浙江省温州市十五校高二数学下学期期末试卷（含解析）.doc

2016-2017学年浙江省温州市十五校高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 a=x|ex1，b=x|ln x0，则 ab=（）a（，1b（0，1c1，ed（0，e2在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3已知焦点在 x 轴上的椭圆+=1的离心率为，则 m=（）a6bc4d24某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）abcd55已知（1+ax）6=1+12x+bx2+a6x6，则实数 b 的值为（）a15b20c40d606已知直线 l1：mx+（ m+1）y+2=0，l 2：（ m+1）x+（ m+4）y3=0，则“m=2”是“l1l2”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7已知 an是等差数列，其公差为非零常数 d，前 n 项和为 sn设数列的前 n 项和为 tn，当且仅当 n=6 时，tn有最大值，则的取值范围是（）a（，）b（3，+）c（3，）d（3，+）（，+）8x，y 满足约束条件，若 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（）a或1b2 或c2 或1d2 或19已知函数 f（x）=asinxbcosx（a，b为常数，a0，xr）在x=处取得最小值，则函数g（x）=f（x）是（）a偶函数且它的图象关于点 （，0）对称b奇函数且它的图象关于点 （，0）对称c奇函数且它的图象关于点（，0）对称d偶函数且它的图象关于点（，0）对称10已知a，b，c（0，+） 且 abc，a+b+c=12，ab+bc+ca=45，则a的最小值为（）a5b10c15d20二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且b2+ac=a2+c2，则b 的大小为 12过点 m （0，1）且斜率为 1 的直线 l 与双曲线 c： =1（ a0，b0）的两渐近线交于点 a，b，且=2，则直线 l 的方程为 ；如果双曲线的焦距为 2，则 b 的值为 13王先生家住 a 小区，他工作在 b 科技园区，从家开车到公司上班路上有 l1，l2 两条路线（如图），l1 路线上有 a1，a2，a3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；l2 路线上有 b1，b2 两个路各路口遇到红灯的概率依次为，若走 l1 路线，王先生最多遇到 1 次红灯的概率为 ；若走 l2 路线，王先生遇到红灯次数 x 的数学期望为 14用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是 （用数字作答）15已知坐标平面上的凸四边形 abcd 满足=（1，），=（，1），则凸四边形abcd的面积为 ； 的取值范围是 16函数f（x）=的对称中心为 ，如果函数g（x）=（ x1）的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围是 17在正四面体pabc中，点m是棱pc的中点，点n是线段ab上一动点，且，设异面直线 nm 与 ac 所成角为，当时，则cos的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18已知函数 f（x）=2sin2x+2sinxcosx1（0）的周期为（）求的值；（）求函数f（x）在，上的值域19已知菱形 abcd 中，对角线 ac 与 bd 相交于一点 o，a=60，将bdc 沿着 bd 折起得bdc，连结 ac（）求证：平面 aoc平面 abd；（）若点 c在平面 abd 上的投影恰好是abd 的重心，求直线 cd 与底面 adc所成角的正弦值20已知函数 f（x）=xln x2（）求函数 f （ x） 的最小值；（）如果不等式 x ln x+（1k）x+k0（kz）在区间（1，+）上恒成立，求k的最大值21如图：已知抛物线 c1：y2=2px （p0），直线 l 与抛物线 c 相交于 a、b 两点，且当倾斜角为 60的直线 l 经过抛物线 c1 的焦点 f 时，有|ab|=（）求抛物线 c 的方程；（）已知圆 c2：（x1）2+y2=，是否存在倾斜角不为 90的直线 l，使得线段 ab 被圆 c2 截成三等分？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由22已知数列an，bn满足a1=2，b1=4，且 2bn=an+an +1，an+12=bnbn+1（）求 a 2，a3，a4 及b2，b3，b4；（）猜想an，bn 的通项公式，并证明你的结论；（）证明：对所有的 nn*， sin2016-2017学年浙江省温州市十五校联合体高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 a=x|ex1，b=x|ln x0，则 ab=（）a（，1b（0，1c1，ed（0，e【考点】1d：并集及其运算【分析】先分别求出集合a，b，由此利用并集定义能求出ab【解答】解：集合a=x|ex1=x|x0，b=x|ln x0=x|0x1，ab=x|x1=（，1故选：a2在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】a5：复数代数形式的乘除运算；a4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的点的坐标得答案【解答】解： =复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限故选：b3已知焦点在 x 轴上的椭圆+=1的离心率为，则 m=（）a6bc4d2【考点】k4：椭圆的简单性质【分析】通过椭圆方程，利用椭圆的离心率列出方程求解m即可【解答】解：焦点在 x 轴上的椭圆+=1，可得a=，c=，椭圆的离心率为，可得： =，解得m=4故选：c4某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）abcd5【考点】l!：由三视图求面积、体积【分析】根据三视图判断几何体是正方体削去一个三棱锥，截面三角形为等边三角形，根据正方体的边长计算截面三角形的边长，求出截面的面积，再求几何体的其他各面的面积，然后相加【解答】解：由三视图知几何体是边长为2的正方体削去一个三棱锥，其直观图如图：截面三角形为等边三角形，边长为，截面的面积为，几何体的表面积s=311+=故选：c5已知（1+ax）6=1+12x+bx2+a6x6，则实数 b 的值为（）a15b20c40d60【考点】db：二项式系数的性质【分析】先求出通项公式，再求出a的值，即可求出b的值【解答】解：其展开式的通项为tr+1=c6rarxr，则x的系数为c61a1=12，解得a=2，则b=c6222=60，故选：d6已知直线 l1：mx+（ m+1）y+2=0，l 2：（ m+1）x+（ m+4）y3=0，则“m=2”是“l1l2”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】2l：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据直线的垂直关系求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：若“l1l2”，则m（m+1）+（m+1）（m+4）=0，解得：m=1，或m=2故“m=2”是“l1l2”的充分不必要条件，故选：a7已知 an是等差数列，其公差为非零常数 d，前 n 项和为 sn设数列的前 n 项和为 tn，当且仅当 n=6 时，tn有最大值，则的取值范围是（）a（，）b（3，+）c（3，）d（3，+）（，+）【考点】8e：数列的求和；82：数列的函数特性【分析】由等差数列前n项和公式得=，由数列的前 n 项和为 tn，当且仅当 n=6 时，tn有最大值，列出不等式组，能求出的取值范围【解答】解：an是等差数列，其公差为非零常数 d，前 n 项和为 sn=，数列的前 n 项和为 tn，当且仅当 n=6 时，tn有最大值，解得3故选：c8x，y 满足约束条件，若 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（）a或1b2 或c2 或1d2 或1【考点】7c：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在a处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2xy+2=0平行，此时a=2，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y2=0，平行，此时a=1，综上a=1或a=2，故选：d9已知函数 f（x）=asinxbcosx（a，b为常数，a0，xr）在x=处取得最小值，则函数g（x）=f（x）是（）a偶函数且它的图象关于点 （，0）对称b奇函数且它的图象关于点 （，0）对称c奇函数且它的图象关于点（，0）对称d偶函数且它的图象关于点（，0）对称【考点】hw：三角函数的最值；h5：正弦函数的单调性【分析】根据题意可得g（x）=f（x）=f（x），故g（x）可以看成把f（x）的图象向右平移个单位得到的，再根据对称轴和对称中心最少相差t，得出结论【解答】解：函数 f（x）=asinxbcosx （a，b为常数，a0，xr）在x=处取得最小值，最小正周期为2，则f（x）=f（x），则函数g（x）=f（x）=f（x）故g（x）可以看成把f（x）的图象向右平移个单位得到的，即x=是g（x）的图象的一个对称轴由于g（）=f（）对应g（x）的最小值，而对称轴和对称中心最少相差t=，故（0，0）和（，0）是g（x）的对称中心，故选：b10已知a，b，c（0，+） 且 abc，a+b+c=12，ab+bc+ca=45，则a的最小值为（）a5b10c15d20【考点】7g：基本不等式在最值问题中的应用【分析】由abc，a+b+c=12可得a4，利用（ab）（ac）0得出bc12a2a2，故而45bc+a（12a）=3a2+24a，从而解出a的范围【解答】解：a+b+c=12，b+c=12a，abc，a4，（ab）（ac）0，即a2a（12a）+bc0，即bca（12a）a2=12a2a2，ab+bc+ca=bc+a（12a）12a2a2+a（12a）=3a2+24a，即453a2+24a，解得a5或a3（舍），当且仅当a=5，b=5，c=2时取等号故选a二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且b2+ac=a2+c2，则b 的大小为【考点】hr：余弦定理【分析】由已知及余弦定理可得cosb=，结合范围b（0，），由特殊角的三角函数值可求b的值【解答】解：b2+ac=a2+c2，由余弦定理可得：cosb=，又b（0，），b=故答案为：12过点 m （0，1）且斜率为 1 的直线 l 与双曲线 c： =1（ a0，b0）的两渐近线交于点 a，b，且=2，则直线 l 的方程为y=x+1；如果双曲线的焦距为 2，则 b 的值为1【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】运用斜截式方程可得直线l的方程，设a（x1，y1）b（x2，y2），由=2，可得点a、b的横坐标之间的关系； 再联立直线l的方程与双曲线渐近线方程，解方程可得x1，x2，化简整理可得a=3b，再由a，b，c关系，解方程可得b的值【解答】解：设a（x1，y1）b（x2，y2），由=2，得x2=2x1，由题得：直线方程为y=x+1，=1的渐近线方程为y=x，联立直线l方程和渐近线方程，解得x1=，x2=，即有=，化为a=3b，由双曲线的焦距为 2，可得a2+b2=c2=10，即有10b2=10，解得b=1故答案为：y=x+1，113王先生家住 a 小区，他工作在 b 科技园区，从家开车到公司上班路上有 l1，l2 两条路线（如图），l1 路线上有 a1，a2，a3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；l2 路线上有 b1，b2 两个路各路口遇到红灯的概率依次为，若走 l1 路线，王先生最多遇到 1 次红灯的概率为；若走 l2 路线，王先生遇到红灯次数 x 的数学期望为【考点】ch：离散型随机变量的期望与方差【分析】利用n次独立试验中事件a恰好发生k次的概率计算公式和互斥事件概率计算公式能求出走l1路线最多遇到1次红灯的概率；依题意x的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出走 l2 路线，王先生遇到红灯次数 x 的数学期望【解答】解：走l1路线最多遇到1次红灯的概率为=，依题意x的可能取值为0，1，2，则由题意p（x=0）=（1）（1）=，p（x=1）=，p（x=2）=，ex=故答案为：，14用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是24（用数字作答）【考点】d8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分3步进行分析：、将2、5看成一个整体，考虑其顺序，、将这个整体与4全排列，分析可得排好后有3个空位，、在3个空位中任选2个，安排1、3，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分3步进行分析：、将2、5看成一个整体，考虑其顺序，有a22=2种情况，、将这个整体与4全排列，有a22=2种排法，排好后有3个空位，、在3个空位中任选2个，安排1、3，有a32=6种情况，则符合条件的五位数有226=24个；故答案为：2415已知坐标平面上的凸四边形 abcd 满足=（1，），=（，1），则凸四边形abcd的面积为2； 的取值范围是2，0）【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】根据向量的模的计算和向量的坐标运算得到四边形abcd为对角线垂直且相等的四边形，问题得以解决【解答】解：凸四边形 abcd 满足=（1，），=（，1），=0，且ac|=2，bd=2，ac=bd，acbd，凸四边形abcd的面积为=2；设ac与bd交点为o，oc=x，od=y，则ao=2x，bo=2y； =（）（）=x（x2）+y（y2）=（x1）2+（y1）22，（0x，y2）；当x=y=1时， =2为最小值，当x0或1，y0或1时， 接近最大值0，的取值范围是2，0）故答案为：2；2，0）16函数f（x）=的对称中心为（1，1），如果函数g（x）=（ x1）的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围是（，0）【考点】3m：奇偶函数图象的对称性【分析】把函数f（x）的解析式化为1，可得它的图象 的对称中心；分析题意可得故h（x）=x2ax+2a 在区间（1，0）、（ 0，+）上各有一个零点，故有h（1）=3a+10，且 h（0）=2a0，由此求得a的范围【解答】解：函数f（x）=1的对称中心为 （1，1），函数g（x）=（x2ax+2a） （ x1）的图象经过四个象限，当x0时，0，当1x0时，0，故h（x）=x2ax+2a 在区间（1，0）、（ 0，+）上各有一个零点，故有h（1）=3a+10，且 h（0）=2a0，求得a0，即实数 a 的取值范围是（，0），故答案为：（1，1）、（，0）17在正四面体pabc中，点m是棱pc的中点，点n是线段ab上一动点，且，设异面直线 nm 与 ac 所成角为，当时，则cos的取值范围是，【考点】lm：异面直线及其所成的角【分析】设p到平面abc的射影为点o，取bc中点d，以o为原点，在平面abc中，以过o作db的平行线为x轴，以od为y轴，以op为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cos的取值范围【解答】解：设p到平面abc的射影为点o，取bc中点d，以o为原点，在平面abc中，以过o作db的平行线为x轴，以od为y轴，以op为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正四面体pabc的棱长为4，则a（0，4，0），b（2，2，0），c（2，2，2），p（0，0，4），m（，1，2），由，得n（），=（，56，2），=（2，6，0），异面直线 nm 与 ac 所成角为，cos=，设32=t，则，cos=，cos的取值范围是，故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18已知函数 f（x）=2sin2x+2sinxcosx1（0）的周期为（）求的值；（）求函数f（x）在，上的值域【考点】h1：三角函数的周期性及其求法；hw：三角函数的最值【分析】（）利用查三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得的值（）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在，上的值域【解答】解：（）函数 f（x）=2sin2x+2sinxcosx1=sin2xcos2x=sin（2x）（0），故该函数的周期为=，=1，f（x）=sin（2x）（）在，上，2x，sin=sin（）=sincoscossin=，sin（2x），f（x），119已知菱形 abcd 中，对角线 ac 与 bd 相交于一点 o，a=60，将bdc 沿着 bd 折起得bdc，连结 ac（）求证：平面 aoc平面 abd；（）若点 c在平面 abd 上的投影恰好是abd 的重心，求直线 cd 与底面 adc所成角的正弦值【考点】mi：直线与平面所成的角；ly：平面与平面垂直的判定【分析】（）只需证明codb，aobd，coao=o，bd面 aoc，即可得平面 aoc平面 abd（）如图建立空间直角坐标系oxyz，令ab=a，则a（，0，0）b（0，0），d（0，0），c（），利用向量法求解【解答】解：（）codb，aobd，coao=o，bd面 aoc，又bd平面 abd，平面 aoc平面 abd（）如图建立空间直角坐标系oxyz，令ab=a，则a（，0，0）b（0，0），d（0，0），c（），设面adc的法向量为，由可取直线 cd 与底面 adc所成角的正弦值为：20已知函数 f（x）=xln x2（）求函数 f （ x） 的最小值；（）如果不等式 x ln x+（1k）x+k0（kz）在区间（1，+）上恒成立，求k的最大值【考点】6k：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（i）x（0，+），f（x）=1=，利用导数研究其单调性即可得出当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值（ii）不等式 x ln x+（1k）x+k0（kz）在区间（1，+）上恒成立k（x1）令g（x）=（x1）利用导数研究其单调性极值即可得出【解答】解：（i）x（0，+），f（x）=1=，当x（0，1）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）单调递增当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=102=1（ii）不等式 x ln x+（1k）x+k0（kz）在区间（1，+）上恒成立k（x1）令g（x）=（x1）g（x）=，由于x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）单调递增f（1）=10，函数f（x）只有一个零点x0，x0lnx02=0又f（3）=1ln30，f（4）=2ln40，x0（3，4）当x（1，x0）时，f（x0）0，g（x）0，函数g（x）单调递减；当x（x0，+）时，f（x0）0，g（x）0，函数g（x）单调递增g（x）min=g（x0）=x0（3，4），kmax=321如图：已知抛物线 c1：y2=2px （p0），直线 l 与抛物线 c 相交于 a、b 两点，且当倾斜角为 60的直线 l 经过抛物线 c1 的焦点 f 时，有|ab|=（）求抛物线 c 的方程；（）已知圆 c2：（x1）2+y2=，是否存在倾斜角不为 90的直线 l，使得线段 ab 被圆 c2 截成三等分？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由【考点】kn：直线与抛物线的位置关系；k8：抛物线的简单性质【分析】（i）联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的性质列方程解出p；（ii）设直线l方程为x=my+b，与抛物线方程联立，求出ab的中点坐标，利用垂径定理列方程得出m，b的关系，利用弦长公式计算|ab|，|cd|，根据|ab|=3|cd|列方程求出m得出直线l的方程【解答】解：（i）当直线l的倾斜角为60时，直线