IIR低通滤波器设计.doc

武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书1、滤波器简介从广义上讲，任何对某些频率（相对于其他频率来说）进行修正的系统称为滤波器。严格地讲，对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这个处理通常是提取信号中某频率范围内的信号成分，把这种处理的过程称为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器。在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者是在前者的基础上发展起来的。我们知道，无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述，而数字滤波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方法来分析。这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此，数字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预定的要求转换成输出数列。2、低通数字滤波器2.1频谱图 |H(ej)|c-c-22-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf图2.1 低通数字滤波器的频谱2.2、低通数字滤波器的主要技术指标滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益（即通带允许起伏）；最大阻带增益；通带截止频率；阻带截止频率。如图2.2所示 dB0dBdB图2.2 滤波器的主要技术指标3、IIR低通滤波器的设计方法IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式 由于它的脉冲响应序列是无限长的，故称无限冲激响应滤波器。IIR滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要求，设计滤波器的分子和分母多项式。它和FIR滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件下，IIR滤波器的阶数要明显低于FIR滤波器。但IIR滤波器的相位是非线性的。3.1、IIR低通滤波器设计的基本思路1) 利用=T，将数字低通的技术指标转化为模拟低通的技术指标，将换成而RP ,RS不变；2)利用巴特沃斯逼近法，求出模拟滤波器的系统函数Ha(s)；3)利用冲激响应不变法，将模拟滤波器数字化，得到数字滤波器的系统函数H（z）；4)利用MATLAB软件实现所设计的H（z）。3.2、模拟低通滤波器的概述用模拟数字变换法设计IIR数字滤波器，首先必须设计一个模拟滤波器，它有许多不同的类型，本设计中采用的是巴特沃斯滤波器。巴特沃斯（Botterworth简写BW）滤波器。对一个N阶低通滤波器来说，所谓最平坦特性就是模拟函数的前（2N-1）阶导数处都为零。BW滤波器的另一个特性是在通带和阻带内的幅频特性始终是频率的单调下降函数，且其模拟函数随阶次N 的增大而更接近于理想低通滤波器。巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示： 式中，N称为滤波器的阶数。当=0时，|Ha(j)|=1；=c时，c是3dB截止频率。在=c附近，随加大，幅度迅速下降。 幅度特性与和N的关系如图3.1所示。幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快,总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。 图3.1 巴特沃斯滤波器幅度特性及其与N的关系 以s替换j，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： (1) (2) (3)式(3)中，k=0，1，2，2N-1。S平面的极点位置如图3.2所示图3.2 巴特沃斯滤波器在S平面的极点位置3.3、通过模拟滤波器设计IIR数字滤波器3.3.1、S域到Z域的映射IIR数字滤波器在Z域中的传递函数为一有理分式，即而模拟滤波器在S域中的传递函数为可见H(z)与H(s)具有相同的形式，利用线性映射的方法，可以把S平面上的模拟滤波器映照成Z平面上的IIR数字滤波器。按技术要求设计一个模拟滤波器然后按一定的映照关系将成数字滤波器的要求，必须对由复变量S到复变量Z直接的映照提出如下要求：1）因果温度的模拟滤波器转换成数字滤波器后仍是因果温度的，因此，映射应使S平面的左半平映射为Z平面的单位圆内部。2）数字滤波器的幅频特性应与模拟滤波器的幅频特性一致，故S平面的虚轴性映射到Z平面的单位圆，即频率轴要对应。下图表明了上述映照关系图3.3 s域到z域的映射模拟滤波器到数字滤波器的转换可以在时域实现，也可以在频域实现。时域转换法是使数字滤波器的时域响应与模拟滤波器的时域采样值相等，具体方法有：冲激不变法、阶跃不变法和匹配Z变换法。在本设计过程中采用的是冲激响应不变法。4、IIR低通滤波器设计 基于模拟滤波器变换原理，首先是根据滤波器的技术指标设计出相应的模拟滤波器，然后再将设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数字滤波器。在MATLAB中，经典法设计IIR数字滤波器采用下面的主要步骤： 模拟低通滤波原型频率变换模拟离散化IIR滤波器由上可见，此法是利用模拟滤波器的设计成果。第二步完成后，一个达到期望性能指标的模拟滤波器已经设计出来。第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数映射成数字滤波器的系统函数。数字滤波器的设计工作就全部完成。实现系统传递函数s域至z域映射有冲激响应不变法和双线性映射两种方法。4.1、冲激响应不变法将传输函数从s平面传换到z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。我们先研究脉冲响应不变法。设模拟滤波器的传输函数为，相应的单位冲激响应是，=LTLT.代表拉氏变换，对进行等间隔采样，采样间隔为T，得到，将h(n)= 作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于。设模拟滤波器只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将用部分分式表示： （4）式中为的单阶极点。将逆拉氏变换得到： （5）式中u(t)是单位阶跃函数。对进行等间隔采样，采样间隔为T,得到： （6） 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： (7) 对比（4）、（7）式，的极点映射到z平面，其极点变成，系数不变化。此结果表明，Z平面极点zk与S平面极点sk具有关系，由于Re(sk)0，故有极点zk位于单位圆内，故而冲激响应不变法能够保证H(z)是稳定的。4.2、双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T之间，再用转换到z平面上。设Ha（s），s=j，经过非线性频率压缩后用Ha（s1），=j1表示，这里用正切变换实现频率压缩： （8）式中T仍是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有 （9）再通过 转换到z平面上，得到： （10）式（10）称为双线性变换。从s平面映射到平面，再从平面映射到z平面，其映射情况如图4.1所示。由于从s平面到平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象。另外，从平面转换到z平面仍然采用标准转换关系 ，平面的 /T之间水平带的左半部分映射z平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。这样Ha（s）因果稳定，转换成的H（z）也是因果稳定的。下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。令 ，并代入（10）式中，有 （11） ImRez平面js平面j11s1平面/T-/T图4.1 双线性变换法的映射关系 上式说明，s平面上与平面上的成非线性正切关系，如图4.2所示。在=0附近接近线性关系；当增加是，增加得愈来愈快；当趋近时，趋近于。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。 -0图4.2 双线性变换法的频率变换与之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响。这种非线性影响的实质问题是：如果的刻度是均匀的，则影射到z平面的刻度不是均匀的，而是随增加愈来愈密。双线性变换法可由简单的代数公式（10）将Ha（s）直接转换成H（z），这是该变换法的优点。但当阶数稍高时，将H（z）整理成需要的形式，也不是一件简单的工作。5、IIR数字滤波器的Matlab仿真 IIR数字滤波器经典设计法的一般步骤是：（1）根据给定的性能指标和方法不同，首先对设计性能指标中的频率指标进行转换，转换后的频率指标作为模拟滤波器原型设计性能指标。（2）估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具函数buttord、cheb1ord等。（3）设计模拟低通滤波器原型，利用MATLAB工具函数buttap、cheb1ap等。（4）由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻），利用MATLAB工具函数lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。（5）将模拟滤波器离散化获得IIR数字滤波器，利用MATLAB工具函数bilinear。设计IIR滤波器时，给出的性能指标通常分为数字指标和模拟指标两种。数字性能指标给出通带截止频率，阻带截止频率，通带衰减，阻带衰减等。数字频率和的取值范围为0，单位：弧度，而MATLAB工具函数常采用标准化频率，和的取值范围为01。模拟性能指标给出通带截止频率，阻带起始频率，通带衰减，阻带衰减等。模拟频率和的单位均为弧度/秒。下面是一个利用双线性变换设计的Butterworth低通滤波器的示例：技术指标：通带截止频率=2，阻带截止频率，通带衰减小于3dB，阻带衰减大于15dB,采样频率。仿真结果见图5.1Wp= 200*2*pi; Ws=400*2*pi; Rp=3; Rs=15; Fs=1000; Ts=1/Fs; Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); z,p,k=buttap(N); Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wn); bz,az=bilinear(b,a,Fs) freqz(bz,az,Nn,Fs) 仿真结果：N=3 Wn=1.4209e+003 bz= 0.0946 0.2839 0.2839 0.0946 az= 1.0000 -0.6164 0.4343 -0.0607 图5.1 仿真结果心得体会通过此次课程设计，使我更加扎实的掌握了有关数字信号处理方面的知识，在设计过程中虽然遇到了一些问题，但经过一次又一次的思考，一遍又一遍的检查终于找出了原因所在，也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足。实践出真知，通过亲自动手，使我们掌握的知识不再是纸上谈兵。通过这次课程设计，本人在多方面都有所提高。综合运用本专业所学课程的理论和软件知识进行仿真设计工作，培养和提高了我们的独立工作能力，巩固与扩充了数字信号处理所学的内容，掌握IIR低通滤波器设计的方法和步骤，提高了设计能力，同时各科相关的知识都有了全面的复习，独立思考的能力也有了提高。回顾起此课程设计，至今我仍感慨颇多，从理论到实践，在这段日子里，可以说得是苦多于甜，但是可以学到很多很多的东西，同时不仅可以巩固了以前所学过的知识，而且学到了很多在书本上所没有学到过的知识。通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只