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文档简介

证明 反证 设a1 a2 am线性相关 则其中至少有一向量可由其余向量线性表示 不妨设a1可由a2 am线性表示 即有一组数k2 km 使a1 k2a2 kmam 于是 a1 a1 a1 k2a2 kmam a1 k2a2 a1 kmam k2 a1 a2 km a1 am 0这与 a1 a1 0矛盾 所以a1 a2 am线性无关 定理1正交向量组是线性无关的向量组 下页 2 8向量组的正交化 定理2对于线性无关的向量组a1 a2 am 令 则向量组b1 b2 bm是正交向量组 下页 施密特正交化方法 另外 很明显 向量组a1 a2 am可由向量组b1 b2 bm线性表示 下页 由此可知 若向量组a1 a2 am为AX o的一个基础解系 则向量组b1 b2 bm也为AX o的一个基础解系 向量组b1 b2 bm也可由向量组a1 a2 am线性表示 因为 例1 已知向量组a1 1 1 1 1 T a2 3 3 1 1 T a3 2 0 6 8 T 线性无关 试将它们正交化 标准化 解 1 先利用施密特正交化方法将向量组正交化 即令 b1 a1 1 1 1 1 T 3 3 1 1 T 2 2 2 2 T 1 1 1 1 T 1 1 1 1 T 此时b1 b2 b3为正交组 下页 2 再将正交化后的向量组标准化 即令 此时 1 2 3即为所求标准正交组 说明 求标准正交组的过程为 先正交化 再标准化 下页 作业 P84页20 2 结束 课件部分内容来源于网络
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