浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八级数学下册《期末复习五 特殊平行四边形》同步练习 （新版）浙教版.docVIP

期末复习五 特殊平行四边形复习目标要求知识与方法了解矩形、菱形、正方形的概念理解矩形、菱形、正方形的判定与性质运用用矩形、菱形、正方形的判定与性质解决简单几何问题必备知识与防范点一、必备知识：1 已知：线段ab，bc，abc=90 求作：矩形abcd以下是甲、乙两同学的作业：甲：以点c为圆心，ab长为半径画弧；以点a为圆心，bc长为半径画弧；两弧在bc上方交于点d，连结ad，cd，四边形abcd即为所求（如图1）乙：连结ac，作线段ac的垂直平分线，交ac于点m；连结bm并延长，在延长线上取一点d，使md=mb，连结ad，cd，四边形abcd即为所求（如图2）对于两人的作业，下列说法正确的是（ ） a 甲正确，乙错误 b 乙正确，甲错误 c 甲、乙均正确 d 甲、乙均错误2. 如图，菱形abcd的边长是2cm，e是ab中点，且deab，则菱形abcd的面积为 cm2.3 如图，在四边形abcd中，对角线acbd，垂足为o，点e，f，g，h分别为边ad，ab，bc，cd的中点若ac8，bd6，则四边形efgh 的面积为 4 如图，把矩形abcd沿ef翻折，点b恰好落在ad边的b处，若ae2，de6，efb60，则矩形abcd的面积是 .二、防范点：1 矩形、菱形、正方形的判定书写要规范；2 矩形、菱形、正方形的性质可从边、角、对角线、整体四个角度去考虑.例题精析考点一 菱形的性质例1 如图，在菱形abcd中，ab=bd，点e、f分别在bc、cd上，且be=cf，连结bf、de交于点m，延长ed到h使dh=bm，连结am，ah，则以下四个结论：bdfdce；bmd=120；amh是等边三角形；s四边形abmd=am2 其中正确结论的个数是（ ）a. 1个 b. 2个c. 3个 d. 4个反思：由已知bmdh联想bmadha，而全等的关键是证abmadhbed.考点二 菱形的判定例2 已知，一张矩形纸片abcd的边长分别为9cm和3cm，把顶点a和c叠合在一起，得折痕ef（如图）：（1）求证：四边形aecf是菱形；（2）求折痕ef的长.反思：熟练掌握菱形的性质及判定，能够利用菱形的性质求解一些简单的计算问题.考点三 矩形、菱形、正方形综合例3 如图，在矩形abcd中，ad6，dc10，菱形efgh的三个顶点e，g，h分别在矩形abcd的边ab，cd，da上，ah2，连结cf，bf.（1）若dg2，求证：四边形efgh为正方形；（2）若aex，求ebf的面积s关于x的函数表达式，并判断是否存在x，使ebf的面积是cgf面积的2倍. 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）求gcf面积的最小值.反思：（1）证第（1）小题图形不准，要抓住gdhhae（hl），证明ghe90；（2）解第（2）小题的关键是构造fnghae，femhgd；（3）求gcf面积的最小值要抓住gc边上的高不变，gc最小只要dg最大，dh4，ghhe最大，点e与点b重合时，gcf的面积取最小.考点四 特殊平行四边形拓展探究例4 如图1，四边形abcd是正方形，m是bc边上的一点，e是cd边的中点，ae平分dam.【探究展示】（1）证明：amadmc；（2）amdebm是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）若四边形abcd是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.反思：（1）常规辅助线：“中点平行”构造全等，角平分线构造全等；（2）证“一条线段两线段和”类型常用截长补短法；（3）第（1）小题也可过e作eham于h，再证hmcm得证.校内练习1 如图所示，点b，c分别在两条直线y=2x和y=kx上，点a，d是x轴上两点，已知四边形abcd是正方形，则k的值为 .2 如图，在菱形abcd中，e，f分别是边ab和bc的中点，epcd于点p，设ax，则fpc的度数为（ ） a b c d 3 已知：如图，abc中，abac，adbc，且adbc4，若将此三角形沿ad剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有不同形状的四边形吗？写出所拼四边形对角线的长（不要求写计算过程，只须写出结果）4 如图1，在正方形abcd中，p是对角线ac上的一点，点e在bc的延长线上，且pe=pb（1）求证：bcpdcp；（2）求证：dpe=abc；（3）把正方形abcd改为菱形，其他条件不变（如图2），若abc=58，则dpe= 度5 如图，在正方形abcd中，de与hg相交于点o.（1）如图1所示，若god90，求证：degh；连结eh，求证：gdehde；（2）如图2所示，若god45，ab4，hg2，求de的长.参考答案期末复习五 特殊平行四边形【必备知识与防范点】1. c2. 23. 124. 16【例题精析】例1 在菱形abcd中，ab=bd，ab=bd=ad，abd是等边三角形，根据菱形的性质可得bdf=c=60，be=cf，bc-be=cd-cf，即ce=df，在bdf和dce中，df=ce，bdf=c=60，bd=cd，bdfdce（sas），故小题正确；dbf=edc，dmf=dbf+bde=edc+bde=bdc=60，bmd=180-dmf=180-60=120，故小题正确；deb=edc+c=edc+60，abm=abd+dbf=dbf+60，deb=abm，又adbc，adh=deb，adh=abm，在abm和adh中，ab=ad，abm=adh，bm=dh，abmadh（sas），ah=am，bam=dah，mah=mad+dah=mad+bam=bad=60，amh是等边三角形，故小题正确；abmadh，amh的面积等于四边形abmd的面积，又amh的面积=amam=am2，s四边形abmd=am2，故小题正确，综上所述，正确的是共4个. 故选d.例2 （1）四边形abcd为矩形，abcd，afe=cef. 矩形abcd沿ef折叠，点a和c重合，cef=aef，ae=ce，afe=aef，ae=af. af=ce，又afce，四边形aecf为平行四边形，ae=ec，即四边形aecf的四边相等. 四边形aecf为菱形.（2）ab=9cm，bc=3cm，ac=3cm，af=cf，在rtbcf中，设bf=xcm，则cf=（9-x）cm，由勾股定理可得（9-x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，则cf=5，bf=4，由面积可得：acef=afbc，即3ef=53，ef=cm.例3 （1）在hdg和aeh中，四边形abcd是矩形，d=a=90，四边形efgh是菱形，hg=he，在rthdg和rteah中，hg=he，dg=ah，rthdgrteah，dhg=aeh，dhg+ahe=90，ghe=90，菱形efgh为正方形；（2）过f作fmab，垂足为m，交dc延长线于点n，连结ge，fncd，cdab，dge=meg，ghef，hge=feg，dgh=mef，在rthdg和rtfme中，d=m=90，dgh=fem，hg=fe，rthdgrtfme，dh=mf，ah=2，dh=mf=4，ae=x，be=10-x.sebf=befm=2（10-x）=20-2x.同理可证rtahertnfg，fn=ah=2，ah=2，ae=x，he=hg=，dg=，cg=10-，sgcf=cgfn=10-，若ebf的面积是cgf面积的2倍，则20-2x=2（10-），整理得：x2=x2-12，此方程无解，所以不存在x，使ebf的面积是cgf面积的2倍.（3）当点e与点b重合时，gcf的面积取最小，最小值为10-2.例4 （1）证明：延长ae、bc交于点n，如图1所示，四边形abcd是正方形，adbc. dae=enc. ae平分dam，dae=mae. enc=mae. ma=mn. 在ade和nce中，dae=cne，aed=nec，de=ce，adence（aas）. ad=nc. ma=mn=nc+mc=ad+mc.（2）am=de+bm成立.证明：过点a作afae，交cb的延长线于点f，如图2所示.四边形abcd是正方形，bad=d=abc=90，ab=ad，abdc. afae，fae=90. fab=90-bae=dae. 在abf和ade中，fab=ead，ab=ad，abf=d，abfade（asa）.bf=de，f=aed. abdc，aed=bae. fab=ead=eam，aed=bae=bam+eam=bam+fab=fam. f=fam. am=fm. am=fb+bm=de+bm.（3）探究展示（1）amadmc仍成立；（2）amdebm不成立.【校内练习】1. 2. d3. （1）图1是矩形，两条对角线长相等，均为2；图2是平行四边形，两条对角线长为4和4；图3是平行四边形，两条对角线长为2和2；图4是一般的四边形，两条对角线长为2和.4. （1）在正方形abcd中，bc=dc，bcp=dcp=45，在bcp和dcp中，bc=dc，bcp=dcp，pc=pc，bcpdcp（sas）；（2）证明：由（1）知，bcpdcp，cbp=cdp，pe=pb，cbp=e，1=2（对顶角相等），180-1-cdp=180-2-e，即dpe=dce，abcd，dce=abc，dpe=abc；（3） 与（2）同理可得：dpe=abc，abc=58，dpe=585. （1）作平行四边形dghm，则gh=dm，gd=mh，ghdm，god=mde=90，mdc+edc=90，ade+edc=90，mdc=ade，在ade和cdm中，ade=mdc，a=dcm=90，ad=dc，adecdm，de=dm，de=gh；dm=de，edm=90，edm是等腰直角三角形，em=dm=de，mh+ehem，gd=mh，eh+gdem，gd+ehde；（2）过点d作dngh交bc于点n，则四边形ghnd是平行四边形，dn=hg，gd=hn，c=90，cd=ab=4，hg=dn=2，cn=2，bn=bc-cn=4-2=2，作