高三解析几何复习题圆锥曲线中参数范围的求解策略答案.doc

圆锥曲线中参数范围的求解策略方法一：利用二次方程根的判别式构造不等式 若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数得到含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立起所含参数的不等式. 例1已知双曲线C的方程为，若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围.【解析】设，将代入得由直线l与双曲线交于不同的两点得且， 由得，而，于是，即，解此不等式得，由、得，故的取值范围为例2已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，且右焦点到直线的距离为3.若在y轴上纵截距为b的直线l与该椭圆交于不同两点M、N，当时，试求b的取值范围.【解析】易得椭圆方程为.根据条件，知l的斜率是存在的，设其方程为，与椭圆的方程联立并消去y，得.直线与椭圆有两个不同的交点，即.设，线段MN中点为，则由韦达定理，得，即，.将代入，得.又，且易证适合题意，故.故的取值范围是.方法二：利用二次方程的实根分布构造不等式涉及直线与双曲线的交点的具体情况（如两支上、一支上）时，仅考虑判别式是不够的，往往转化为一元二次方程根的情况，利用一元二次方程根的分布的处理方法建立不等式组求参数的范围.例3已知双曲线，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴上，且满足、成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限渐近线的垂线l，垂足为P，（1）求证；（2）若l与双曲线的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线的的范围.【解析】（1），由得.，成等比数列，、，.（2）由知，.即，.，即.（说明：本小题也可以比较与的大小关系）例4直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解析：（1）将直线l的方程代入双曲线C的方程后，整理得依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点.故解得k的取值范围是（2）设A、B两点的坐标分别为，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点，则由FAFB得即整理得把式及代入式化简得解得或（舍去）可知使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.方法三：利用曲线的有界性构造不等式椭圆、双曲线、抛物线上点的横坐标或纵坐标是有界的，利用曲线的横坐标和纵坐标的有界性，就可能找到变量间的不等关系，求出参数的取值范围.例5已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于，求实数的取值范围.【解析】设A、B两点的坐标分别为、，线段AB的垂直平分线与x轴相交，AB不与y轴平行，.A、B在椭圆上，.将，代入，得,.A、B在椭圆上，且，.，即.方法四：利用点与曲线的位置关系构造不等式 如果点的坐标中只含有参数，而该点又在圆锥曲线的内部（或外部），那么将该点坐标代入不等式（或）得到关于参数的不等式，从而求出参数的范围.例6使抛物线上总有不同的两点关于直线对称，试求实数a的取值范围.【解法1】设点，是抛物线C上关于直线l对称的两点.可得，消去，得.，方程有两个不等实数根， .又设AB中点为，由，得点M在l上，.可得，代入，得.方法五：利用变量间的关系构造不等式若题设中所涉及变量比较多，可以寻求这些变量间的关系式，然后分离出参数，通常是事先给出一个参数的范围来求另一参数的范围，这就要利用待求变量表示为已知变量的代数式（多伴为函数），进一步利用已知变量范围来求解；例7椭圆与直线相交于P、Q两点，且OPOQ（O为原点）（1）求证：等于定值；（2）若椭圆中时，求椭圆长轴长的取值范围.（1） 证明：消去得有两个交点0，即设则是方程的两根由OPOQ得又，得由式代入化简得 （2）【解】代入式得长轴长取值范围为方法六：挖掘曲线的隐含条件构造不等式对于一些特殊曲线，它们自身都包含了一些不等关系，如椭圆长轴长大于短轴长，也大于焦距长；双曲线的实轴长、虚轴长均小于焦距长等，都满足一定的不等关系.当然，有些时候不等关系比较隐蔽，往往需要通过分析量与量之间的关系，才能找到含参数的不等式. 如利用三角形中三边大小关系来列式求解；利用非负数的性质；利用图形特征.例8已知是椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，求椭圆取值范围.【解析】解法一：数形结合，如图所示，.即（结论的运用）.则椭圆离心率的取值范围为.方法七：利用已经参数的范围建立不等式.例9已知双曲线C的方程为，顶点到渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求AOB面积的取值范围.解答一（）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线由 得 双曲线C的方程为（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为设 由得P点的坐标为将P点坐标代入化简得设AOB又记由当时，AOB的面积取得最小值2，当时，AOB的面积取得最大值AOB面积的取值范围是例10已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角为和，当变化且为定值时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（1）如右图所示，设M为动圆圆心，记为F，过点M作直线的垂线，垂足为N.由题意知：，即动点M到定点F与定直线的距离相等，由抛物线定义知：点M的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，轨迹方程为.（2）证明：如图，设，由题意得（否则且）.直线AB的斜率存在，设其方程为.显然.将与联立消去，得.由韦达定理知1）当时，即时，.由式知：，.因此直线AB的方程可表示为：，即，直线A