数理方程重点总结.ppt

数学物理方法 一些典型方程和定解条件 第一讲 基础 CaculationsofSomeTypicalEqationswithDifinitecConditions 数学物理方程与特殊函数 一 均匀弦的横振动方程 二 传输线方程 电报方程 一维波动方程 高频传输线方程 三 电磁场方程 三维波动方程 四 热传导方程 场点t时刻的温度分布 三维热传导方程 振幅 电流 电压 第一类边界条件 物理条件直接规定了u在边界上的值 如 第二类边界条件 物理条件并不直接规定了u在边界上的值 而是规定了u的法向微商在边界上的值 如 第三类边界条件 物理条件规定了u与un在边界上值之间的某个线性关系 如 例 设长为的均匀细弦 两端固定 初始位移为0 开始时 在处受到冲量为的作用 试写出其定解问题 解 建立坐标系 并选取研究对象如图示 其一维波动方程为 泛定方程 1 由两端固定 知 边界条件 2 为了导出初始条件 考虑 由初始位移为0 知 由开初时 在处受到冲量的作用知 上的动量改变 即为冲量 于是有 对于点周围足够小的 弦段 为了导出初始条件 考虑 由初始位移为0 知 由开初时 在处受到冲量的作用知 上的动量改变 即为冲量 于是有 对于点周围足够小的 弦段 质量 速度 由此可见 初始条件为 初始条件 3 冲量 力的时间作用效应 动量定理 动量的改变 冲量的作用 受冲击时的初位移 受冲击时的初速度 动量 质量与速度的乘积 最后可得定解问题 泛定方程 1 边界条件 2 初始条件 3 例 数学物理方法 第二讲直接积分法 MethodofDirecitIntegration 将积分结果作为e的幂 这就是积分因子 这里 大可不必去考虑它了 数学物理方法 第三讲分离变量法 MethodofSeparateVariable 例 最易混淆的概念 最易出错的地方 数学物理方法 第四讲行波法MethodofTravlingWave 二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换 二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换 其通解为 上述偏微分方程的特征方程 积分 得到两族积分曲线 特征曲线 为 对特征方程行因式分解 得 二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换 2 得到特征变换为 3 通解为 试写出下列方程的通解 例求下面柯西问题的解 解泛定方程所对应的特征方程为 特征曲线 两族积分曲线 为 作特征变换 其中是两个任意二次连续可微的函数 这样 原方程的通解为 注意 这里括号内仅表示自变量 而不是具体函数 代回原来的自变量 从而得到所求的解为 特征变换 和差化积公式 为什么这里不可以相消 数学物理方法 第五讲积分变换法IntegralVariableMethod 积分变换法举例 Fourier积分变换法Laplace积分变换法混合变换法 用来解常微分方程 将未知函数的常微分方程 化成像函数的代数方程 达到消去对自变量求导运算的目的 用来解偏微分方程 通过选取积分变换 在工程力学 电磁场理论 光学 热学 无线电学 通讯理论 微电子学 核科学与技术 地震资料数据处理 等方面 均有广泛的应用 在偏微分方程的两端 对某个变量取变换 消去未知函数对该自变量求偏导的运算 得到像函数的较为简单的微分方程 如果原来的偏微分方程只包含两个自变量 通过一次变换就能得到像函数的常微分方程 Fourier积分变换Laplace积分变换 数学中的变换手段 旨在化繁为简