浙江省绍兴县杨汛桥镇八级数学下册 专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明试题 （新版）浙教版.doc

专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明类型一 特殊平行四边形的阅读理解问题1. 阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ）a 平行四边形 b 矩形c 菱形 d 以上答案都不对（2）如图，等腰rtabd中，bad=90. 若点c为平面上一点，ac为凸四边形abcd的和谐线，且ab=bc，请直接写出abc的度数.2 一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形 如图1，矩形abcd中，若ab=2，bc=6，则称矩形abcd为2阶奇异矩形（1）判断与操作：如图2，矩形abcd长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由；（2）探究与计算：已知矩形abcd的一边长为20，另一边长为a（a20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形abcd及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值 3. 如图，abc中，已知bac45，adbc于d，bd2，dc3，求ad的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以ab、ac为对称轴，画出abd、acd的轴对称图形，d点的对称点为e、f，延长eb、fc相交于g点，求证：四边形aegf是正方形；（2）设ad=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.类型二 特殊平行四边形的探究性问题4. 如图，abc中，点o为ac边上的一个动点，过点o作直线mnbc，设mn交bca的外角平分线cf于点f，交acb内角平分线ce于点e（1）求证：eo=fo；（2）当点o运动到何处时，四边形aecf是矩形？并证明你的结论；（3）若ac边上存在点o，使四边形aecf是正方形，猜想abc的形状并证明你的结论.5. 翻阅第四章同步，我们曾做过以下题目：在此基础上，思考并解答以下新问题：（1）当bac60时，四边形adef是平行四边形吗？请说明理由；（2）当abc满足什么条件，四边形adef是菱形？请说明理由；（3）当abc满足什么条件，四边形adef是矩形？请说明理由；（4）当abc满足什么条件，四边形adef是正方形？请说明理由.6. 如图，正方形abcd的边cd在正方形ecgf的边ce上，连结be，dg，观察猜想be与dg之间的大小关系与位置关系，并证明你的猜想.7 如图1，在正方形abcd中，e、f分别是边ad、dc上的点，且afbe（1）求证：af=be；（2）如图2，在正方形abcd中，m、n、p、q分别是边ab、bc、cd、da上的点，且mpnqmp与nq是否相等？并说明理由8. 如图，abcd，点e，f分别在ab，cd上，连结ef，aef、cfe的平分线交于点g，bef、dfe的平分线交于点h.（1）求证：四边形egfh是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过g作mnef，分别交ab，cd于点m，n，过h作pqef，分别交ab，cd于点p，q，得到四边形mnqp，此时，他猜想四边形mnqp是菱形，请在下列框中补全他的证明思路.由abcd，mnef，pqef，易证四边形mnqp是平行四边形，要证?荀mnqp是菱形，只要证mn=nq，由已知条件 ，mnef，故只要证gm=fq，即证mgeqfh，易证 、 . 故只要证mge=qfh，易证mge=gef，qfh=efh， ，即可得证.参考答案专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明1. （1）c （2）等腰rtabd中，bad=90，ab=ad. ac为凸四边形abcd的和谐线，且ab=bc，分三种情况讨论：若ad=cd，如图1，则凸四边形abcd是正方形，abc=90；若ad=ac，如图2，则ab=ac=bc，abc是等边三角形，abc=60；若ac=dc，如图3，则可求得abc=150.2. （1）矩形abcd是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：（2）裁剪线的示意图如下：3. （1）证明：由题意可得：abdabe，acdacf dab=eab，dac=fac，又bac=45，eaf=90 又adbc，e=adb=90，f=adc=90 四边形aegf是矩形，又ae=ad，af=ad，ae=af 矩形aegf是正方形（2）设ad=x，则ae=eg=gf=x bd=2，dc=3，be=2，cf=3，bg=x-2，cg=x-3，在rtbgc中，bg2+cg2=bc2，（x-2）2+（x-3）2=52 化简得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍去），所以ad=x=64. （1）ce平分acb，ace=bce，mnbc，oec=ecb，oec=oce，oe=oc，同理，oc=of，oe=of；（2）当点o运动到ac中点处时，四边形aecf是矩形 如图ao=co，eo=fo，四边形aecf为平行四边形，设abc的外角为acg，ce平分acb，ace=acb，同理，acf=acg，ecf=ace+acf=（acb+acg）=180=90，四边形aecf是矩形；（3）abc是直角三角形，四边形aecf是正方形，acen，故aom=90，mnbc，bca=aom，bca=90，abc是直角三角形5. （1）不是，此时fad180，四边形adef将变成一线段；（2）当abc满足abac且bac60时，四边形adef是菱形，理由略；（3）当abc满足bac150时，四边形adef是矩形，理由略；（4）当abc满足abac且bac150时，四边形adef是正方形，理由略.6. be=gd，bedg，延长gd交be于点h，先证bcedcg，得be=dg，cdg=ebc. cdg+cgd=90，cgd+ebc=90，ghb=90，begd.7. （1）在正方形abcd中，ab=ad，bae=d=90，daf+baf=90，afbe，abe+baf=90，abe=daf，在abe和daf中，abedaf，abad，baed，abedaf（asa），af=be；（2）mp与nq相等理由如下：如图，过点a作afmp交cd于f，过点b作benq交ad于e，abcd，adbc，四边形ampf与四边形bnqe是平行四边形，af=pm，be=nq，在正方形abcd中，ab=ad，bae=d=90，daf+baf=90，afbe，abe+baf=90，abe=daf，在abe和daf中，abedaf，abad，baed，abedaf（asa），af=be，mp=nq8. （1）证明：eh平分bef，feh=bef，fh平分dfe，efh=dfe，abcd，bef+dfe=180，feh+efh=（bef+dfe）=180=90，feh+efh+ehf=180，ehf=180-（feh+efh）=180-90=90，同理可得：egf=90，eg平分aef，gef=aef，eh平分bef，feh=bef，点a、e、b在同一条直线上，aeb=180，feg+feh=（aef+bef）=180=90，即geh=90，四边形egfh