高中数学 第一部分 第一章 §3 3.2 等比数列的前n项和课件 北师大版必修5.pptVIP

3 2等比数列的前n项和 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第一章数列 考点一 考点三 考点二 考点四 3 2等比数列的前n项和 对于等比数列1 2 22 23 2n 问题1 该数列的首项和公比分别是什么 提示 首项是1 公比是2 问题2 前n项和sn 1 2 22 2n 两边同乘以公比2得2sn 2 22 23 2n 1 那么这两个等式右边有公共项吗 若用 式减去 式 会有什么结果 提示 有公共项 得sn 2n 1 1 问题3 对和式sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 q 1 按问题 方法整理会怎样呢 等比数列的前n项和公式 na1 2 等比数列前n项和公式与函数的关系 1 当公比q 1时 等比数列的前n项和公式可写成sn aqn a的形式 由此可见 非常数列的等比数列的前n项和sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的 而指数式的系数与常数项互为相反数 当公比q 1时 因为a1 0 所以sn na1是n的正比例函数 常数项为0的一次函数 2 当q 1时 数列s1 s2 s3 sn 的图像是函数y aqx a图像上的一群孤立的点 当q 1时 数列s1 s2 s3 sn 的图像是正比例函数y a1x图像上的一群孤立的点 思路点拨 根据等比数列的前n项和公式 结合通项公式 列方程或方程组求解 注意整体代换思想的应用 2 2011 大纲全国高考 设等比数列 an 的前n项和为sn 已知a2 6 6a1 a3 30 求an和sn 3 设等比数列 an 的公比q 1 前n项和为sn 已知a3 2 s4 5s2 求 an 的通项公式 例2 求数列1 3a 5a2 7a3 2n 1 an 1 a 0 的前n项和 思路点拨 利用错位相减法求和 注意分a 1和a 1两种情况求解 一点通 所谓错位相减法是指在求和式子的左 右两边同乘等比数列的公比 然后错位相减 使其转化为等比数列的求和问题 此种方法一般适用于形如数列 anbn 的求和 其中数列 an 是等差数列 数列 bn 是等比数列 4 求和 sn x 2x2 3x2 nxn 解 1 s3 12 即a1 a2 a3 12 3a2 12 a2 4 又 2a1 a2 a3 1成等比数列 a 2a1 a3 1 即a 2 a2 d a2 d 1 解得 d 3或d 4 舍去 a1 a2 d 1 故an 3n 2 例3 1 在等比数列 an 中 已知sn 48 s2n 60 求s3n 2 一个等比数列的首项为1 项数是偶数 其奇数项的和为85 偶数项的和为170 求此数列的公比和项数 思路点拨 解答本题可以列方程组求首项和公比 也可以利用等比数列的前n项和的有关性质求解 一点通 1 在解方程组时除了常用的代入消元 加减消元外也可以考虑乘除消元 整体代入等策略 2 在遇到公比不等于 1的等比数列连续和的题目时 常常利用性质 sk s2k sk s3k s2k 成等比数列 求解 3 项数为2n的等比数列奇数项和与偶数项和之间的关系为 s偶 s奇 q 运用此式能非常迅速地求出公比q 6 等比数列 an 的前n项和为sn s2 7 s6 91 则s4为 a 28b 32c 21d 28或 21 解析 an 为等比数列 s2 s4 s2 s6 s4也为等比数列 即7 s4 7 91 s4成等比数列 s4 7 2 7 91 s4 解得s4 28或s4 21 s4 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a1q2 a2q2 a1 a2 1 q2 s2 1 q2 s2 s4 28 答案 a 7 等比数列 an 中 公比q 3 s80 32 则a2 a4 a6 a80 答案 24 思路点拨 从题意出发 从条件中提取有用的信息 分别列出第一年的投入 第二年的投入 一直到第n年的投入 构造出等比数列 可用等比数列的前n项和公式求解 一点通 在解数列应用题时 不要被题目的设计背景所干扰 应该把对题目的背景的阅读当成是一件快乐的事情 不应因应用题的阅读量大避而远之 要知道应用题的设计体现的就是人文关怀 解答时要分清等差数列与等比数列的不同表示语句 从而更好的解决问题 8 2010年底某市有待业人员10万人 根据测算该市在今后的几年中平均每年新增待业人员8千人 市政府积极地采取有效措施增加工作岗位 估计2011年可提供新增岗位5千个 并且以后将以平均每年10 的速度递增 问 1 2013年底待业人员比2012年底待业人员增加多少 2 到哪一年底社会上待业人员总量达到最多 参考数据1 15 1 61 1 16 1 77 解 设2011年为第一年 第一年底待业人员为a1万人 第n年底待业人员为an万人 则an an 1 0 8 0 5 1 0 1 n 1 1 a3 a2 0 8 0 5 1 0 1 2 0 195 万人 1950 人 即2013年底待业人员比2012年底增加1950人 9 某商场今年销售计算机5000台 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10 那么从今年起 大约几年可使总销售量达到30000台 lg1 6 0 2 lg1 1 0 04 1 等比数列的通项公式和前n项和公式共涉及五个量 a1 q n an sn 其中a1和q为基本量 且五个量 知三可求二 在解决等比数列问题中 要学会用函数与方程 整体代换的思想方法分析问题 养成良好的思维习惯 2 在解等比数列问题时 要注意合理应用等比数列的性质 与等比数列前n项和有关的常用的性质有 连续m项和 如sm s2m sm s3m s2m 仍组成等比数列 注意此连续m项的和必须非零才成立 an 为等比数列 且q 1 sn aqn a a 0 3 对于