得 即 所以 将代入上式并整理 得 例13设 求 解 因此 即 例14求由参数方程所确定的函数 的二阶导数 解 解将极坐标转化为参数方程 得 切线方程 例15求由三叶玫瑰线在对应处的 则当时 切线斜率 故切线方程为 直的方向航行 求经过5s后 人与小船分离的速度 例16某人以2m s的速度通过一座桥 桥面高出水面 20m 在此人的正下方有一条小船以m s的速度在与桥垂 解设经过秒后 船与人的距离为m 人行走距离 船的距离为 为m 船行走距离为m 则人与 当时 代入上式 得 已知 方程两边对求导 得 例17求的近似值 解 三 练习 1
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