基于二叉树模型的期权定价.docx

目录摘要.1ABSTRACT.2第一章绪论.31.1背景介绍.31.2本文的主题.3第二章预备知识.42.1期权.42.2二叉树方法.42.2.1方法概述.42.2.2二叉树方法的优点和缺点.62.2.3风险中性定价.62.3Black-Scholes期权定价模型.72.3.1模型来源.72.3.2风险中性定价.72.3.3模型假设.82.3.4Black-Scholes期权定价公式.8第三章本论.93.1期权定价的二叉树模型.93.1.1参数确定.93.1.2资产价格树形.113.1.3通过树形倒推.113.1.4代数表达式.123.2例子模拟计算和结果分析.123.3模型改进三叉树.15第四章结论.16谢辞及参考文献.17谢辞.17参考文献.18附录.20计算过程中涉及算法.20摘要Black-Scholes期权定价模型为期权定价尤其是欧式期权定价提供了良好的解析结果，而Black-Scholes公式是此模型的核心，但是此公式并不能很好地求解出在很多衍生模型例如亚式期权以及美式期权中的解析解。二叉树方法作为一种数值方法，同时也是图论中一种重要方法，应用于期权定价问题中，它有了更特别的演变。本文利用二叉树方法计算期权定价的数值解，用二叉树方法迭代多次，求出较为准确的期权价格。通过B-S公式得出的结果与二叉树方法得到的结论对比，分析二叉树方法模拟的优点和缺点。同时，我们还要研究二叉树模拟的步数与预测结果和精度间的关系，从而更加深入了解二叉树方法。然而，我们在模型中设立了许多条件，这些都使模型离真实情况越来越远，我们必须不断发展模型，完善模型。三叉树方法正是二叉树方法的合适补充。关键词：二叉树方法，Black-Scholes模型，风险中性定价1ABSTRACTBlack-ScholesFormulaisthecoreofBlack-ScholesOptionPricingModelwhichprovidesapracticalmethodforoptionpricing.Ithasanalyticalsolutionswithgoodpropertiesinsomespecialsituations,forinstance,Europeanoptions.However,theanalyticalsolutionisdifficulttofindinmanyderivativemodelslikeAsianoptionsandAmericanoption.Asasortoftypicalstatisticalsimulationmethod,BinomialtreeplaysveryimportantrolesinGraphTheoryandothersignificantacademicfields.Whenitappliestotheoptionprice,binomialtreemethodhasmuchmorespecialuse.Themainideaisthatweputthebinomialtreeintoeffect,reapplythismethodandgetnumericalresultsofoptionprice.BycomparingtheresultsofBlack-Scholesformulawiththeresultsofbinomialtreemethod,wecometotheadvantagesanddisadvantagesofbothmethod.Meanwhile,thestudyofthestepsofbinomialtreemethodisalsoincludedtogetitsrelationshipwiththemethodsresultsandaccuracy,whichleadsustounderstandthismethoddeeplyandrightly.However,wesetmanyextraconditions,whichpushesthesituationfurtherawayfromtherealsituation.Thesimplebinomialtreemethodissupposedtobeimprovedconstantlyincasethefinancemarketchangesceaselessly.Ternarytreeisagoodsupplementforthebinomialtree.Keywords:Binomialtreemethod,Black-Scholesoptionpricingmodel,Risk-neutralvaluation2第一章绪论1.1背景介绍金融数学这门学科是随着金融市场崛起后产生的一门衍生学科，作为为金融学和数学的交叉学科，它的主要想法就是收集大量金融市场中的实际数据，建立适当的数学模型并不断进行优化，利用一系列的现代数学工具（例如概率论、随机分析以及程序辅助）研究风险资产如金融衍生产品的定价，同时尽可能规避投资风险以及选择最优的消费投资策略。期权交易作为金融衍生品中的重要部分，18世纪后期在美国与欧洲市场有了初步的雏形，发展初期交易制度以及人们对这种新兴金融产品的认识还十分有限。那时的期权主要由商业自营者自己提出报价然后由出资人选择购买，因此商业自营者的报价一定会偏向于对自己有利的价格，正是由于这种不完备性期权交易的发展在当时一直受到各种因素的限制。到了1973年，横空出世的芝加哥交易所规范了期权合约标准了后期交易流程，使这种情况得到改善。期权相关的研究从这种金融衍生品诞生起就开始了，金融从业者和投资者们想要依靠各种不同数学以及计算机工具来分析期权，想要从供求机制引导的市场波动中找出期权变化发展的隐藏规律，从而使自己获得最大的利润。1973年，Black和Scholes得出的期权定价模型的出现是对于金融数学研究有重大意义，尤其是在期权定价方面，它是在金融市场的基本准则上建立的，模型在提出之后又经过不同的研究人员改进，基本符合市场的变化规律，并依此可以对未来的期权价格进行定价研究。令很多数学家和金融学家欣喜的一点就是Black和Scholes得出的期权定价模型在欧式期权的应用中有着性质优良的解析解，这一点让很多人眼前一亮同时也为其它更加复杂的衍生品的研究打下了良好的基础。随着这个模型的广泛应用，人们发现这个模型还是具有一定缺陷。正如很多这样的预测一样，在长期市场大环境下这个模型也许还有着不错的效果，然而金融市场越来越复杂，单纯的数学层面上的技术分析得到的结论往往不是那么尽如人意，于是人们开始不断的发展模型，向里面加入各种各样的新型变量，从而使其更加符合一小段时间下特定市场状况以得到更好的期权定价结果。但3是这又带来另一个问题，随着模型越来越复杂，变量越来越多，计算模型的难度越来越大，求得解析解的情况已经很少，即使用一些现代的数学计算工具和软件，求解单个复杂的微分方程也是相当耗费时间和资源的，更不必说对于一些大的基金公司，要同时追踪上千上万只期权和股票，那么找到一个快速而且相对精准的计算方法就显得非常必要了。1.2本文的主题使用风险中性原则进行定价是Black-Scholes模型构造原则之一，此方法使得用这个模型得到的期权价格实质上是一个期望。其本身就是一个随机问题，那么我们要估计其数值解很自然的就可以想到数值模拟的算法。二叉树方法正是典型的的随机模拟算法之一，其思路清晰，且没有涉及过多复杂运算，是数值方法模拟的极优选择。对于计算机而言，如果采用数值模拟算法，就可以避免直接进行一些复杂微分方程的求数值解时不停地执行迭代循环的问题，大幅提升计算机运算速度。这主要是基于以下原因，首先，二叉树方法简洁易懂，不需要过多的数学及统计基础，只是基于概率论以及利息理论等简单内容的算法，另外，作为计算机模拟方法，二叉树方法过程并不复杂，计算量相对较小，一般只需30步迭代即可求得比较精确的期权价格，还有二叉树方法作为简单的模拟方法还有很大的发展空间，比如三叉树以及有股息的二叉树都是简单二叉树方法的发展。第二章预备知识2.1期权期权又被叫做选择权，它是在期货的基础上产生的一种衍生金融工具。具体是指在未来一定时期可以进行买卖的权利，是买方向卖方支付一定数量的金额（权利金）后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期以事先规定好的价格即执行价格向卖方购买或售出一定数量的特定标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。所以从本质上讲，期权的实质上是在金融市场交易中将权利进行定价，使得权利的拥有者在规定时间内对于是否进行交易，行使其权利，而义务方必须履行。在期权的交易中，购买期权的一方称作买方，而出售期权的一方则叫做卖方；权利的拥有者称为买方，而义务的承担者则被叫做卖方。期权又细分为两种：看涨期权和看跌期权。持有看涨期权的人可以在将来某特定时间选择使用该权利以某一确定价格即执行价格买入一定量的某种资产，4持有看跌期权的人则可以在将来某特定时间选择使用该权利以某一特定价格卖出一定量的某种资产。我们平时所说的欧式期权、美式期权和由基本期权衍生的亚式期权是根据不同种类期权行使时间的差别而产生的。本文中，我们主要讨论欧式期权。欧式期权的特征为：期权持有人也即期权的长头寸方只有在期权到期日此特定时刻才能选择是否行使期权。这也为我们建立模型以及统计计算提供了便利。举一个简单的例子：投资者购买了一份股票的欧式看涨期权，期权合约表明该合约的持有者可以在3个月之后以20元的价格买入一份大豆。3个月后的履约日，一份股票的价格涨到了22元，那么，该合约的持有者可以履行该合约，以20元的价格买入一份股票然后再以22元的当时市场价卖出，从而赚得了2元的差价。2.2二叉树方法2.2.1方法概述二叉树方法、蒙特卡洛方法以及微分方程的有限差分方法等都是期权定价的重要方法，其中二叉树方法是对期权和其他衍生品进行估算而普遍使用的一种数值模拟方法。Cox,Ross和Rubinstein在1979年提出的二叉树法是现在较为成熟的二叉树方法的思想基础，二叉树法中树图如下图所示，表示衍生品资产价格在有效期内按一定规律可能遵循的路径，从而更明显地分析真实期权，而且得出的模拟结果与Black-Scholes公式得到的结果是等价的，尤其是当二叉树方法的步数足够大的时候，二叉树方法得出的数值解与B-S公式得到的解析解基本没有差异。我们首先来讨论一步二叉树中各节点股票价格以及期权价格，假设初始0时刻股票价格为S0，股票期权的价格为f，T表示期权的有效期，在期权此有效期内，股票的价格可能会由S0上涨到S0u，也有可能从S0下跌到S0d，其中u1，d1。当股票涨价时，这支股票价格增长的比率为u-1。当股票降价时，这支股票价格下跌的比率为1-d。假设如果股票价格变到S0u，相应的期权价格为fu；而股票价格变为S0d时，期权价格为fd。结果如图所示。S0ufuS0f5S0dfd例如，我们将一个X股股票的长头寸和一份期权的短头寸组成一个交易组合。我们能够找到一个实数X使得当前交易组合不具有任何风险。期权到期时的价值在股票价格上涨时为S0uX-fu期权到期时价值在股票价格下降时为S0dX-fd令以上两个值相等，即S0uX-fu=S0dX-fd我们得出X=fu-fdS0u-S0d这时的交易组合根据开始的假设应当是无风险的，由此它的收益率一定会等于无风险利率。上式表示，在时间T当股票在两个节点之间变动时，X为期权价格变化与股票价格变化的比率。如果我们将此交易组合的无风险利率用r表示，则此交易组合的贴现值应为(S0uX-fu)e-rT而当前交易组合的在0时刻的成本应为S0X-f所以S0X-f=(S0uX-fu)e-rT即f=S0X(1-ue-rT)+fue-rT6将X的表达式带入上式并进行化简，则有f=S0fu-fdS0u-S0d(1-ue-rT)+fue-rT或f=fu(1-de-rT)+fd(ue-rT-1)u-d或f=e-rTpfu+(1-p)fd(2.1)其中p=erT-du-d(2.2）当股票的价格代入如上方法设置的一步二叉树当中时，这一系列式子可以来对期权进行一步定价。2.2.2二叉树方法的优点和缺点优点：二叉树方法可以在多种期权（例如美式期权和欧式期权）中进行应用，原理简洁明确是其最大的优势，并且在前人的努力下，简单二叉树模型已经比较完善，其中的参数设置已经比较成熟，相对于其它模拟（如蒙特卡洛方法）方法来讲，二叉树方法需要的初始数据较少，适合大体趋势的模拟。缺点：二叉树方法作为数值模拟方法，其随机性没有典型的随机模拟方法那么好，毕竟股票价格是在一定规律下随机波动，缺少随机性的设置使得二叉树模拟并不精确，尤其是在步数较少的情况下，而在步数过大时，计算复杂度较高，会耗时耗力。2.2.3风险中性定价风险中性定价是二叉树方法以及B-S公式模型中一个重要的原理和原则，所谓的风险中性定价（risk-neutralvaluation）：指当对衍生品定价时，我们可以假设投资者是风险中性的。这个假设具体是指投资风险增长时，投资者并不需要额外的预期回报率。我们将所有的投资者都是风险中性的世界定义为风险中性世界(risk-neutralworld）。当然，我们所生活的世界不是风险中性的，投资者所承受的风险越大，要求的回报也会越高。然而，我们发现当假7设世界是风险中性时，给出衍生产品价格不但在风险中性世界是正确的，在我们所生活的世界里也是正确的。对于买方和卖方对于投资风险的厌恶程度这种感性的内容，我们无法用精确的数字来衡量，所以我们不得不设法躲避这个变量，而风险中性定价原则正好迎合了我们的需求。此假设看起来有点问题，但我们经过反复考证就会有欣喜的发现：虽然投资者对风险会有喜恶，例如当投资者更喜欢大风险带来的高额利益时，股票价格会上涨，然而我们这里讨论的是期权价格与股票价格的关系，两个价格都会发生变化，但是此二者之间关系是稳定的。风险中性世界中的两个特殊性质能巧妙地简化对期权等衍生品的定价：股票等投资的收益率期望在风险中性世界里是无风险利率用于对期权等债权的收益期望值贴现的利率也等于无风险利率。式（2.1）中参数p应当被理解为在风险中性世界里股票价格上涨的概率，而1-p则是相应的股票价格下跌的概率。表达式pfu+(1-p)fd的值则是期权到期日也即T时刻的收益在风险中性世界条件下的期望值，式（2.1）可以表达为期权今天的价值等于其收益在风险中性世界期望值的以无风险利率贴现所得的现值。这正是风险中性原则定价的一个应用。为了证明我们对p的理解是合理的，当上涨概率为p时，股票在T时收益的期望E(ST)为E(ST)=pS0u+(1-p)S0d即E(ST)=pS0(u-d)+S0d将式（2.2）中p代入公式，得E(ST)=S0erT以上公式说明当股票价格上涨概率为p时，资产的增长速度由无风险利率r给出。也即股票价格变化行为正如当p为价格上涨概率时在风险中性世界我们所期望的那样，当股票按二叉树的方式变化时，风险中性定价是正确的。82.3Black-Scholes期权定价模型2.3.1模型来源Black-Scholes期权定价模型也经常被人们叫做Black-Scholes-Merton期权定价模型，主要是用来进行期权价格以及收益期望的计算和估计。这个模型的主要研究人员从两个不同的方向研究了期权定价问题，麦伦斯科尔斯与费希尔布莱克利用了资本资产定价模型来确定市场对期权所要求的回报与对股票所要求的回报之间的关系。而罗伯特默顿所采用的方法主要采用了风险中性原则。即在一个很短的时间段内，由股票和期权给出的投资组合的回报率可以看做无风险利率。相对于前面两位研究者，默顿的方法更具有一般性。现在为金融研究者熟知并广泛应用的Black-Scholes期权定价模型正是基于默顿的方法和研究推导出来的。2.3.2风险中性定价之前在二叉树方法中我们已经引入了风险中性定价理论，在B-S定价模型中，风险中性定价原则也是非常重要的，布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程不涉及任何受投资者对风险选择影响的变量。股票的当前价格、到截止日期前时间、股票价格波动率和无风险利率这些变量是方程中的所有变量，而它们均与风险选择无关。由于布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程与风险选择无关，我们可以利用一种巧妙的方法：如果风险选择在方程中不出现，那么它不会影响方程的解。因此，在计算0时刻期权价格f时，任何一组风险选择都可以被当做实际情况进行计算，特别地，可以假设所有的投资者均是风险中性的。在应用风险中性定价计算的过程中，需要假设标的资产的期望收益率为无风险利率，由此用无风险利率对收益期望进行贴现求解。对于风险中性的投资者而言，他们不愿意用额外的风险换取额外的回报，因此在分析时利用风险中性假设可以大大简化分析的过程。2.3.3模型假设不存在无风险套利机会模型研究的期权种类假定只为欧式期权股票的价格服从对数正态分布，而同时股票的收益率服从正态分布在期权有效期内，也即到期日前，无风险利率和股票的收益变量是常量无税收和交易成本9股票在期权有效期内没有股息2.3.4Black-Scholes期权定价公式B-S微分方程+s2S2ft+rSfS122fS2=rf的解是关于看涨期权与看跌期权最著名的定价公式，分别为c=S0N(d1)-Ke-rTN(d2)p=Ke-rTN(-d2)-S0N(-d1)式中d1=ln(S0/K)+(r+s2/2)TsTd2=d1-sTln(S0/K)+(r-s2/2)TsT式中的N(x)表示标准正态分布的概率分布函数，也就是说这一函数等于服从标准正态分布的随机变量其值小于x的概率。此外，c表示欧式看涨期权的价格，而p则为看跌期权的价格，S0表示股票在初始0时刻的价格，K为期权在到期日的执行价格，r表示连续复利的无风险利率，股票价格的波动率由给出，T表示从起始时刻到执行时刻的时长。考虑最基本的欧式看涨期权，风险中性世界里，期权到期时的期望值是max(ST-K,0)式中表示在风险中性世界里的期望值。从风险中性定价方法我们可得，欧式看涨期权的价格等于这个期望值以无风险利率贴现后的现值，也就是说c=max(ST-K,0)e-rT10第三章本论3.1期权定价的二叉树模型在这里我们只讨论欧式看涨期权没有股息且无套利的情况，这是由二叉树方法在此条件下有着性质十分良好的解析解决定的。由于近些年金融市场的发展、改革和完善，Black-Scholes的初始模型的拟合优良程度已不如模型刚问世的时候，我们不断研究发展这个公式，同时添加各种可能参数，这样作为B-S公式给出的理论值与二叉树方法进行比照，这两种方法的对照使我们辩证的看待它们的准确性，具体分析问题，讨论当参数取值不同时，B-S公式以及二叉树方法的合理性，以便及时判断误差是来自模型本身的系统误差还是由二叉树方法本身所造成的。3.1.1参数确定要利用二叉树方法进行模拟计算就需要确定模型中的p,u及d。我们设置以及选择这三个参数的目的中最终要的就是必须保证股票价格在时间Vt内的均值以及波动的方差都给出合理的值。由于我们假定了风险中性世界，将无风险利率r视为股票的收益率期望，如果资产提供收益率q的收入（如股息），那么资本增值的部分的收益率期望应该由r-q给出，这意味着在一个时间段Vt末，资产价格的期望值为Se(r-q)Dt，式中S为资产在开始时也即0时刻的价格。要使二叉树模型与回报期望值相对应，我们应有Se(r-q)Dt=pSu+(1-p)Sd即e(r-q)Dt=pu+(1-p)d（3.1）将资产价格在Dt时间内增减变化的百分比变化记为R，那么1+R等于u的概率为p，而其值等于d的概率为1-p。由上式以及方差计算公式得pu2+(1-p)d2-e2(r-q)Dt因为加减常数变量方差不变，所以R的方差与1+R的方差相同。由股票价格服从过程11dS=mSdt+sSdz以及其离散形式DS=mSDt+sSDz以及其性质其中e服从标准正态分布，得DSSDz=eDt:N(mDt,s2Dt)由此可知，当Dt很小时，sDt近似地等于在Dt时间内股票价格变化百分比的2方差。因此pu2+(1-p)d2-e2(r-q)Dt=s2Dt由式（3.1）得出，e(r-q)Dt(u+d)=pu2+(1-p)d2+ud，因此e(r-q)Dt(u+d)-ud-e2(r-q)Dt=s2Dt（3.2）式（3.1）和（3.2）给出了决定p、u及d的两个条件，Cox、Ross和Rubinstein选取的第三个条件为u=1d（3.3）当忽略式中Dt的高阶项时，式（3.1）（3.2）（3.3）的解为p=a-du-du=esd=e-sDtDt式中a=e(r-q)Dt12变量a有时也被称为增长因子。模型中还有很重要的一个参数s为股票价格波动率，关于波动率的计算方法有多种，比较常用的两种分别为：由历史股票价格数据来估计波动率和使用历史期权价格与B-S公式的解析解来反推波动率。我们选择第一种方法求解：首先，我们要获取n+1个股票样本，新定义mi=ln(SiSi-1)，根据股票价格服从对数正态分布以及其均值、方差我们可得mi的标准差为st，其中t为时间区间的长度。那么波动率的估计为s=var(m)t，也就是1s=(mi-m)2nn-1i=1t3.1.2资产价格树形如图所示，在时间0时，股票的价格S0为已知；在时刻Dt时，其价格有两种可能的值：S0u，S0d；在时刻2Dt时，股票价格有三种可能的值分别为：S0u2，S0，S0d2；以此类推。S0u4S0u3S0u2S0u2S0uS0uS0S0S0S0dS0dS0d2S0d2S0d3S0d4在一般情形下，在时刻iDt时，价格有取i+1种值的可能，它们是13S0ujdi-j,j=0,1,Li图中，计算每一节点资产价格时，采用了关系式u=1d，例如，当i=3和j=2时资产价格为S0u2d=S0u。此外，树中节点是重合的，即资产价格先上涨再下跌和先下跌再上涨所得出的值是一样的。3.1.3通过树形倒推通过在期权到期日即时间T（树的末端）的期权价格由反向归纳（backwardsinduction）的方式可以对期权进行定价。期权在时刻T时的价格是已知的，例如看涨期权的价格为max(ST-K,0)，而看跌期权的价格为max(K-ST,0)，其中ST为股票在时刻T时的价格，K为执行价格。因为我们假定交易发生在风险中性世界中，在T-Dt时刻每一节点上的期权价值等于将T时刻期权价值的期望值以无风险利率r在时间区间Dt上进行贴现。类似的，在T-2Dt时刻每一个节点上的期权价值可以将T-Dt时刻的期权价值的期望值以无风险利率进行贴现来求得，并以此类推。3.1.4代数表达式假定一个欧式期权的期限分为N个长度为Dt的时间区间。我们称在时间iDt的第j个节点为(i,j)节点，其中0iN,0ji。令fi,j为期权在(i,j)节点上的值，标的资产在(i,j)节点上的价格为S0ujdi-j。如果是看涨期权，它在时间T（到期日）的值为max(ST-K,0)，因此fN,j=max(S0ujdN-j-K,0)，(j=0,1,LN)如果是看跌期权，它在到期日的值为max(K-ST,0)，因此fN,j=max(K-S0ujdN-j,0)，(j=0,1,LN)在iDt时，从(i,j)节点移动到(i+1)Dt时刻，到(i+1,j+1)节点的概率为p，到(i+1,j)节点的概率为1-p。由于是欧式期权，到期日才能被行使，由风险中性定价原理可以得出，对0iN-1和0ji，fi,j=e-rDtpfi+1,j+1+(1-p)fi+1,j3.2例子模拟计算和结果分析14对于例子：一支无股息股票为欧式看涨期权，期限为5个月，股票当前价格为50元，执行价格为40元，无风险利率为每年10%，波动率为每年40%。如图（1）所示，经二叉树模拟计算得期权定价为12.52元，而由Black-Scholes公式算得期权价格约为11.65元。当上例中执行价格分别变为50元和30元时，二叉树方法模拟结果分别如图（2）（3）所示，约为6.09元和21.27元，B-S公式算得结果分别为2.39元和21.22元。当上例中期权执行价格分别变为60元和20元时，如图（5）所示，由二叉树模拟价格分别为2.52元和30.82元，由Black-Scholes公式模拟的结果分别为-5.52元和30.82元。结果分析：由图（1）（2）（3）（4）（5）易得当期权执行价格明显小于股票初始价格时，二叉树方法模拟的结果与Black-Scholes公式算得的结果相比相差不大，也就是说二叉树方法模拟相对准确；然而在较为符合看涨期权实际情况的期权执行价格与股票初始价格相差不大或者大于股票初始价格时，二叉树方法模拟结果与B-S公式算得的结果相差比较大，在此种情况下，简单的二叉树方法模拟无法准确地得到真实的期权价格。图（1）执行价格为40元15图（2）执行价格为50元16图（3）执行价格为30元图（4）执行价格为60元17图（5）执行价格为20元同时，从图中我们容易看出，当二叉树模拟20步以内波动较为明显，当模拟到30步左右时，期权价格波动已经相对较小也即价格已经保持稳定，当模拟到30步以后时，价格波动基本不变。所以，二叉树模拟步数设置为30步比较合适，既不会对精确程度造成较大影响，又不会多做不必要的计算。3.3模型改进三叉树三叉树模型是二叉树模型的一种改进，假定在树形的每个节点上价格变化为上升、不变以及下降的概率分别是pu，pm，和pd，树形的步长为Dt。假定股票支付股息收益率q，当我们忽略Dt的高阶项时，以下参数可以保证树形的均值和标准差与股票价格的均值和标准差相吻合u=es3Dt,d=1us21pd=-Dt12s2(r-q-)+2618pm=23s21pu=Dt12s2(r-q-)+26三叉树的计算过程与二叉树类似，计算由树尾倒推到树的起点。在每一个节点，我们需要计算形式期权的价值与继续持有期权的价值，继续持有期权的价值等于e-rDt(pufu+pmfm+pdfd)式中fu、fm和fd分别为在下一步节点上对应于价格上升、取中间值和下降时的期权价格。更新模型后，继续考虑之前给出的例子，我们重点考虑较为符合实际情况的初始价格与执行价格相差不大的情况，同样的初始价格50元，我们来考虑执行价格为49元和51元的情况：由三叉树模拟的情况分别如图（6）（7）所示，其结果分别为3.30元和2.80元，而由Black-Scholes公式给出的结果分别为3.27元和1.51元，可以看出当执行价格为49元时，是较为符合实际情况的一种，且用两种方法模拟效果相差不大，也即三叉树模型确实较二叉树模型更加符合实际情况。19图（6）执行价格为49元20图（7）执行价格为51元由以上结果可以得出，三叉树是在二叉树基础上的有效改进，其算法改进的主要方面即为每次股票价格波动多提供了一种可能（股票价格保持不变的情况），这使得三叉树算法模拟更加接近真实情况。我们可以考虑，每次股票价格给出的变化可能更多，这对于以期望形式给出的期权价格来讲是非常关键的，那么从理论上讲，我们的模拟结果也会在符合实际的情况中更加精确，也即与B-S公式计算得到的结果相差更小。如果每次股票价格给出的可能趋于无穷大，那么我们会得到理论上的准确期权价格，但这无疑会大大增加我们的计算量。3.4模型反思对于二叉树与三叉树模拟方法，我们已经基本掌握其算法过程以及主要原理，在例子中，我们保持无风险利率、波动率以及初始价格等参数不变的基础上，在不同的执行价格下观测算法模拟的情况，同时与B-S公式给出的结果相对照，我们从理论和实际模拟情况中得出三叉树模型的优势。完成模拟后，我们反思整个过程，我们欣喜地发现，我们有两种期权定价的方法（二叉树、三叉树模拟方法和Black-Scholes公式），当我们固定无风险利率、波动率以及初始价格等参数时，设两种定价方法给出的期权价格相等，则我们可以反求期权执行价格，在实际问题中，准确地给出执行价格也有十分21重要的意义。22第四章结论经过金融市场的发展以及金融数学工作者对金融衍生品不断的研究和探索（包括Black-Scholes期权定价模型的发展），这些都使得以前的经典模型已经不再适用，计算过程不断的变得复杂，即使使用计算机帮助计算也很复杂，此时二叉树方法作为典型的数值模拟算法，进行模拟时往往比较有效。我们可以通过原始的B-S公式得到欧式期权的理论定价，同时与二叉树模拟得到的结论相对照，我们容易得出二叉树方法的准确定价是对初始值以及执行价格有一定条件的，并且对于二叉树模型来讲，虽然这是一种比较优秀的模拟方法，但其假设条件比较苛刻，这就造成我们得出的结果与实际期权价格的偏差，随着金融市场以及金融衍生品的发展，我们的计算模型也应随着改进，文中最后提到的三叉树就是二叉树模型的一个重要改进，其模拟效果在符合实际的情况下与B-S公式给出的理论值更加接近，然而与此同时，我们的工作以及计算机的计算量也会相对增加，还有我们可以增加条件使得模型更加贴近实际，例如在期权到期日之前是有股息的，这些改进都是研究中的重要突破。同时，我们也了解了二叉树方法模拟步数与结果精确度间的关系，找到了一个相对合理的模拟步数，这对今后的二叉树模拟有指导意义。23谢辞及参考文献谢辞感谢许振宇老师在我选择课题指导和遇到困难时的帮助；感谢父母一直督促我学习并对我毕业论文重视和关注；感谢田淼九年以来对我的包容，尤其是大四一年从考研初试到复试再到毕业设计过程中对我的鼓励和支持；感谢舍友球王闫申、主任张志鑫、托神刘君敬以及段子手张鸿捷四年来的互相支持，互相帮助，给了我良好的学习环境和轻松愉快的生活氛围；感谢以蔺平为代表的同组同学及时交流和沟通，使论文内容更加丰富；感谢刘姚