高中数学 3.3.2 均匀随机数的产生课件2 新人教A版必修3.ppt

3 3 2均匀随机数的产生 1 能够利用随机模拟试验估计事件的概率 2 了解把未知量的估计问题转化为随机模拟问题 3 会根据题目条件合理设计简单的随机模拟试验 1 本节课的重点是利用随机模拟试验估计事件的概率 2 本节课的难点是理解随机模拟的思想和设计随机模拟试验 1 均匀随机数的产生 1 计算器上产生区间 0 1 上的均匀随机数的函数是 2 excel软件产生区间 0 1 上的均匀随机数的函数为 rand rand 2 用模拟方法近似计算某事件概率的方法 1 模拟法 制作两个转盘模型 进行模拟试验 并统计试验结果 进行近似计算 2 模拟法 用 软件产生 0 1 上的均匀随机数进行模拟 注意操作步骤 试验 计算机 excel 1 一个人到单位的时间可能是8 00 9 00之间的任何一个时刻 若设定他到单位的时间为8点过x分种 则x可以是0 60之间的任何一刻 并且是等可能的 我们称x服从 0 60 上的均匀分布 x为 0 60 上的均匀随机数 一般地 x为 a b 上的均匀随机数的含义如何 x的取值是离散的 还是连续的 提示 x在区间 a b 上等可能取任意一个值 x的取值是连续的 2 计算机只能产生 0 1 上的均匀随机数 如果试验的结果是区间 a b 上等可能出现的任何一个值 则需要产生 a b 上的均匀随机数 对此 你有什么办法解决 提示 首先利用计算器或计算机产生 0 1 上的均匀随机数x rand 然后利用伸缩和平移变换 y x b a a计算y的值 则y为 a b 上的均匀随机数 3 已知b1是 0 1 上的均匀随机数 b 3 b1 3 则b是区间 上的均匀随机数 解析 因为b1 3是 3 2 上的均匀随机数 所以b是区间 9 6 上的均匀随机数 答案 9 6 应用模拟试验近似计算概率的方法的要点分析用均匀随机数模拟试验时 首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型 也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量 我们可以从以下三个方面考虑 1 由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数 如长度型 角度型只用一组 面积型需要两组 2 由所有基本事件总体对应的区域确定产生随机数的范围 3 由事件a发生的条件确定随机数所应满足的关系式 求事件a的概率 用随机模拟方法估计长度型几何概型 技法点拨 用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的四个步骤 1 利用计算器或计算机产生一组 0 1 上的均匀随机数a1 rand 2 经过伸缩变换y b a x a 得到一组 a b 上的均匀随机数 3 统计出试验总次数n和满足所求概率事件的随机数个数n1 4 计算频率即为所求概率的近似值 典例训练 1 已知米粒等可能地落入如图所示的四边形abcd内 如果通过大量的实验发现米粒落入 bcd内的频率稳定在附近 那么点a和点c到直线bd的距离之比约为 2 取一根长度为5m的绳子 拉直后在任意位置剪断 用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2m的概率有多大 解析 1 设米粒落入 bcd内的频率为p1 米粒落入 bad内的频率为p2 点c和点a到直线bd的距离分别为d1 d2 根据题意 又答案 2 设剪得两段的长都不小于2m为事件a 方法一 1 利用计算器或计算机产生n个0 1之间的均匀随机数 x rand 2 作伸缩变换 y x 5 0 转化为 0 5 上的均匀随机数 3 统计出 2 3 内均匀随机数的个数m 4 则概率p a 的近似值为方法二 1 做一个带有指针的转盘 把圆周五等分 标上刻度 0 5 这里5和0重合 2 固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针 记下指针在 2 3 内 表示剪断绳子位置在 2 3 范围内 的次数m及试验总次数n 3 则概率p a 的近似值为 互动探究 若将题2改为 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 利用随机模拟法求剪得两段的长都不小于1m的概率有多大 解析 1 利用计算器或计算机产生一组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand 2 经过伸缩变换 a a1 3 3 统计出 1 2 内均匀随机数的个数n1和 0 3 内均匀随机数的个数n 4 计算频率即为概率p a 的近似值 思考 解决题2的难点是什么 提示 解决题2的难点是如何将实际问题转化为用均匀随机数进行估计的概率问题 即试验设计是此类问题的难点 用随机模拟方法估计面积型的几何概型 技法点拨 用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别 1 联系 二者模拟试验的方法和步骤基本相同 都需产生随机数 2 区别 长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可 所求事件的概率为表示事件的长度之比 对面积型几何概型问题 一般需要确定点的位置 而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的 故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标 从而确定点的位置 所求事件的概率为点的个数比 典例训练 1 利用随机模拟方法计算y x2与y 4围成的面积时 利用计算器产生两组0 1之间的均匀随机数a1 rand b1 rand 然后进行平移与伸缩变换a a1 4 2 b b1 4 试验进行100次 前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65 已知最后两次试验的随机数a1 0 3 b1 0 8及a1 0 4 b1 0 3 那么本次模拟得出的面积为 2 在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板 上面画了一个以正方形的中心为圆心的圆 半径为6cm 某人站在3m之外向此板投镖 设投镖击中线上或没有投中木板时都不算 可重投 问 投在圆内的概率是多少 解析 1 由a1 0 3 b1 0 8得 a 0 8 b 3 2 0 8 3 2 落在y x2与y 4围成的区域内 由a1 0 4 b1 0 3得 a 0 4 b 1 2 0 4 1 2 落在y x2与y 4围成的区域内 所以本次模拟得出的面积为答案 10 72 2 解题流程 思考 解决此类问题的关键是什么 提示 解决此题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横 纵坐标 从而确定点的位置 变式训练 解放军某部进行特种兵跳伞演习 如图所示 在长为16m 宽为14m的矩形内有大 中 小三个同心圆 其半径分别为1m 2m 5m 若着陆点在圆环b内 则跳伞成绩为合格 若着陆点在环状的阴影部分 则跳伞成绩为良好 若跳伞者的着陆点在小圆a内 则跳伞成绩为优秀 否则为不合格 若一位特种兵随意跳下 假设他的着陆点在矩形内 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率 解题指南 本题为面积型几何概型 所求的概率为面积之比 若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比 要表示平面图形内的点必须有两个坐标 故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置 解析 设事件a表示 该特种兵跳伞的成绩为良好 1 利用计算器或计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 经过伸缩和平移变换 a 16a1 8 b 14b1 7 得到 8 8 与 7 7 上的均匀随机数 3 统计满足 8 a 8 7 b 7的点 a b 的个数n 满足1 a2 b2 4的点 a b 的个数n1 4 计算频率即为所求概率的近似值 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 技法点拨 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积方法揭秘 1 用随机模拟试验估计不规则图形的面积的基本思想是 构造一个包含这个图形的规则图形作为参照 通过计算机产生某区间内的均匀随机数 再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决 关键词 构造 2 解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率 然后通过解方程求得相应部分面积的近似值 关键词 分别求几何概率 3 对于较复杂的问题通常需要设计一个图形 使其面积与某个常数有关 进而就可以设计一个概率模型 然后设计适当的试验并通过这个试验结果来确定所求面积的近似值 关键词 设计 典例训练 1 已知如图所示的矩形 其长为12 宽为5 在矩形内随机地撒1000颗黄豆 数得落在阴影部分的黄豆为150颗 则可以估计出阴影部分的面积约为 2 利用随机模拟法近似计算图中阴影部分 曲线y 9 x2与x轴和y x围成的图形 的面积 解析 1 答案 9 2 设事件a为 随机向矩形内投点 所投的点落在阴影部分 1 利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数 x1 rand y1 rand 2 经过伸缩平移变换 x 6 x1 0 5 y 9y1 3 统计出试验总次数n和满足条件yx的点 x y 的个数n1 4 计算频率即为概率p a 的近似值 设阴影部分的面积为s 矩形的面积为9 6 54 由几何概型的概率公式得p a 所以 阴影部分面积的近似值为 归纳 解决此类问题应特别注意哪几点 提示 应特别注意两点 一是选取适当的对应图形 二是由几何概型的概率公式正确地计算概率 变式训练 利用随机模拟方法计算图中阴影部分 y x3和x 2以及x轴所围成的部分 的面积 解题指南 解答本题可先计算与之相对应的规则图形的面积 然后利用随机模拟的方法求出几何概率 并对阴影部分的面积进行估算 解析 在坐标系中画出矩形 x 0 x 2 y 0 y 8所围成的图形 利用面积比与概率 频率的关系进行求解 1 利用计算器或计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 经过伸缩变换 a 2a1 b 8b1 3 统计出试验总次数n和落在阴影部分 满足b a3 点 a b 的个数n1 4 计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值 5 设阴影部分的面积为s 由几何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为所以所以即为阴影部分面积的近似值 规范解答 用随机模拟的方法解决应用问题的思路 典例 12分 在正方形中随机撒一把豆子 通过考察落在其内切圆内黄豆的数目 用随机模拟的方法可计算圆周率 的近似值 1 用两个均匀随机数x y构成的一个点的坐标 x y 代替一颗豆子 请写出随机模拟法的方案 2 以下程序框图用以实现该模拟过程 请将它补充完整 注 rand是计算机在excel中产生 0 1 区间上的均匀随机数的函数 解题指导 规范解答 1 具体方案如下 利用计算机产生两组区间 0 1 上的均匀随机数 x rand y rand 2分 统计试验总次数n和落在阴影内的点数n1 满足条件x2 y2 1 的点 x y 的个数 4分 计算频率即为点落在圆内的概率的近似值 6分 设圆的面积为s 由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为 即为圆的面积的近似值 8分又即为圆周率 的近似值 9分 2 由题意 得第一个判断框中应填x2 y2 1 10分其下的处理框中应填m m 1 退出循环体后的处理框中应填 12分 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的失分警示和解题启示总结如下 注 此处的 见规范解答过程 规范训练 12分 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分的面积 曲线为 解题设问 解答本题的依据是什么 规范答题 1 利用计算机 或器 产生两组0至1间的均匀随机数 a1 rand b1 rand 3分 2 进行平移和伸缩变换 a a1 0 5 4 b b1 0 5 2 6分数出落在阴影内的样本点数n1 即满足的点 a b 用均匀随机数估计几何 概型的概率 的个数 用几何概型计算阴影部分的面积 如做500次试验 即n 500 模拟得到n1 387 10分所以 12分 1 用均匀随机数进行随机模拟 可以解决 a 只能求几何概型的概率 不能解决其他问题 b 不仅能求几何概型的概率 还能计算图形的面积 c 不但能估计几何概型的概率 还能估计图形的面积 d 最适合估计古典概型的概率 解析 选c 均匀随机数进行模拟试验的应用很多 可以处理如概率 面积 长度 体积等问题 故选c 2 在线段ab上任取三个点x1 x2 x3 则x2位于x1与x3之间的概率是 a b c d 1 解析 选b 因为x1 x2 x3是线段ab上任意的三个点 任何一个数在中间的概率相等且都是 3 设b1是 0 1 上的均匀随机数 b b1 0 5 6 则b是区间 上的均匀随机数 解析 设b为区间 m n 内的随机数 则b b1 n m m 而b b1 0 5 6 答案