常微分方程边值问题与不动点定论文.docx

宿州学院毕业论文 常微分方程的边值问题与不动点定理目录引言11预备知识2定义1.1（奇异Sturm-Liouville边值问题的正解）2引理1.1.12定义1.2（凸集的概念)2定义1.3锥的定义3定义1.4（全连续算子的概念）31.5 （常微分边值问题的定义）3定义1.6混合单调算子得定义）42 常微分方程边值问题正解得存在性42.1 奇异Sturm-Liouville常微分边值问题的正解存在在5子62.2 一类二阶边值问题的存在性83一类混合单调算子应用103.1一类混合单调算子的存在唯一性?103.2 求常微分边值问题的例题11结束语12参考文献12致 谢13常微分方程边值问题与不动点定（数学与统计学院 11级数学与应用数学2班） 指导教师：陈攀峰引言从历史上看在有了微积分这个概念以后，紧接着出现了常微分方程。发展初期是属于“求通解”得时代，当人们从初期的热潮中结束要从刘维尔证明了卡帝方程中是一定不会存在一般性的初等解的时候开始的，并且柯西紧接着又提出了初值问题，常微分方程开始从重视“求通解”转向重视“求定解”的历史时代。大学我们都学习了常微分方程这门学科，如果要研究它的定解问题，我们首先就会知道是常微分方程的初值问题。然而，在科学技术、生产实际问题中，我们还是提出了另一类定解问题-边值问题。对于常微分方程边值问题，伟大的科学家最早在解决二阶线性微分方程时，提出了分离变量法。.在牛顿时期，科学家们已经提出过常微分的边值问题，牛顿也对常微分边值问题进行过研究，并且在1666年10月牛顿已经在这个领域取得了很大的成就，但是由于种种原因当时并没有整理成论文，所以没有及时出版。但在1687年他终于把在常微分方程上研究的成果发表了，虽然不是在数学著作中，却是他的一本力学著作中（自然哲学的数学原理）。在微积分刚创立时期，雅克.伯努利来自瑞士的科学家提出了远著文明的问题-悬链线问题，紧着的地二年著名数学家莱布尼兹就给出了正确的解答，通过对绳子上个点受力分析，建立了以下方程=（只与绳子的长度有关）这个方程满足的定解条件是y（a）=；y(b)=.这是一个典型的常微分方程的边值问题。从这开始，常微分边值问题已经是科学家研究微分方程是不可或缺的工具，我就简单列举几个例子：（比如种族的生态系统；梁的非线性震动）等。对于怎么研究它，从上世纪七十年代开始，科学家们已经经常用非线性泛函分析学中许多方法来研究，其中著名的有不动点定理等。在非线性泛函分析的推动下，和人们实际生活中的问题推动下，常微分方程的边值问题得到了突飞猛进的发展因为常微分边值问题与实际生活联系太过紧密，至今它还是非常值得我们研究的。 本文主要首先介绍常微分的边值问题的定义，以及利用几类不动点定理求常微分边值是否存在且唯一。以及常微分边值问题在实际生活中的几个应用。1预备知识定义1.1（奇异Sturm-Liouville边值问题的正解）如果函数u满足边值问题（1,1,1） （1,1,1）并且在上并且,我们这是就称函数u上边值问题（1,1,1）的正解推广文献（5）中的引理：引理1.1.1 在实Banach空间E中找他的一个锥，锥是K，E中的一个有界开集是，T:是一个全连续算子。如果有：（1） 且对所有的时有，（2）则肯定有i()=0定义1.2（凸集的概念) 给出两个常值r和a，并且a与r的关系是ra,并且都大于0的，L0的，如果两个连续的非负凸的泛函数。我们定义一个凸集 定义1.3锥的定义 Banach空间E，并且E里面有一个非空的闭集，如果P可以（1） P中的两个元素x与y，一个c0，d0.一定满足c乘以x+d乘以y是属于P的。（2） 如果x属于P,x不等于e，那么就叫做E中的一个锥是P定义1.4（全连续算子的概念） 假若函数u(t)满足下面的一些条件（1）那么，u（t)是边值问题（2.1.1)与（2.1.2）的一个解，假如函数u（t）不紧是解，但t大于0小于1时，u（t）也是大于0的，那么u（t）还是一个正解；如果有如下的推理 那么是一个全连续算子 1.5 （常微分边值问题的定义）给定边界条件求解常微分的解得问题，也就是说，如果常微分方程为Y（x,y,y,.y）=0,在区间I上的点,及值y（），y（），（）（这里面的i是从1到k的并且k是大于一的），并且这里给定了一些条件，然后让我们求方程在I这个区间上面满足这些条件的解得问题，这些条件就是我们说的边界条件，这些满足条件的以及相对应的y（），y（），（）叫做这个常微分方程的边值或者是边界值。并且当k=2时并且、是这个区间I的两端点时，这里就是两点边值问题了。定义1.6混合单调算子得定义） 假如A(x，y）在x上不是递减的，在y上不是递增的，这里我们假设是,假如我们用式子表示上面关系为（如果x1x2）和y2y1，那么A(x2,y2)A(x1，y1），这时这里面的A就是混合单调算子得含义，假如并且我们就说A得不动点为，同样，假如（）并且有还有反过来我们就说是A的不动点对。推广： 引理一 我们给出一个拓扑线性空间，命令它是E，从E中给定一个锥，它是P，那么E的半序 就由P导入我们给出A:,如果两个实数a与b，其中a小于b大于等于0的，给定的 .那么我们就能得出两个等价条件，它们分别是： (1)有一个实值函数这里的u与v是属于，这些条件能够让 （2）在于（1）相同的条件时，也存在一个实值函数，能够让当然我们知道这里面的f与g都是的。2 常微分方程边值问题正解得存在性 各种各样的非线性常微分方程问题越来越引起人们的注意，论文借助各种不动点定理证明三类非线性微分方程的边值问题正解的存在且唯一性。2.1 奇异常微分边值问题的正解存在在考虑如下形式的奇异微分方程边值问题（1.1.1）的正解存在性，这里面上是一定连续的，并且在当t=0或t=1处是奇异的。在各种应用科学中，以及我们的实际生活中都会出现边值问题（1.1.1）的，所以（1.1.1）的正解存在性非常重要的（参考）。本节中假设F（t）没有任何单调性，考虑最一般的常微分方程以及它满足最一般的边值条件，更简单的是在这里我们允许在t=0或t=1时p（t）与g（t）是奇异的。假设： （H1）存在两个值a与b并且a与b都是大于0小与1的使得当时， （H2）并且引理2.1.1 如果我们假设的两个条件（H1）（H2）一定成立，那么T就是全连续算子是在K到K上的证明：第一步：根据Lebesgue控制收敛定理的相关内容，我们能够得到 第二步：如果并且则就能说明T:KK是一个紧算子。如果在只在一般情况下，我们定义算子为Tn,并且TN:KK: 定义n2 u，利用Ascoliarzela定理以及Lebesgue控制收敛定理得是K的紧算子。这里我们记作第三步对固定的R0以及，从（H2）我们知道其中这是因为对任意的t，s肯定是有G（t，s）G(s，s)所以在n时肯定是已知收敛到T 。那么就能得出T是全连续算子2.1.1 主要的一些成果以及例子 定理1.2.1 这里（H1） 与（H2）是成立的，在多出给出一个条件（H3）这里的（H3）为肯定有一切， 那么边值问题（1.1.1）在K上至少有一正解 证明 任意取是符合（1.2.1）中的条件的，并且任意的取0必须满足在区间上一方面对任意的t大于等于0小于等于1，及x大于0小于人r1这里我们根据（1.2.3），如果假设,那么对所有的这就说明当时，对一切肯定有 从另外一侧来讲也可以有r2假设。对一切 .一定有 接着如果能说明所有的，如果得不出我们就用反正，假设存在使对一切t大于等于a小于等于b存在 推理出他与假设矛盾，不符合，所以对一切因此 所以是T在一个不动点是方程的一个正解 2.2 一类二阶边值问题的存在性2.1 非线性微分方程一直是我们研究的重点，并且已经取得了非常重大的成果，本节主要研究了另一类方程（非线性项含一阶倒数的二阶Robin问题）正解存在与唯一性，当然，这里的，并且这里的f是连续的。定理2.1.2如果存在常数能让在满足下列假设时候肯定能成立的：则本节讨论的方程中最少也有三个正解u1，u2，u3，并且他们让三个还满足以下的条件 证明：首先我们想证明本节给出的边值存在性必须先证明u函数是算子T得不动点，这里我们令u=u（t)=的，由非负且连续的函数我们知道，T:PP是一个全连续算子。我们第一步证明式子一所有的条件都是满足的。易得 所以进一步我们能够得到 能够推出同理可以知道，由相同的道理我们是能够得到第二步我们紧接着验证它也满足（H1），这里我们只需要假设u（t）=4b,这里面t是大于0小于1的。所以这里我们得分种类证明：只需要证明这两种就可以了，对于第（1）种情况，我们有对于第二种情况我们有所以得证。最后我们证其满足条件（3）我们也是能得到也是能够得证得所以我们能够得出引理（2.1.1）与（2.1.2）最少要三个正解u1，u2，u3。2.3一类混合单调算子应用这一节我们讨论一类混合单调算子，讨论它的存在与唯一性，并且给出了一个例子说明它的作用以及解决一类边值问题正解的存在与唯一性定理1 我们给出一个一类算子，它是，我们假设这里面的而且还是一个常数，给出一个实Banach空间E的一个正规体锥P.我们给出三个假设:(H1)一个混合单调算子满足连续，要求（1）这里（2）（3）（4）（H2)一类混合单调算子满足（H3）那么对所有的当作迭代序列这里面的n是0,1,2,3我们能够得到证明 第一步：因为每个u，v是属于并且那么总会出现一个大于0的数r能够让，进一步能够推出当c等于0时候矛盾，所以去掉，所以c是大于0的第二步：由已知条件我们是知道D不是递减的，又由于B与C混合单调性，能够推出A混合单调的。第三步在所有已知条件的基础上，如果我们令，然后能够推出，我们能进一步的得出一系=最后一步，我们让能够推出进而我们能够推出时有一个让我们作相应的迭代顺序最后我们是能够得出所以是得证的。3 求常微分边值问题的例题 考虑边值问题假如有有实数a和b和c和d以及全部都是实数；而且它们都是大于0的。这里要求求边值问题（1）的正解解法 ： 在我们研究了一些常微分边值问题的重要定理含义等，参考文献（）这个方程可以直接等于一下的方程（2）这里面的G（t,s)是这个边值问题换算成齐次边值问题后的格林函数即：（且是常数）所以明显的我们能够看出是方程920的解，是方程(1)的.4 常微分边值问题的应用例4.1 思考下列问题其中如果我们取如果选择那么结束语常微分方程的边值问题越来越在生活中得到重用（工程学，力学，生物学，和控制论的研究等许多领域都需要用到它）因为它能精确地描述一些常见的物理现象。而且常微分方称的变值问题微在数学的实际应用中也是越来越广泛的。当然，在广阔的实际应用背景下。常微分的边值问题还是非常广泛的被研究，也频繁的出现一些研究成果。本论文主要研究了几类常微分边值问题的存在于唯一性，而这个过程都会用到相应的不动点定理。对于奇异Sturm-Liouville边值问题我们联系了全连续算子的概念以及控制手链定理得到一个不动点，并能够证明这个不动点就是常微分方程的边值问题的正解。所以不动点定理的作用也是非常重要的，本文最后又介绍了一类混合单调算子的不动点定理以及他的一些应用实例。这里我们是假设这个算子是在不连续和不紧致的情况下，我们进一步说了这种一类混合单调算子的不动点的存在唯一性，是有很大作用的，它不仅改进了相关的文献，而且还推广了文献中的一些成果，是很有价值的。随着常微分方程边值问题知识系统的越来越完善，我们利用他的知识很好的解释了自然界各种各种样的现象，而且他的成果也更广泛的作用于其他科学，边值问题的正解都是最具有实际价值的解，我们又容易把正解转化为不动点存在问题。参考文献1 郭大钧. 非线性泛函分析.济南：山东科技出版社，1985.2 Deimling K. Nonlinear:Functional Analysis. Berlin:Springer-verlag,1985.3 郭大钧，孙经先，刘兆理。非线性常微方程的泛函方法。济南：山东科技出版社，1995.4 一类非线性常微分方程边值问题正解的存在唯一性，应用数学报，18（1）（1995），157-1605 杨志林，孙经先，非线性二阶常微分方程边值问题的正解，数学学报，47（2004）111-118 6 孙经先，非线性泛函分析及其应用，科学出版社，20087 杨军, 马俊驰, 赵硕. 分数阶微分方程多点分数阶边值问题J. 数学的实践与认识, 2011,41(4):1789-3522.8 王素云，一类二阶常微分方程组边值问题的三个正解（J)，应用泛函分析学报，1009-21327（2000）04-0349-04.9 沈瑞. 常微分方程M.北京：中华书局，1951,180-184. 10 纳依玛克。线性微分算子，北京：科学出版社，1964. 致 谢 本次论文是在我的老师陈攀峰教授的耐心指导下才能得以完成的，陈老师是一个特别热