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双曲线及其标准方程郭晓梅 1 椭圆的定义 2 引入问题 复习 双曲线图象 拉链画双曲线 MF1 MF2 2a 2a F1F2 0 如图 A MF1 MF2 F2F 2a 如图 B 上面两条合起来叫做双曲线 由 可得 MF1 MF2 2a 差的绝对值 MF2 MF1 F1F 2a 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 焦距 1 2a 2c 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 2 2a 0 双曲线定义 思考 1 若2a 2c 则轨迹是什么 2 若2a 2c 则轨迹是什么 说明 3 若2a 0 则轨迹是什么 MF1 MF2 2a 1 两条射线 2 不表示任何轨迹 3 线段F1F2的垂直平分线 求曲线方程的步骤 双曲线的标准方程 1 建系 以F1 F2所在的直线为x轴 线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2 设点 设M x y 则F1 c 0 F2 c 0 3 列式 MF1 MF2 2a 4 化简 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 若建系时 焦点在y轴上呢 看前的系数 哪一个为正 则在哪一个轴上 2 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系 1 如何判断双曲线的焦点在哪个轴上 问题 F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 双曲线与椭圆之间的区别与联系 MF1 MF2 2a MF1 MF2 2a F 0 c F 0 c 变式2答案 课本例2 写出适合下列条件的双曲线的标准方程 练习 1 a 4 b 3 焦点在x轴上 2 焦点为 0 6 0 6 过点 2 5 3 a 4 过点 1 例2 如果方程表示双曲线 求m的取值范围 解 2 使A B两点在x轴上 并且点O与线段AB的中点重合 解 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m 因为 AB 680m 所以爆炸点的轨迹是以A B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上 例3 课本第54页例 已知A B两地相距800m 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 且声速为340m s 求炮弹爆炸点的轨迹方程 如图所示 建立直角坐标系xOy 设爆炸点P的坐标为 x y 则 即2a 680 a 340 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 答 再增设一个观测点C 利用B C 或A C 两处测得的爆炸声的时间差 可以求出另一个双曲线的方程 解这两个方程组成的方程组 就能确定爆炸点的准确位置 这是双曲线的一个重要应用 几何画板演示第2题的轨迹 练习第1题详细答案 本课小结 解 在 A
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