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若干数值积分的计算方法黄海琼（广西民族大学数计学院04数本1班 南宁 530006）摘 要: 本文讨论了若干数值积分的计算方法。在一维情形下，介绍了Newton-Cotes公式，Gauss型等求积法则； 在二维情形下, 主要介绍了二元Newton-Cotes积分方法。最后，对几类数值积分方法及其数值实验进行比较评述。关键词: 牛顿-柯特斯公式；Gauss型求积法则；二元数值积分；数值实验Some Computational Methods of numerical integrationHuang Haiqiong(College of Mathematics and Computer Science,Guangxi University for Nationalities, Nanning 530006)Abstract: In this paper, some computational methods about numerical integration are discussed. under the univariate situation, the quadrature rule of Newton-Cotes formula, Gauss formula and so on is introduced. Under the two-dimensional situation, it mainly introduced the dual Newton-Cotes integral method. Finally, the numerical integration methods and numerical experiment were discussed.Key word: Newton-Cotes formula; Gauss integration principle; dual numerical integration; numerical experiment.1 引 言 数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。在微积分理论中，我们知道了牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式其中是被积函数的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个问题: 对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为:它们或是被积函数没有解析形式的原函数,或是只知道被积函数在一些点上的值,而不知道函数的形式,对此,牛顿莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式就无能为力了。此外,即使被积函数存在原函数,但因找原函数很复杂,人们也不愿花费太多的时间在求原函数上,这些都促使人们寻找定积分近似计算方法的研究,特别是有了计算机后,人们希望这种定积分近似计算方法能在计算机上实现,并保证计算结果的精度,具有这种特性的定积分近似计算方法称为数值积分。2 一维数值积分的计算方法2.1 一维数值积分方法的基本思想对于一维数值积分法的思想来源于定积分的定义，即其中，一般的提法是: 对于给定的权函数，用在点处的函数值的线性组合作为积分的近似值，即 (2.1) 并称此为求积公式，称为求积公式(2.1)的余项或误差，及分别称为求积公式(2.1)的求积节点及求积系数，这里求积系数只与权函数及积分区间有关，而与无关。为保证机械求积公式的精度, 自然希望它对尽可能多的简单函数是准确的，即要求它对一切次多项式是准确的, 而对次多项式不一定准确。则得到关于系数的阶线性方程组：由于系数行列式为Vandermonde行列式,不为零,则解是唯一存在的。定义2.1.1 如果当时，求积公式(2.1)精确成立，而当时，求积公式(2.1)不精确成立，那么称求积公式(2.1)具有次代数精度。定理2.1.1 任意给定个节点，如果是次数不超过的多项式，那么一定存在常数，使求积公式(2.1)精确成立，即.证明 设是关于节点，的次Lagrange插值多项式, 即其中是Lagrange基函数，是Lagrange插值余项。于是不妨令 (2.2)则有因为是次数不超过的多项式，所以，这意味着，于是，从而. 这个定理告诉我们，具有一定代数精度的求积公式是存在的。定理2.1.2 形如(2.1)的求积公式的代数精度的充要条件是:它是插值型求积公式。证明 充分性上面已证. 现在来证必要性. 设求积公式 (2.3)的代数精度. 因为Lagrange基函数, 所以故求积公式(2.3)是插值型求积公式。定义2.1.2 如果属于区间，那么称为内插型求积公式，其中求积系数由(2.2)决定。2.2 几种常用数值积分方法2.2.1 插值型求积公式在上,用以为节点的次Lagrange插值多项式作为的逼近函数,即可得到插值型求积公式:即其中.插值型积分公式具有次代数精度,且时公式是稳定的。2.2.2 一元Newton- Cotes公式将区间等分成份，步长, 求积节点为令,则Lagrange插值基函数为求积系数可表示为令称为Cotes系数，则求积公式可化为若令,可得出. 记 (2.4) 称(2.4)为Newton-Cotes公式的截断误差。Cotes系数与被积函数和积分区间都无关,只要给出区间等分数即可求出。由于点Newton-Cotes公式是特殊的插值型求积公式,故其代数精度至少是,但由于其节点的等距性,我们有定理2.2.1 当求积节点个数为奇数时,对应的Newton-Cotes求积公式的代数精度至少为-1.证明 考虑求积余项. 由于是插值型求积公式,故有 对有 (换元) (令)记, 则故是奇函数,得,定理得证.定理2.2.2 阶Newton-Cotes公式具有次代数精度.证明 设为次多项式，由(2.4)有在阶Newton-Cotes公式中，是分成等分的，所以必是分点.令，于是令,则有此积分的被积函数为奇函数，积分区间关于原点对称，故其值为零，即. 定理得证.下面我们给出一些常见的Newton-Cotes公式及其余项:1、令, 即得梯形公式 ,当时,.2、令, 即得Simpson公式，当时,.3、令, 即得Cotes公式当 时，.2.2.3 复化公式由定积分知识,定积分只与被积函数和积分区间有关,而在对被积函数做插值逼近时,多项式的次数越高,对被积函数的光滑程度要求也越高,且会出现Runge现象。如时,Newton-Cotes公式就是不稳定的。因而,人们把目标转向积分区间,类似分段插值,把积分区间分割成若干小区间,在每个小区间上使用次数较低的Newton-Cotes公式,然后把每个小区间上的结果加起来作为函数在整个区间上积分的近似,这就是复化的基本思想。常用的复化公式有:1、复化梯形公式,.2、复化Simpson公式, .2.2.4 逐次分半技术与Romberg公式如何确定适当的使得近似值与真值之差在允许范围内,一般来说是比较困难的。而逐次分半技术是在求积过程中根据精度的要求,自动确定的选择是否满足精度要求,以二分后前后两次之差来估计误差,这样既缩小了步长,又能保留原有的计算结果,减少计算量。对复化公式, 可得到,且,.称之为Romberg公式. Romberg公式的加速效果是极其显著的,在相同精度要求下,计算量较小.2.2.5 Gauss型求积公式为进一步提高求积公式的代数精度,可通过适当选择插值节点和求积系数,使得代数精度最高达到.把求积节点和求积系数视为同等参数求解，既可利用方程组得到,也可借助正交多项式的零点来确定。一般可设个节点的求积公式为. （2.5）定理2.2.3 插值型求积公式（2.5）具有次代数精度，必须且只须插值节点是上以为权的次正交多项式的零点.证明 设插值型求积公式（2.5）具有次代数精度，记次多项式,对任意给定的多项式. 因为（2.5）具有次代数精度，是次多项式，所以即与关于权正交.反之,设与任意次数的多项式关于权正交,任意给定恒可表示为,其中与均属于,且.于是定理得证.定义2.2.1 具有最高代数精度为的插值型求积公式称为Gauss型求积公式，求积节点称为Gauss点.定理2.2.4 求积公式(2.1)是Gauss型的，当且仅当Gauss点是上关于权的次正交多项式的根.证明 充分性定理2.2.3已证.下面证必要性. 令任取次数的多项式有即对一切次数不高于的代数多项式成立，从而是上关于权的次正交多项式. Gauss点是次正交多项式的根. 证毕. 定理2.2.5 若（2.5）为Gauss型内插求积公式，则其求积系数皆为正，且 (2.6)其中.证明 显然,多项式的次数不超过,且又由假设知（2.5）是Gauss型求积公式，所以注意到,所以,于是得再将的表达式代入上式，便可得到公式(2.6). 证毕.定理2.2.6 如果,则是Gauss型求积公式收敛,即.定理2.2.7 Gauss型求积公式是数值稳定的。且对有限区间上的连续函数，Gauss求积的数值随节点数目的增加而收敛到准确积分值.定理2.2.8 若，则Gauss型求积公式(2.5)的余项为 (2.7) 证明 取的Hermite插值多项式为，满足插值条件由于可得利用及积分中值定理即得式(2.7). 证毕.利用具有不同权函数的正交多项式, 就能得到不同类型的Gauss型求积公式:1、Gauss-Legendre: .2、Gauss-Laguerre: .3、Gauss-Hermite: .4、Gauss-Chebyshe：.利用上述几种公式,一维数值积分的近似计算问题已成功获得解决。3 二元Newton-Cotes积分方法对于二元数值积分的计算问题, 我们在本节做些讨论。采用和一元数值积分类似的方法, 可构造出二元数值积分的Newton-Cotes公式。首先, 对积分区域进行简化. 由于为非规则边界, 不好找到原函数, 于是把积分区域等分成若干个规则的矩形(如图1) 图1 积分区域则每个矩形区域内的积分变成，故 （3.1）其中,表示等分纵坐标范围所得到的曲边矩形的条数,表示在第个曲边矩形中等分横坐标范围所得到的小矩形个数.可见,二元数值积分转换成一些在,矩形区域内的二元数值积分的二重累加和,但是,依然是二元数值积分,还需要进行改进。对单个的矩形区域内的二元数值积分，要尽量做到 从而实现一元化。解决积分（3.1）的数值方法有很多, 常用插值多项式构造数值积分公式的方法. 具体做法如下: 给定区域上一组节点以及节点处的, 作的插值多项式,其中代入得记则在等距节点, 其中步长, 如果作变量替换,那么记则,其中，称为柯特斯系数, 部分柯特斯系数列在表1中。同理，故，于是 （3.2）(3.2)称为二元数值积分的Newton-Cotes公式7。在时.在时 .表1 柯特斯系数12345678123456784 几类数值积分方法的比较评述 由于实际问题计算时要考虑到精度要求和计算量, 因而不同求积公式各有特点.梯形求积公式和Simpson求积公式虽然计算简单、使用方便, 但是精度较差, 但对于光滑性较差的被积函数有时比高精度方法更为有效。尤其梯形公式对被积函数是周期函数的效果更为突出。 时, Newton-Cotes公式是不稳定的, 而复化梯形公式和复化Simpson公式在保留了低阶公式的优点, 又能获得较高的精度, 因此在实际计算中应用的最为广泛。利用二分技术得到的Romberg方法的算法简单, 易于编程实现。当节点加密提高积分近似程度时, 前面计算的结果可以为后面所用, 对减少计算量很有好处, 并有比较简单的误差估计, 能得到若干积分序列, 如果在做收敛性控制时, 同时检查各行、各列, 对于不同性态的函数可以用其中最快的收敛序列来逼近积分。高斯型求积公式的精度较高, 特别对计算无穷积分和瑕积分方面是其它方法所不能比拟的。但因为其节点不规则, 当节点增加时, 前面计算的函数值不能为后面所用, 上机计算时还要预先存入不同值的节点值和系数表, 比较麻烦。5 数值积分方法的比较数值实验本节通过Matlab上机实验的数值例子, 比较各种数值积分方法的优缺点。(1)积分节点数相同, 不同算法的精度比较。在理论上可以确定各种方法的精度高低, 但是不利于理解。运用目前流行的数学软件的强大功能进行上机操作, 能够非常准确、直观地认识到不同数值积分方法的准确程度。例如: 对于积分, 精度要求为.分别用梯形公式、Simpson公式、Gauss公式与精确解进行比较。利用Matlab编写程序运行后结果显示: Precision Trapezoidal Simpson Gauss 0.7853981635 0.7849814972 0.7853981535 0.7853981635显然, 梯形公式精度较低, Simpson公式较好, 而Gauss求积公式的精度最高, 在给定精度下与精确解(Precision)一致。(2)同一算法,积分区间有不同等分数的比较。 例如:求积分,采用梯形公式考虑同一算法的不同步长的比较或积分区间有不同等分数时的计算精度、计算时间的比较,用Matlab编程,运行结果显示:区间数目: 10 20 40 80 计算结果: 0.6305 0.6228 0.6209 0.6204 (精确解为: 0.6203)计算时间: 0 0 0 0.0100图形演示:参考文献:1 苏成,韩大建. 正交各向异性弹性力学平面问题的样条虚边界元法J. 应用数学和力学,2002,23(4): 402-403.2 刘鹏飞,徐乃楠. 数值积分方法的比较教学研究与实验J. 长春师