高中数学 第一部分 第一章 §2 2.2 第一课时 等差数列的前n项和课件 北师大版必修5.ppt

第一课时等差数列的前n项和 2 2等差数列的前n项和 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点三 考点二 第一章数列 知识点一 知识点二 2 2等差数列的前n项和 200多年前 德国著名数学家高斯的算术老师提出了下面的问题 1 2 3 100 问题1 我们都知道高斯很快便计算出来了 他是怎样算出来的呢 提示 s 1 2 3 100 100 99 3 2 1 2s100 1 100 2 99 3 98 100 1 101 100 s100 101 50 5050 问题2 从这个算法中得到启发 如何计算1 2 3 n 的前n项和呢 问题3 根据上面的启发 有一堆钢管 最上层4根 最下层11根 共8层 每一层比上一层多1根 问这堆钢管共多少根 等差数列的前n项和公式 已知等差数列 an 首项为a1 公差为d 问题1 在数列中 依次每4项之和a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 能否构成等差数列 那么依次每k项之和呢 提示 a5 a6 a7 a8 a1 a2 a3 a4 16d a9 a10 a11 a12 a5 a6 a7 a8 16d 依此类推可知 等差数列中每4项之和能构成等差数列 同理 依次每k项之和也能构成等差数列 第一课时等差数列的前n项和 思路点拨 运用方程的思想 根据已知条件建立方程或方程组求解 另外解题时要注意整体代换 法二 由s5 5a3 40 得a3 8 所以a2 a5 a3 d a3 2d 2a3 d 16 d 19 得d 3 所以a10 a3 7d 8 7 3 29 一点通 a1 n d称为等差数列的三个基本量 an和sn都可以用这三个基本量来表示 五个量a1 n d an sn中可知三求二 即等差数列的通项公式及前n项和公式中 知三求二 的问题 一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程 组 求解 这种方法是解决数列问题的基本方法 在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用 1 2012 济南高二检测 已知等差数列 an 满足a2 a4 4 a3 a5 10 则它的前10项的和s10 a 138b 135c 95d 23 答案 c 2 设sn为等差数列 an 的前n项和 s4 14 s10 s7 30 则s9 答案 54 3 等差数列 an 中 已知d 2 s100 10000 求an sn 例2 等差数列 an 的前n项和为sn 若s12 84 s20 460 求s28 思路点拨 1 利用基本运算 列出方程组求出a1 d 即可求s28 2 灵活应用性质求解 一点通 对于等差数列前n项和sn的性质应用问题 其思路灵活又多变 使用性质解题 既灵活又高效 1 前n项和为sn an2 bn的数列一定为等差数列 且公差为2a 记住这个结论 如果已知数列的前n项和可以直接写出公差 答案 a 5 在项数为2n 1的等差数列 an 中 所有奇数项的和为165 所有偶数项的和为150 则n a 9b 10c 11d 12 答案 b 6 已知数列 an 是等差数列 且a1 a2 a10 10 a11 a12 a20 20 求a41 a42 a50 法二 设b1 a1 a2 a10 b2 a11 a12 a20 b3 a21 a22 a30 b4 a31 a32 a40 b5 a41 a42 a50 数列 an 是等差数列 数列 bn 也成等差数列 其中b1 10 公差d b2 b1 20 10 10 a41 a42 a50 b5 10 4 10 50 例3 12分 等差数列 an 中 sn为前n项和 且a1 25 s17 s9 请问数列前多少项和最大 思路点拨 解答本题可用多种方法 根据s17 s9找出a1与d的关系 转化为sn的二次函数求最值 也可以用通项公式找到通项的变号点 再求解 法三 s17 s9 a10 a11 a17 0 4分 a10 a17 a11 a16 a13 a14 0 8分 a1 25 0 当n 13时an 0 当n 14时 an 0 s13最大 12分 7 已知数列 an 的通项公式为an 2n 37 则sn取最小值时n的值为 a 17b 18c 19d 20 解析 an 2n 37 an 1 an 2 0 an 为递增数列 由an 2n 37 0 n 18 5 a18 0 a19 0 s18最小 答案 b 答案 c 9 等差数列 an 中 a1 0 s9 s12 求该数列前多少项的和最小 d 0 sn有最小值 又 n n n 10或n 11时 sn取最小值 法二 s9 s12 a10 a11 a12 0 3a11 0 a11 0 a1 0 前10项或前11项的和最小 2 知三求二 型 在a1 an sn n d五个量中 已知其中的三个量 可以由通项公式和前n项和公式建立方程组 即可以求出另外的两个 这两种类型是解决等差数列运算的基本方法 2 等差数列前n项和的最值问题 1 类型 若d 0 a10 则sn有最大值 2 主要方法 二次函数法 用求二次