山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第10章三角形的内切圆.doc

例 （2010年中国国家集训队测试题）锐角中，已知，设的内心为，边，的中点分别为，点，分别在线段，上，且满足，过内心作的平行线与直线交于点，点在直线上的投影为证明：点在的外接圆上证明 如图，由，应用推论，知为内的旁切圆与边的切点，为内的旁切圆与边的切点令，分别为的外接圆、内切圆半径由性质（1），从而设与交于点，与的外接圆交于点，则为弧的中点，过点作的垂线与直线交于点下面证明设与，分别交于点，对及截线应用梅涅劳斯定理，有因为，所以于是，有同理由于，所以注意到过点只能引一条平行于的直线，所以与重合，又点在上的投影是唯一的，故与重合，即点在的外接圆上例 （2006年CMO题）在中，的内切圆圆分别与边，相切于点，联结，与内切圆交圆交于点，联结，若，求证：（注：可去掉）证法 如图，辅助线及各点标记如图由性质（1），可设，三线共点于由，知在上，又，则是外接圆的切线又，知的圆心在上同理，的圆心在上故即的圆心，从而，则，四点共圆，有，即故知点为弧的中点设，延长至，使，作于，则，即知为的中点于是，且（定差幂线定理）即，亦即，亦即由切割线定理，有代入上式有，求得，即有，故证法 （图略）由性质（3）可设，三线共点于，与交于点，则在完全四边形中，应用对角线调和分割性质，有过作交，于，则，即有又，则，即，知是弧中点下同证法证法 （图略）联结、分别交内切圆于点、由性质（4），可设，三线共点于因，则，即为的垂心于是从而，直径为的中垂线，即是弧的中点下同证法例 （2001年第30届美国数学奥林匹克题）已知的内切圆分别切，边于，分别在，上，且，记与的交点为，圆与相交两点中离较近的点为求证：证明 如图，设圆的圆心为，因，由性质知，三点共线再由性质，知当时，有例 （2003年第20届伊朗数学奥林匹克题）设是的内心，且与，分别切于点，与交于另一点，是与的交点在线段上，且证明：当且仅当，三点共线时，证明 如图，设直线交于点，则由性质，知当时，于是，三点共线与重合为的中点例 （2008年印度国家队选拔考试题）设是非等腰三角形，其内切圆为圆，圆与三边，分别切于点，若，分别与，交于点，的中点分别为，证明：，三点共线证明 如图，由性质知，三点共线在四边形中（或完全四边形中），应用牛顿线定理，即知，三点共线（第14章性质1）例 （1995年第24届美国数学奥林匹克题）设是非等腰非直角三角形，设是它的外接圆圆心，并且，分别是边，的中点，点在射线上，使得点和分别在射线和上，使得和证明：直线，共点证明 如图，因，则由性质，知与相切于点，与相切于点，分别与相切于点，于是，是的内切圆，切点分别为，由切线长定理，再应用塞瓦定理，知，三线共点例 （2006年第16届韩国数学奥林匹克题）在中，的内切圆与，的切点分别为，记与的不同于点的交点为过点作的垂线交于点，分别是与直线，的交点求证：是线段的中点证明 如图，记过点且平行于的直线与过点且与垂直的直线交于点，直线与交于点，直线与交于点由，知，四点共线由，知，又，即知，五点共圆，记此圆为又由，知，四点共圆，记此圆为叫注意到，圆，圆两两相交的根轴，相交于一点（因知圆，圆，的圆心不共线），而与相交于点，直线与交于点，故与重合，即有于是，由推论，知，故知是线段的中点例 （2008年中国国家代表队选拔赛题）设为的内切圆，切边于点，联交于，在上取点，使，延长交于点，则证明 如图，设分别切，于点，过点的切线与直线交于点，则由性质，知，三点共线又由性质，有，即有由，有，知从而对及截线应用梅涅劳斯定理，有，故例 （IMO46预选题，2006年伊朗国家队选拔赛题）已知的中线交其内切圆于点，分别过，且平行于的直线交圆于点，分别交于，证明：证明 如图，设为的内心，分别切，于点，直线与交于点，则由性质知，点在上设过点，的两条切线交于点，则由性质，知，共线又由性质，知没直线交于点，由，有注意到等腰梯形中对其对角线，两底的公垂线为，从而再注意，式，则，即知是的中点因此，是的中点，故练习十1（2008年东南地区数学奥林匹克题）的内切圆分别切，于点、，、分别为边、的中点，是直线与的交点证明：、三点共线2（2010年第六届北方数学奥林匹克邀请赛题）已知是的内切圆，分别为，上的切点联结并延长交于点，联结并延长交于点求证：是的中点3（2008年香港数学奥林匹克题）已知（）的内切圆分别切，于点，是线段上的点，使得若，证明：是的垂心4（2009年越南数学奥林匹克题）设，是定点，是动点，且是定角，其中，的内切圆在边，上的切点分别为，分别与，交于点，证明：线段的长是定长，且的外接圆过一个定点5（1995年伊朗数学奥林匹克、1997年匈牙利数学奥林匹克、2002年保加利亚数学奥林匹克题）设的内切圆与边，分别相切于点，求证：的外心，内心与的垂心三点共线6（2007年保加利亚数学奥林匹克题）已知锐角的内切圆与三边、分别切于点，垂心在线段上证明：（1）；（2）设的外心，内心分别为，内的旁切圆切于点，则，三点共线7（2010年第六届北方数学奥林匹克邀请赛题）已知，是的切线，切点分别是，是的一条割线，过点作的平行线，分别交弦，于点，求证：8设的内切圆切边于点，交内切圆于点，过点作内切圆的切线分别交，于点，则9设的内切圆分别切，三边于点，过点与三边平行的直线分别交，于点，则10的一个旁切圆分别切及，的延长线于点，点在线段上，则的充要条件是11.（中等数学2009（12）数学奥林匹克训练题）的一个旁切圆分别切边及，的延长线于点，于点，于点联结过点作，分别交，的延长线于点，证明：12.（2008年第34届俄罗斯教学奥林匹克（第四轮）的内切圆圆分别与边，切于点，圆周上的点，满足求证：点，到直线的距离彼此相等13（2005年IMO46预选题、2006年波兰数学奥林匹克题、2006年法国国家队选拔赛题）已知满足，为的内心，内切圆与边、的切点分别为、点、关于点的对称点分