齿轮减速器的最优化设计.pdf

图1带式输送机减速器 齿轮减速器的最优化设计 张云华 长江大学 机械工程学院 湖北 荆州 434023 齿轮减速器是机械产品中最常用的通用减速装置 其性能好坏直接影响机械产品的技术性能 传统的减速 器设计通常是选取适当的参数 进行反复的试凑 校核确 定设计方案 但也不一定是最佳设计方案 而优化设计的 方法则通过设计变量的选取 目标函数和约束条件的确 定 建立数学模型 通过求解得到满足条件的最优解 同 时缩短设计周期 本文介绍了单级斜齿圆柱齿轮减速器 优化设计的过程和方法 建立优化设计数学模型 并利用 MATLAB 进行寻优求解 1数学模型的建立 首先建立减速器齿轮传动系统的数学模型 然后针 对具体问题 编程计算得到最优化设计方案 1 1确定目标函数和设计变量 1 2 根据不同的已知条件和 设计要求 齿轮减速器设计 的目标和方法是不同的 对 于全新的设计 一般是在给 定转矩 转速和传动比的情 况下 确定主要的传动参数 和齿轮结构参数 以使该传 动既能满足所有的设计标 准 规范和要求 又具有最小的体积和最紧凑的结构 而 体现减速器的体积大小和结构紧凑程度的指标之一是减 速器两传动齿轮的中心距 对于单级斜齿圆柱齿轮减速 器 其中心距为 a 1 u z1mn 2cos 1 式中 z1 u mn 分别为小齿轮齿数 传动比 法面模数和 螺旋角 由此可知 单级斜齿圆柱齿轮减速器设计中的独立 参数有三个 由它们构成的设计变量是 X x1 x2 x3 T mn z1 T 2 相应的目标函数为 f X 1 u x1x2 2cosx3 3 1 2建立约束条件 2 4 齿轮减速器的设计首先必须使其中的传动齿轮具有 足够的承载能力和工作寿命 具体来说就是要满足齿面 接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度条件 其次 传动系统 还必须满足有关的结构要求和润滑要求 最后 还必须根 据设计规范和要求对齿轮参数的取值进行必要的限制 由此形成了如下几方面的约束条件 1 齿面接触疲劳强度条件 简称接触条件 由机械设计理论知 齿轮的齿面接触疲劳强度的校 核公式是 H ZEZHZ Z 2KT1 dd31 u 1 u姨 HP 4 式中 K 载荷系数 与源动机的类型 载荷性质 转速大 小 齿宽系数的大小和制造精度有关 若减速器由电动机 驱动 齿宽系数较大 载荷比较平稳 齿轮为非对称布置 可取载荷系数 K 1 2 T1 减速器的输入转矩 也是高速级 小齿轮承受的转矩 N mm d 齿宽系数 d b d1 b 为齿 宽 对于软齿面齿轮 一般取 d 1 0 d1 高速级小齿轮的 分度圆直径 d1 mnz1 cos mm ZE 弹性系数 对锻钢齿轮 摘要 在齿轮减速器优化设计目标函数建立 设计变量选取和约束条件确定的基础上 建立其优化设计数学模型 利 用 MATLAB 的优化工具箱对齿轮减速器进行优化设计 并通过实例与常规设计结果进行了分析 优化结果表明采用 MATLAB 算法求解优化设计问题 算法有效可靠且优于常规设计 关键词 MATLAB 圆柱齿轮减速器 优化设计 中图分类号 TH132 41文献标识码 A文章编号 1002 2333 2008 11 0080 03 The Optimal Design of Gear Speed Reducer ZHANG Yun hua School of Mechanical Engineering Yangtze University Jingzhou 434023 China Abstract Based on establishment of target function choice of parameters and confirmation of constraint conditions of the Cylindrical Speed Reducer its optimum mathematical model is set up Cylindrical speed reducer is designed by MATLAB optimal toolbox Finally a comparison between optimum design and conventional design is conducted and analyzed based on industrial cases The result shows that by using the MATLAB arithmetic the mechanical design is not only reliable but also effective and is excelled the conventional design Key words MATLAB cylindrical speed reducer optimum design Z4 Z3 Z1 Z2 轴 3 轴 2 轴 1 仿真 建模 CAD CAM CAE CAPP 制造业信息化 MANUFACTURING INFORMATIZATION 机械工程师2008 年第 11 期80 ZE 189 8MPa ZH 结点区域系数 是螺旋角的函数 可由 有关的图表查出 记作 ZH Z 重合度系数 Z 1 姨 其中 为接触线长度变化系数 为端面重合度系数 对 斜齿轮 0 9 1 0 1 88 3 2 1 z1 1 z2 cos 故重合度 系数可记作 Z z1 u Z 螺旋角系数 Z cos 姨 HP 许用接触应力 由式 HP Hlim SHmin ZN计算 其中 Hlim为材料 的接触极限应力 是硬度 HBS 的函数 记作 Hlim HBS ZN为接触寿命系数 是转速 n r min 和工作寿命 t h 的 函数 记作 ZN n t SHmin为最小接触安全系数 一般取 1 05 1 1 由此可得齿轮的齿面接触强度条件的约束条件为 189 8cos 姨 ZH Z z1 u 2KT1cos3 m3nz31 u 1 u姨 HP 5 即 ZH x3 Z x2 u x3 cos2x3 1 u 1 KT1 x31x32姨 3 726 10 3 HP 0 6 其中部分系数经整理或函数拟合后为 2 3 节点区域系数 ZH 2 9027 0 3702 e 接触极限应力 Hlim HBS 495 0 889 HBS 150 接触寿命系数 ZN n t 1 6 60nt 105 2 75 0 1006 ln 60nt 1055 10 7 2 齿根弯曲疲劳强度条件 简称弯曲强度条件 齿根弯曲强度的校核公式是 F 2KT1 dd21mn YFaYSaY Y FP 7 式中 YFa YSa Y 和 Y 分别为齿形系数 应力修正系数 重合度系数和螺旋角系数 它们都是齿数 Z 和螺旋角 的函数 分别记作 YFa z YSa z Y z 和 Y z FP代表许用弯曲应力 其值由下式计算 FP FlimYST SFlim YN 8 其中 Flim 齿轮材料的弯曲极限应力 可由机械设计手册 中查得 MPa SFlim 弯曲强度的安全系数 对软齿面齿轮 一般取 1 35 YST 应力修正系数 一般取 2 0 YN 弯曲强 度计算的寿命系数 与应力循环次数 N 有关 可从有关图 表中查得 由此可得小齿轮和大齿轮的弯曲强度条件为 2KT1cos3 z21m3n YFa z1 YSa z1 Y z1 Y z1 FP 0 9 即 cos2x3 x22x31 KT1YFa x2 x3 YSa x2 x3 Y x2 x3 Y x2 x3 0 5 FP1 0 10 cos2x3 ux2 2x3 1 KT1YFa ux2 x3 YSa ux2 x3 Y ux2 x3 Y ux2 x3 0 5 FP2 0 11 其中 经过整理或函数拟合后的相关系数为 2 3 齿形系数 YFa 3 8193 0 3628ln zv zv为当量齿数 应力修正系数 YSa 1 1233 0 146ln zv 弯曲极限应力 Flim HBS 170 0 3 HBS 150 弯曲寿命系数 YN n 2 5 60nt 104 5 06 0 2728 ln 60nt 1043 10 6 螺旋角系数 Y z 1 0 2 65 10 3z tan 3 结构约束条件 为保证紧凑的结构 大齿轮的直径不能太大 若取最 大直径为 350mm 则有 d2 350 0 12 为使模数取标准值 建立以下离散性约束 2mn round 2mn 0 001 0 13 4 设计变量取值范围约束 传递动力的齿轮 模数不能小于 2 中小型齿轮减速 器中齿轮模数一般不大于 4 故取 2 mn 4 14 对于软齿面齿轮 小齿轮的齿数应选得大些为好 一般的 选取范围是 20 40 于是有 20 z1 40 15 斜齿轮的螺旋角一般选在 8 20 考虑到最后还需对计 算的数据进行调整 故取 8 16 16 2MATLAB 优化理论和编程求解 3 MATLAB 是由美国 Mathwork 公司开发 集强大的科 学计算 数据可视化和程序设计为一体的科技应用软件 分总包和若干工具箱 包括信号处理 图像处理 小波分 析 系统识别 通信仿真 模糊控制 神经网络 工程优化 统计分析等现代工程技术学科内容 其中优化工具箱含 有一系列的优化算法函数 可方便 快捷地解决线性 非 线性极小值 非线性系统的方程求解 曲线拟合 二次规 划和大规模优化等工程实际问题 机械优化设计多数是非线性约束最小化问题 在 MATLAB 中 采用序列二次规划法进行优化 算法可靠且 不用编写大量的算法程序 设计效率高 本文中单级斜齿 圆柱齿轮减速器优化设计属于带约束条件的非线性优化 设计问题 由优化工具箱中的 fmincon 函数实现 该问题 的数学模型可做如下描述 min f x s t Ax b 线性不等式约束 Aeq x beq 线性等式约束 C x 0 非线性不等式约束 Ceq x 0 非线性等式约束 lbound x ubound fmincon 函数的调用格式 x fval fmincon fun x0 A b Aeq beq lb ub nonlcon options 为便于与常规齿轮设计方法比较 以文献 2 第 216 81 机械工程师2008 年第 11 期 制造业信息化 仿真 建模 CAD CAM CAE CAPP MANUFACTURING INFORMATIZATION 4结语 本文借助 CAE 技术 即 MoldFlow 的分析 优化浇注 系统的设计 从填充时间 熔接痕 气穴 流动前沿的温度 和锁模力方面综合分析了最优的浇口位置 即采用侧浇 口 进而进行了合理的模具设计 以注塑出最佳的塑料制 品 保证制品能全部充满 大大缩短了模具制造的时间 降低了模具的生产成本 编辑 立明 作者简介 赵凤国 1958 助理讲师 高级技师 主要研究方向为机 械优化设计 收稿日期 2008 09 16 页例题 10 2为例进行优化设计 基本数据与之相同 输入转 T1 9 948 104N mm 输入转速 n1 500r min 传动比 u 3 2 根据以上建立的单级斜齿圆柱齿轮减速器的数学模 型 用 MATLAB 语言编制的求解程序由以下 4 个函数 主程序和子程序 组成 减速箱齿轮传动优化设计主程序 geardesign m sigmahp sigmafp gearparameter rat x0 3 24 14 options optimset display iter lb 2 20 8 ub 4 40 16 x f exitflag output fmincon gearobjfun x0 lb ub gearconstr options 目标函数子程序 gearobjfun m function f gearobjfun x f x 1 1 rat x 2 2 cos x 3 pi 180 约束条件子程序 gearconstr m function c ceq gearconstr x c 1 zh zep cos beta 2 sqrt 1 1 rat x 1 x 2 3 sqrt kk T1 3 726e 3 sigmahp 1 c 2 cos beta 2 x 2 2 x 1 3 yfa 1 ysa 1 yep ybeta kk T1 0 5 sigmafp 1 c 3 cos beta 2 rat x 2 2 x 1 3 yfa 2 ysa 2 yep ybeta kk T1 0 5 sigmafp 2 c 4 d2 350 c 5 abs 2 x 1 round 2 x 1 0 001 ceq 许用应力计算程序 gearparameter m function sigmahp sigmafp gearparameter rat for i 1 2 sigmah i 495 0 889 HBS i 150 sigmaf i 170 0 3 HBS i 150 end for i 1 2 sigmahp i sigmah i zn i 1 1 sigmafp i sigmaf i yn i 1 48 end 运行上述最优化设计程序 计算中采用序列二次规 划算法和一维搜索算法 共经过 7 次规划子问题的求解 当相邻两次二次规划子问题解的函数值之差与最大不满 足约束的值都满足给定计算精度 10 6之后程序运行结 束 输出最优解如下 x 2 4995 20 0000 13 9136 f 108 1522 经过适当圆整和标准化修正后的齿轮传动系统设计 参数如下 x 2 5 20 14 f 108 15 而对比常规设计得到的参数 X x1 x2 x3 T mn z1 T 2 31 14 T 目标函数值 a 133 98mm 优化后 减速 器目标函数值下降了 19 3 可见 优化后的设计在保证 满足约束的条件下尽量减少了尺寸富裕量 极大地节约 了资源 3结束语 通过对实例的计算和对计算结果的分析 证明了应 用 MATLAB 优化工具箱进行减速器的优化设计求解 具 有编程工作量