高三数学第一轮复习讲义13指数与对数方程.docx

2018届高三第一轮复习讲义【13】-指数与对数方程一、知识梳理：1、指数方程和对数方程定义：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。2、指数方程的主要类型：（1）；（2）；（3）；（4），令转化为后再求解；（5）可转化为：，再用换元法求解;3、对数方程的主要类型：（1）；（2）；（3），令，转化为：，再求解。4、值得注意的几个问题：（1）注意解指数方程和对数方程过程中换元法和等价转化思想的运用；（2）在解方程的过程中变形的每一步都要是同解变形，否则会失根或产生增根，要注意检验；（3）要能利用计算器、函数的图像和二分法来探索、求解一些指、对方程的近似解。二、基础检测：1. 方程的解为_.2. 方程的解为_.3. 方程的解是_.4. 函数的零点是_.5. 方程的解集是_.6. 若函数在区间上有唯一的零点, 则实数m的取值范围是_.三、例题精讲：【例1】解下列方程：（1） （2） （3）（4） （5）解：（1） （2）两边取对数得，即， 解得或， 所以原方程的解为或 （3）由原方程得： 经检验，只有符合，所以原方程的解为 （4）原方程可转化为 经检验，只有符合，所以原方程的解为 （5）两边取对数， 解方程得 或，经检验都是方程的根【例2】解下列方程：（1） （2）（3）（4）解：（1）原方程可化为，可化为， 所以或（舍），即， 所以原方程的解为 （2）因为，故原方程可化为，两边取常用对数，得（即），于是有，经检验，二者都是原方程的根 （3）原方程可化为，解得或， 所以，或， 经检验，或都是原方程的解（4）原方程化为解得【例3】解下列方程： （1） （2） （3）解：（1） 当时，; 当时,；若则()且关于的一元二次方程至少有一个正根，而两根之积为，故两根之和为正数，即，故()时,，故()时,为原方程之根（2） 化原方程为： ，故由得：即 ()（3）先求使方程有意义的未知数和参数的取值范围，由，得在此条件下，原方程化为 当，即时，方程无实根，则原方程无实根； 当，即时，方程有两个相等的实数根，经检验是原方程的实数根； 当，即时，方程有两个不等的实数根，由韦达定理，得，故原方程有两个实数根，（）【例4】已知关于的方程（1）当时，解此方程；（2）若方程在区间上有唯一的实数解，求m的取值范围解：（1），则原方程为 即 令 ，则有 解得 （舍）或 则 ，解得 （2）【例5】当为何值时，方程无解？有一解？有两解？解：当时，直线y=k与函数无交点，所以方程无解； 当或时，直线与函数有一个交点，所以方程有一解； 当时，直线与函数有两个交点，所以方程有两解；【例6】若关于的方程有实数解，求实数的取值范围解：【例7】用二分法求方程在上的近似解(精确到0.1).解: 设, , , 所以在上必有一解,根据二分法, 进行计算, 可得在上必有一解,区间上任意数取四舍五入至后均为, 因此取为近似解.【例8】若关于x的方程有两解, 则实数a的取值范围是_.解: 即考虑在上解的情况,如图所示, 即考虑曲线与直线在上的交个数点,当直线的斜率或者时,两者图像有唯一交点, 即方程有唯一解;当直线的斜率时,两者图像有两个交点, 即方程有两解;当时,两者图像无交点, 即方程无解;综上所述, .【例9】已知关于的方程在上有解，求实数的取值范围。解：方法一：令，由，则，则原方程化为在上有解。（1）当时，方程不成立；（2）当时，则。令，此二次函数的对称轴方程为，方程在上有解，则，解得。方法二：令，由，则，则原方程化为在上有解。（1）当时，方程不成立；（2）当时，则在上有解。即。在同一坐标系中作出与的图像，可知方程解的个数等价于两函数图像交点个数。所以，即，所以。说明：方法二比方法一更直观，此方法还可以得出的取值与方程解的个数的关系。当或时，方程无解；当或时，方程有一解；当时方程有两解。方法三：原方程化为，因为恒成立，则，令，当时。则，。因时，所以。【例10】设，解关于的方程。解：原方程等价于，因为时，恒成立，所以恒成立，即原方程等价于。作函数在上的图像，由图像可以看出：（1）当时，方程有一解，且此解小于，所以；（2）当时，方程有两解；（3）当时，方程有一解。综上知：或时，方程解为；当时，方程解为。四、难题突破：例1：已知，当点在的图像上运动时，点在函数的图像上运动（）（1）求的表达式；（2）若方程有实根，求实数的取值范围；（3）设，函数（）的值域为，求实数，的值五、课堂练习：1方程的解集是_2解方程：3解方程：4关于的方程的根为正数，则取值范围是_5关于的方程有一个根为2，求实数的取值及方程的其余的根6关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； 若方程在区间上只有一个解呢？7方程的解集是_8方程实数解的个数是_9若是方程的两根，则_10解方程：11作为对数运算法则：（）是不正确的但对一些特殊值是成立的，例如：那么，对于所有使（）成立的应满足函数表达式为_12关于的方程的解分别为，根据指数函数和对数函数的图象，_ 13当实数取何值时，方程有一个实数解，两个实数解或没有实数解？14已知关于的方程（1）当时，解该方程；（2）讨论取何值时该方程有解，并求出它的解？六、回顾总结：（1）指、对数方程的基本要求：1. 理解指数方程和对数方程的概念，会求指数方程和对数方程近似解的常用方法，如图像法、逼近法，或使用计算器等。2. 会解简单的指数方程和对数方程。在利用函数的性质求解指数方程、对数方程以及求方程近似解的过程中，体会函数与方程之间的内在联系。（2）对数方程的常见类型与解法： 同底法：； 换元法：，设，转化为解； 互化法：。注：对数方程须检验，含字母的对数方程化为与之等价的混合组。七、课后练习：1. 方程的解集用列举法可表示为_.2. 函数的零点为_.3. 方程的解为_.4. 若方程的两个解为, 则_.5. 关于x的方程有实数解, 则实数k的取值范围是_.6. 已知函数, 其中a为常数且, 若关于x的方程恰有三个不同的实数解, 则实数b的取值范围是_.7. 方程的实数解的个数是答 A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8. 解方程: .9. 解方程: .10. 利用二分法, 求方程的近似解(精确到0.1)11. 过圆的圆心, 作直线分别交x, y轴正半轴于点A, B, 被圆分成四部分(如图), 若这四部分的面积满足, 则这样的直线AB有答 A. 0条B. 1条C. 2条D. 3