论极限与微分的关系.doc

论积分与极限、微分、级数的联系摘要 本文主要是针对积分与极限等重要的数学分析概念的联系与区别这个问题进行的讨论与研究。本文由极限定义出发，从定义，性质，应用等角度，分析积分与微分（导数）、极限、以及级数的联系，从而更深刻的理解各个章节在数学分析中的地位，反思概念的本质，为今后更好的引深到其他内容打好基础。1 问题描述回顾数学分析全册，我们是先由极限展开到多元微分，积分学，一直到级数，而积分学正是整个数学分析的最为重要的枝干之一，但它与前后面的诸多内容究竟那些有联系，那些没有联系,联系几何？我们也常常遇到这样的问题: 求这显然定积分相关关键词：定积分 不定积分 极限 微分 级数二问题分析1. 极限与导数。导数定义：设函数y=f(x)在点Xo处的某领域内有定义，若极限存在，则称该极限为函数f在点Xo处的导数，记作l 导数的实质是函数增量y与自变量X之比的极限2. 极限与微分 由微分定义可知，y=Ax+o(x),若函数在xo处可微，则满足f在xo处可导且A=。微分是导数的变形3. 积分与导数 不定积分的定义：设函数f与F在区间I上都有定义。若则称F为f在区间I上的一个原函数。l 不难看出不定积分与导数是类似于加减法的逆运算3. 积分与极限 定积分的定义-曲边梯形的面积：1 分割：设闭区间上有n-1个点，依次为X1X2Xn-1=b分为n份2 近似：Si=f(i)Xi3 求和： 令4 取极限：=J,存在，则称极限J为f(x)在上的定积分，记作l 定积分就是积分和式的极限，其本质上是极限问题4. 积分与级数 广义积分包括无穷限反常积分，与无界函数反常积分（暇积分）l 暇积分可转化为无穷限反常积分，故在此只讲无穷限反常积分1) 定义比较 反常积分：若f(x)在有定义，且在任意a,b上存在，且其极限J存在，则称J为f(x)在a,+)上的反常积分,记作 数项级数:给定一个数列对它的各项一次用+号连接起来的表达式称为数项级数=S收敛于Sl 两者定义本质均为无穷求和运算，不过前者是对连续变量的求和，对函数求极限；后者是对离散变量的求和，对数列求极限。2） 收敛性比较l 本质上都是对数列极限与函数极限的收敛性 若数项级数的部分和数列收敛于S，则数项级数收敛：反之发散，则数项级数发散3） 绝对收敛比较 若级数4） 联系性：a. 相互转化： 且 由此得到讨论无穷积分收敛的问题可考虑为讨论无穷级数的收敛问题 另一方面，每一数项级数可看做一个函数的无穷限反常积分，只要令,因而 b.积分判别法： 根据积分与级数的对应关系,那么与正项级数相应的是非负函数,利用非负函数的单调性与积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的收敛性，即积分判别法。设f为1,+)上的非负减函数则正项级数与反常积分同时收敛，同时发散。5） 区别性： 由于反常积分是连续变量的无穷形式，不像离散变量有相邻两项的概念，对开n次方也无意义，所以反常积分无相应的形式直接用比式或根式判别法判断收敛性。3 问题总结极限是微分、导数、不定积分、定积分的基础，最初微积分由牛顿、莱布尼茨发现的时候，没有严格的定义，后来法国数学家柯西运用极限，使微积分有了严格的数学基础。而极限理论也贯穿整个微积分学。积分又是导数的逆运算 对于积分与级数，级数理论是数学分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系函数。 在实际生活中微积分在创立的初期就为级数理论的开展提供了基本的素材。它通过自己的基本运算与级数运算的纯形式的结合，达到了一批初等函数的(幂)级数展开，此后级数便作为函数的分析等价物,用以计算函数的值,用以代表函数参加运算，并以所得结果阐释函数的性质参考文献：1华东师范大学数学系.数学分析