湖南省高三数学考前演练试卷（二）理（含解析）.doc

2016年湖南省高三普通高等学校招生全国统一考前演练数学试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=x|x10，b=x|0x2，那么ab等于（）ax|x1bx|x2cx|0x1dx|1x22若=i，则复数z为（）aibic2d2i3下列命题中真命题是（）a bx（，0），2x1cxr，x2x1dx（0，），sinxcosx4函数y=cos（2x）的图象可由函数y=sin2x的图象向（）a右平移个单位b右平移个单位c左平移个单位d左平移个单位5已知，c为线段ab上距a较近的一个三等分点，d为线段cb上距c较近的一个三等分点，则用表示的表达式为（）a b c d6某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的b等于（）a15b29c31d637设m为平面上以a（4，1），b（1，6），c（3，2）三点为顶点的三角形区域（包括内部和边界），当点（x，y）在m上变化时，z=4x3y的取值范围是（）a18，13b0，14c13，14d18，148在正方体中放入9个球，一个与立方体6个表面相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个表面相切，若正视的方向是某条棱的方向，则正视图为（）a b c d9某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有（）a12种b24种c36种d48种10（a+b+c）10的展开式中，合并同类项后不同的项有（）a66b78c105d12011已知a，b为正数，则“a+b2“是“+2“成立的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充分必要条件d既非充分也非必要条件12x（0，）都有：f（x）0且f（x）f（x）tanx，则下列各式成立的是（）a f（）f（）f（）f（）b f（）f（）f（）f（）c f（）f（）f（）f（）d f（）f（）f（）f（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为14f（x）=在区间（1，+）上为减函数，则实数a的取值范围是15圆台的侧面积为cm2，它的内切球的表面积是4cm2，则圆台的体积为cm316rtabc中，a=90，sinsin=若b，c的平分线的长的乘积为8，bc=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17如图，在直三棱柱abca1bc的底面abc中，ca=cb=2，bca=90，棱aa1=4，mn分别是a1b1，a1a的中点（1）求证：a1bc1m；（2）设直线bn与平面abc1所成的角为，求sin18已知等差数列an的首项为1，等比数列bn的前两项为a2，a5且公比为3，记数列an的前n项和为an，数列bn的前n项和为bn（i）求an，bn；（）如果，试求所有正整数n的值19为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对此班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，a1，a2，a3，a4，a5还喜欢打羽毛球，b1，b2，b3还喜欢打乒乓球，c1，c2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求b1和c1不全被选中的概率下面的临界值表供参考：p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d）20已知点a是抛物线y=上的一个动点，过a作圆d：x2+（y）2=r2（r0）的两条切线，它们分别切圆d于e，f两点（1）当r=，a点坐标为（2，2）时，求两条切线的方程；（2）对于给定的正数r，当a运动时，a总在圆d外部，直线ef都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围21已知f（x）=x2+ax+lnx不是单调函数（1）求a的取值范围；（2）如果对满足条件的一个实数a，函数f（x）+m都至多有一个零点，求实数m的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时用2b铅笔在答题卡山把所选题目对应的题号涂黑。选修4-1：几何证明选讲22如图，已知ap是o的切线，p为切点，ac是o的割线，且与o交于b、c两点，圆心o在pac的内部，点m是bc的中点，（1）证明a、p、o、m四点共圆； （2）求oam+apm的大小选修4-4：坐标系与参数方程23已知圆o：=cos+sin和直线l：sin（）=（1）求圆o和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l与圆o公共点的一个极坐标选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=x|xa|（1）若不等式f（1）1，a为整数，求a的值；（2）若对一切x（0，1，f（x）1，求实数a的取值范围2016年湖南省高三普通高等学校招生全国统一考前演练数学试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=x|x10，b=x|0x2，那么ab等于（）ax|x1bx|x2cx|0x1dx|1x2【考点】交集及其运算【分析】求出集合a中不等式的解集，确定出集合a，找出集合a和b解集的公共部分，即可求出两集合的交集【解答】解：由集合a中的不等式x10，解得x1，a=x|x1，又b=x|0x2，则ab=x|0x1故选c2若=i，则复数z为（）aibic2d2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，得到z的表达式，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：=i，i+zi=1z，即（1+i）z=1i，则z=，故选：b3下列命题中真命题是（）a bx（，0），2x1cxr，x2x1dx（0，），sinxcosx【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据倍角公式及三角函数的值域，我们可以判断a的正误，根据指数函数的性质，我们可以判断b的真假，解一元二次不等式，可以判断c的正误，根据三角函数的性质，我们可判断d的对错，进而得到答案【解答】解：sinxcosx=sin2x，若sinxcosx=，则sin2x=1，故a错误；当x（，0），2x1恒成立，故b错误；方程x2x+1=0的=14=30，函数y=x2x+1的图象为开口朝上的抛物线，故x2x+10恒成立，即xr，x2x1，故c正确；当x=（0，），sinx=cosx，故x（0，），sinxcosx，故d错误；故选c4函数y=cos（2x）的图象可由函数y=sin2x的图象向（）a右平移个单位b右平移个单位c左平移个单位d左平移个单位【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用诱导公式，y=asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos（2x+）=cos（2x）的图象，故选：d5已知，c为线段ab上距a较近的一个三等分点，d为线段cb上距c较近的一个三等分点，则用表示的表达式为（）a b c d【考点】线段的定比分点；向量的线性运算性质及几何意义【分析】用平面向量基本定理结合三角形法则用表示【解答】解：，=故应选a6某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的b等于（）a15b29c31d63【考点】循环结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算b值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： a b 是否继续循环循环前 2 1/第一圈 3 3 是第二圈 4 7 是第三圈 5 15 是第四圈 6 31 否则输出的结果为31故选c7设m为平面上以a（4，1），b（1，6），c（3，2）三点为顶点的三角形区域（包括内部和边界），当点（x，y）在m上变化时，z=4x3y的取值范围是（）a18，13b0，14c13，14d18，14【考点】简单线性规划【分析】作出平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由z=4x3y得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分abc）：平移直线y=x，由图象可知当直线y=x，过点b时，直线y=x截距最小，此时z最大，代入目标函数z=4x3y，得z=4（1）3（6）=4+18=14目标函数z=4x3y的最大值是14过点c时，直线y=x截距最大，此时z最小，代入目标函数z=4x3y，得z=4（3）32=126=18，目标函数z=4x3y的最小值是18故z的取值范围是18，14故选：d8在正方体中放入9个球，一个与立方体6个表面相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个表面相切，若正视的方向是某条棱的方向，则正视图为（）a b c d【考点】简单空间图形的三视图【分析】由于大球与小球是顺着对角线方向相切的，故从棱的方向看，大圆与小圆相交【解答】解：设小球的半径为1，正方体边长为a，则大圆直径为a，正方体的对角线为a=a+2（1+），解得a=（）2=4+2正视图中大圆半径为=2+，正视图中的大圆与小圆相交故选b9某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有（）a12种b24种c36种d48种【考点】计数原理的应用【分析】先安排甲、乙，再安排其它实习老师，即可得出结论【解答】解：6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班，不同分配方案共有=24种故选：b10（a+b+c）10的展开式中，合并同类项后不同的项有（）a66b78c105d120【考点】二项式系数的性质【分析】通项如maibjck，其中i，j，k为自然数i+j+k=10，可得：（i+1）+（j+1）+（k+1）=13因此问题转化为要求x+y+z=13的正整数解的个数转化为：有13个球，12个空隙，在这些空隙中插入两个挡板的方法【解答】解：通项如maibjck，其中i，j，k为自然数i+j+k=10，可得：（i+1）+（j+1）+（k+1）=13因此问题转化为要求x+y+z=13的正整数解的个数转化为：有13个球，12个空隙，在这些空隙中插入两个挡板，每一种插板的方式对应一组正整数解，反之，一组正整数解对应一种插板的方式，因此共有=66种，故选：a11已知a，b为正数，则“a+b2“是“+2“成立的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充分必要条件d既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a+b2，则（+）2=a+b+2a+b+a+b=2（a+b）4，即+2成立，即充分性成立，若a=1.12，b=0.92，则满足+=1.1+0.9=22成立，但a+b=1.12+0.92=1.21+0.81=2.02，则不等式a+b2不成立，即必要性不成立，故“a+b2“是“+2“成立充分不必要条件，故选：a12x（0，）都有：f（x）0且f（x）f（x）tanx，则下列各式成立的是（）a f（）f（）f（）f（）b f（）f（）f（）f（）c f（）f（）f（）f（）d f（）f（）f（）f（）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】把设g（x）=，得到函数g（x）在（0，）上为增函数，利用单调性判断即可【解答】解：设g（x）=，g（x）=，f（x）f（x）tanx，x（0，）都有：f（x）0，f（x）cosxf（x）sinx，g（x）0，g（x）在（0，）上为增函数，g（）g（），f（）f（），f（）f（）f（）f（）故选：d二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为y2=16x【考点】抛物线的标准方程；双曲线的简单性质【分析】根据双曲线方程，算出它的右顶点为（4，0），也是抛物线的焦点由此设出抛物线方程为y2=2px，（p0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=8，从而得出该抛物线的标准方程【解答】解析：双曲线的方程为=1，右顶点为（4，0）设抛物线的标准方程为y2=2px（p0），则=4，即p=8，抛物线的标准方程为y2=16x故填y2=16x故答案为：y2=16x14f（x）=在区间（1，+）上为减函数，则实数a的取值范围是（，1【考点】函数单调性的性质【分析】分离常数便得到，根据f（x）在（1，+）上为减函数及反比例函数的单调性便可得出，解该不等式组即可得出实数a的取值范围【解答】解：；f（x）在区间（1，+）上为减函数；实数a的取值范围是故答案为：（，115圆台的侧面积为cm2，它的内切球的表面积是4cm2，则圆台的体积为cm3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为r，由切线长定理得母线长为r+r，由圆台的侧面面积和内切球表面积求出r和r，高是圆台内切球的直径a，由此求出圆台的体积【解答】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为r，则母线长为r+r；设圆台内切球的半径为a，则4a2=4，解得a=1；又圆台的侧面面积是（r+r）2=，解得r+r=；画出圆台的轴截面，如图所示：则rr=，由解得r=，r=；圆台的体积为v=（r2+rr+r2）h=（+3）2=（cm3）故答案为：16rtabc中，a=90，sinsin=若b，c的平分线的长的乘积为8，bc=4【考点】三角函数的化简求值；正弦定理【分析】由条件求得角平分线bm、cn的解析式，可得=8，即bc=8coscos sinsin=，求得bc=16sinbsinc，再利用正弦定理求得a2= 的值，可得a=bc的值【解答】解：如图所示：rtabc中，a=90，bm、cn分别为b、c的平分线，则bm=，cn=，由b，c的平分线的长的乘积为8，可得=8，即bc=8coscos 再根据正弦定理可得=a2，即sinsin=，8sinsin=1，bc=coscos1=8coscos8sinsin=16sinbsinc，a2=16，a=4，即 bc=4，故答案为：4三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17如图，在直三棱柱abca1bc的底面abc中，ca=cb=2，bca=90，棱aa1=4，mn分别是a1b1，a1a的中点（1）求证：a1bc1m；（2）设直线bn与平面abc1所成的角为，求sin【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）以c为原点建立空间坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出a1bc1m；（2）求出和平面abc1的法向量，计算|cos|即为所求【解答】证明：（1）以c为原点，以ca，cb，cc1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则a1（2，0，4），b（0，2，0），c1（0，0，4），m（1，1，4）=（2，2，4），=（1，1，0）=21+21+（4）0=0，即a1bc1m（2）n（2，0，2），a（2，0，0）=（2，2，2），=（2，2，0），=（2，0，4）设平面abc1的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，2，1）cos=sin=18已知等差数列an的首项为1，等比数列bn的前两项为a2，a5且公比为3，记数列an的前n项和为an，数列bn的前n项和为bn（i）求an，bn；（）如果，试求所有正整数n的值【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式【分析】（i）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（ii）由，可得：，化为：3n1（6n32n2）2n1由6n32n20，解得n的值即可得出【解答】解：（i）设等差数列an的公差为d，则an=1+（n1）d，a2=1+d，a5=1+4d等比数列bn的前两项为a2，a5且公比为3，=，解得d=2an=2n1，bn=3n数列an的前n项和为an=n2数列bn的前n项和为bn=（ii）由，可得：，化为：3n1（6n32n2）2n1由6n32n20，解得：n，可得：当n=1时，11，成立；当n=2时，33，成立；当n3时，不成立使得成立的所有正整数n的值为1，219为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对此班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，a1，a2，a3，a4，a5还喜欢打羽毛球，b1，b2，b3还喜欢打乒乓球，c1，c2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求b1和c1不全被选中的概率下面的临界值表供参考：p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率，做出喜爱打篮球的人数，进而做出男生的人数，填好表格（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明打篮球和性别有关系（3）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件有532，而满足条件的事件b1和c1不全被选中，通过列举得到事件数，求出概率【解答】解：（1）在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为在50人中，喜爱打篮球的有=30，男生喜爱打篮球的有3010=20，列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050（2）有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关（3）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件有532=30种，如下：（a1，b1，c1），（a1，b1，c2），（a1，b2，c1），（a1，b2，c2），（a1，b3，c1），（a1，b3，c2），（a2，b1，c1），（a2，b1，c2），（a2，b2，c1），（a2，b2，c2），（a2，b3，c1），（a2，b3，c2），（a3，b1，c1），（a3，b1，c2），（a3，b2，c1），（a3，b3，c2），（a3，b2，c2），（a3，b3，c1），（a4，b1，c1），（a4，b1，c2），（a4，b2，c1），（a4，b2，c2），（a4，b3，c1），（a4，b3，c2），（a5，b1，c1），（a5，b1，c2），（a5，b2，c1），（a5，b2，c2），（a5，b3，c1），（a5，b3，c2），基本事件的总数为30，用m表示“b1，c1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“b1，c1全被选中”这一事件，由于由（a1，b1，c1），（a2，b1，c1），（a3，b1，c1），（a4，b1，c1），（a5，b1，c1）5个基本事件组成，由对立事件的概率公式得20已知点a是抛物线y=上的一个动点，过a作圆d：x2+（y）2=r2（r0）的两条切线，它们分别切圆d于e，f两点（1）当r=，a点坐标为（2，2）时，求两条切线的方程；（2）对于给定的正数r，当a运动时，a总在圆d外部，直线ef都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）直线x=2不满足条件，设切线方程为：y2=k（x2），化为：kxy+22k=0，利用直线圆相切的充要条件可得=，化简解出即可得出（2）a总在圆d外部，可得：r2+=+=对一切实数x0都成立，可得r2，解得r范围点e，f在圆d：x2+（y）2=r2（r0）上，也在以d，a为直径的圆上上面两个圆的方程相减可得：直线ef的方程，进而得出【解答】解：（1）直线x=2不满足条件，设切线方程为：y2=k（x2），化为：kxy+22k=0，则=，化为：7k224k=0，解得k=0或切线方程为：y2=0，或24x7y34=0（2）a总在圆d外部，r2+=+=对一切实数x0都成立，r2，解得点e，f在圆d：x2+（y）2=r2（r0）上，也在以d，a为直径的圆上即在x（xx0）+=0上上面两个圆的方程相减可得：x0x+=r2即为直线ef的方程，化为：（2y1）+4xx0+（12y4r2）=0y，关于x0的二次方程有实数根，=16x24（2y1）（12y4r20，即x2+r4即直线ef不经过圆gx2+=r4的内部的每一个点直线y=与圆g相切于点（0，）故当a运动时，直线ef都不通过的点构成一个区域是圆g，这个区域的面积是r2，取值范围是21已知f（x）=x2+ax+lnx不是单调函数（1）求a的取值范围；（2）如果对满足条件的一个实数a，函数f（x）+m都至多有一个零点，求实数m的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【分析】（1）求出f（x）的导数，根据函数的单调性结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；（2）求出a2时，f（x1），问题转化为m+f（x）极大值=m+f（x1）0恒成立，求出m的最大值即可【解答】解：（1）f（x）=x2+ax+lnx的定义域是（0，+），f（x）=2x+a+=，若函数f（x）不单调，则g（x）=2x2+ax+1只需满足：，解得：a2，（2）x0时，f（x），x+时，f（x）+，当a2时，f（x）=2x+a+=0的解可设为：x1=，x2=，显然x1，x2都是正数，且0x1=，易知：ax1=12，故f（x1）=+ax1+lnx1=1+lnx1，令g（x）=1x2+lnx，（0x），g（x）=0，函数g（x）是增函数，故f（x1）=1+lnx11+ln=，（易验证，当a2时，f（x1），易知，函数f（x）+m在（0，x1）上是增函数，在（x1，x2）上是减函数，在（x2，+）上是增函数，故f（x）极大值=f（x1），如果对一切a2，函数f（x）+m至多有一个零点，则，m+f（x）极大值=m+f（x1）0恒成立，因此，m0m，故m的最大值是请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时用2b铅笔在答题卡山把所选题目对应的题号涂黑。选修4-1：几何证明选讲22如图，已知ap是o的切线，p为切点，ac是o的割线，且与o交于b、c两点，圆心o在pac的内部，点m是bc的中点，（1）证明a、p、o