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文档简介

注 1 两个复数相等 是指二者实部 虚部分别相同 2 两个复数之间无法比较大小 除非都是实数 1 1复数 1 复数的概念 其中 实部 虚部 共轭 其中x y为实数 一 复数及其四则运算 1 例1 解 令 实数m取何值时 复数 是 1 实数 2 纯虚数 1 如果复数是实数 则y 0 2 加 减 乘法 注 2 复数的四则运算 除法 3 容易证明 复数的运算满足分配律 交换律 结合律 另外 还经常用到以下性质 以上各式证明略 4 例1设 证 例2 5 例3 解 6 7 有序实数对 x y 平面上一点P 实轴 虚轴 复平面 Z平面 w平面 1 复平面 二 复数的几种常见表示法 代数表示 复数 8 2 复数的向量表示 模 辐角 几何表示 9 显然 为整数 10 11 根据 上式称为复数的三角表示 可以得到 例2求的三角表达式 例1 3 复数的三角表示 12 4 复数的指数表示 由欧拉公式 可以得到复数的指数表示式 求例2中的指数表达式 13 1 南极 北极的定义 x y O N S z 5 复数的球面表示 14 x x O N S z P z z 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 2 复球面的定义 用来表示复数的这个球面称为复球面 全体复数与复球面 N 成一一对应关系 15 因而球面上的北极N就是复数 的几何表示 x x O N S z P z z 3 扩充复平面的定义 我们规定 北极N与一个模为无穷大的假想的点对应 这个假想的点称为 复数无穷远点 记作 复平面加上 后称为扩充复平面 记作C 16 注 1 如不声明 我们讨论的都是有限复平面 关于 的运算 规定如下 仍然不确定 17 例3 下列方程各表示什么曲线 3 写出直线的复数形式方程 1 解 1 的关键是知道复数模的几何意义 所以 1 表示圆周 2 2 复数的各种表达式可以互相转换 在讨论具体问题时应灵活选用 18 2 化为实方程 为此代入 得 化简 得 表示一条直线 3 由 得 代入直线方程 因而直线的方程为 其中为实数 19 例4 解 三角式 指数式 把复数 化为三角表示式与指数表示式 并求z的辐角主值 20 例5 证 21 两边同时平方 22 小结 学习的主要内容有复数的四则运算 共轭运算和模 辐角 复数的各种表示法 并且介绍了复平面 复球面和扩充复平面 注意 为了用球面上的点来表示复数 引入了无穷远点 无穷远点与无穷大这个复数相对应 所谓无穷大是指模为正无穷大 辐角无意义 的唯一的一个复数 不要与实数中的无穷大或正 负无穷大混为一谈 23 作业 P251 1 1 b 1 1 31
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