浙江省宁波市高三数学下学期期中试卷（含解析）.doc

2016-2017学年浙江省宁波市高三（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）ab2icd.2+2i2命题p：xr且满足sin2x=1命题q：xr且满足tanx=1则p是q的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3已知实数x，y满足不等式组，则2xy的取值范围是（）a1，3b3，1c1，6d6，14如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）a34+6b44+12c34+6d32+65已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，且在区间0，+）单调递减，若实数a满足f（log3a）+f（）2f（1），则a的取值范围是（）a（0，3b（0，c，3d1，36过双曲线的左焦点f作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为a、b，双曲线左顶点为m，若amb=120，则该双曲线的离心率为（）abc3d27在abc中，bc=7，ac=6，cosc=若动点p满足=（1）+，（r），则点p的轨迹与直线bc，ac所围成的封闭区域的面积为（）a5b10c2d48已知f（x）=，且g（x）=f（x）+有三个零点，则实数a的取值范围为（）a（，+）b1，+）c（0， ）d（0，19已知数列a 满足a=，an+11=an2an （nn*），则m=+的整数部分是（）a1b2c3d410已知函数 f（x）=x+a，xa，+），其中a0，br，记m（a，b）为 f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b的取值范围为（）abbbcbdb二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11已知全集为r，集合a=y|y=3x，x1，b=x|x26x+80，则ab= ，arb= 12已知数列an的前n项和sn=n2+2n1（nn*），则a1= ；数列an的通项公式为an 13已知抛物线c：y2=2px（p0）的焦点f（1，0），则p= ；m是抛物线上的动点，a（6，4），则|ma|+|mf|的最小值为 14若sin（+x）+cos（+x）=，则sin2x= ， = 15已知直线2x+my8=0与圆c：（xm）2+y2=4相交于a、b两点，且abc为等腰直角三角形，则m= 16若正数a，b，c满足+=+1，则的最小值是 17如图，矩形abcd中，ab=1，bc=，将abd沿对角线bd向上翻折，若翻折过程中ac长度在，内变化，则点a所形成的运动轨迹的长度为 三、解答题：（第18题）18已知函数f（x）=sin（x+）（xr，0）的图象如图，p是图象的最高点，q是图象的最低点且|pq|=（）求函数y=f（x）的解析式；（）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x0，2时，求函数h（x）=f（x）g（x）的最大值19三棱锥abcd中，e是bc的中点，ab=ad，bddc（i）求证：aebd；（ii）若db=2dc=ab=2，且二面角abdc为60，求ad与面bcd所成角的正弦值20已知函数f（x）=+lnx（a0）（1）判断函数f（x）在（0，e上的单调性（e为自然对数的底）；（2）记f（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=x3x2+x2f（x）在区间（，3）上存在极值，求实数a的取值范围21已知椭圆上任一点p，由点p向x轴作垂线段pq，垂足为q，点m在pq上，且，点m的轨迹为c（1）求曲线c的方程；（2）过点d（0，2）作直线l与曲线c交于a、b两点，设n是过点且平行于x轴的直线上一动点，满足（o为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形oanb为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由22已知数列an满足a1=3，an+1=an2+2an，nn*，设bn=log2（an+1）（i）求an的通项公式；（ii）求证：1+n（n2）；（iii）若=bn，求证：232016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高三（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）ab2icd.2+2i【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），z=1+iz2=（1+i）2=2i，故选：b2命题p：xr且满足sin2x=1命题q：xr且满足tanx=1则p是q的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】2l：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：由sin2x=1得2x=+2k，kz，即x=，kz，由tanx=1，得x=，kz，p是q的充要条件故选：c3已知实数x，y满足不等式组，则2xy的取值范围是（）a1，3b3，1c1，6d6，1【考点】7c：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2xy，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围【解答】解：设z=2xy，则y=2xz，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点b（0，1）时，直线y=2xz的截距最大，此时z最小，最小值z=01=1当直线y=2xz经过点c（3，0）时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大z的最大值为z=23=6，即1z6即1，6故选：c4如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）a34+6b44+12c34+6d32+6【考点】l!：由三视图求面积、体积【分析】一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，四棱锥的表面积是26+2+6+=34+6，故选a5已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，且在区间0，+）单调递减，若实数a满足f（log3a）+f（）2f（1），则a的取值范围是（）a（0，3b（0，c，3d1，3【考点】3n：奇偶性与单调性的综合【分析】由于函数f（x）是定义在r上的偶函数，则f（x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f（log3a）2f（1），即为f（|log3a|）f（1），再由f（x）在区间0，+）上单调递减，得到|log3a|1，即有1log3a1，解出即可【解答】解：由于函数f（x）是定义在r上的偶函数，则f（x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由实数a满足f（log3a）+f（）2f（1），则有f（log3a）+f（log3a）2f（1），即2f（log3a）2f（1）即f（log3a）f（1），即有f（|log3a|）f（1），由于f（x）在区间0，+）上单调递减，则|log3a|1，即有1log3a1，解得a3故选c6过双曲线的左焦点f作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为a、b，双曲线左顶点为m，若amb=120，则该双曲线的离心率为（）abc3d2【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率e=2，从而得到答案【解答】解：依题意，作图如下：oafa，amo=60，om=oa，amo为等边三角形，oa=om=a，在直角三角形oaf中，of=c，该双曲线的离心率e=2，故选：d7在abc中，bc=7，ac=6，cosc=若动点p满足=（1）+，（r），则点p的轨迹与直线bc，ac所围成的封闭区域的面积为（）a5b10c2d4【考点】98：向量的加法及其几何意义；hp：正弦定理【分析】根据向量加法的几何意义得出p点轨迹，利用正弦定理解出ab，得出abc的面积，从而求出围成封闭区域的面积【解答】解：设=，=（1）+=（1）+b，d，p三点共线p点轨迹为直线bc在abc中，bc=7，ac=6，cosc=，sinc=sabc=76=15，sbcd=sabc=5故选：a8已知f（x）=，且g（x）=f（x）+有三个零点，则实数a的取值范围为（）a（，+）b1，+）c（0， ）d（0，1【考点】52：函数零点的判定定理【分析】根据图象得出g（x）在（，0）上的零点个数，得出g（x）在0，+）上的零点个数，利用二次函数的性质得出a的范围【解答】解：令g（x）=0得f（x）=，作出f（x）=ln（1x）与y=的函数图象，由图象可知f（x）与y=在（，0）上只有1个交点，g（x）=0在（，0）上只有1个零点，f（x）=在0，+）上有2个零点，即得到x2ax+=0在0，+）上有两解，解方程x2ax+=0得x1=0，x2=a，a0，即a故选a9已知数列a 满足a=，an+11=an2an （nn*），则m=+的整数部分是（）a1b2c3d4【考点】8e：数列的求和【分析】先判断数列an是单调递增数列，再根据数列的递推公式利用裂项求和即可得到m=+=3，再根据数列的单调性判断出a20182，问题得以解决【解答】解：a=，an+11=an2an （nn*），an+1an=an2+10，an+1an，数列an是单调递增数列，由an+11=an2an=an（an1），=，=，m=+=（）+（）+（）=3，由a=1，则an+1an=（an1）20，a2=1+，a3=1+，a4=1+2，a20182，01，2m3，整数部分是2，故选：b10已知函数 f（x）=x+a，xa，+），其中a0，br，记m（a，b）为 f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b的取值范围为（）abbbcbdb【考点】3h：函数的最值及其几何意义【分析】求出f（x）的导数，讨论当b0时，当b0时，判断函数f（x）的单调性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范围【解答】解：函数 f（x）=x+a，xa，+），导数f（x）=1，当b0时，f（x）0，f（x）在xa，+）递增，可得f（a）取得最小值，且为2a+，由题意可得2a+=2，a0，b0方程有解；当b0时，由f（x）=1=0，可得x=（负的舍去），当a时，f（x）0，f（x）在a，+）递增，可得f（a）为最小值，且有2a+=2，a0，b0，方程有解；当a时，f（x）在a，）递减，在（，+）递增，可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=220，解得0b综上可得b的取值范围是（，）故选：d二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11已知全集为r，集合a=y|y=3x，x1，b=x|x26x+80，则ab=（0，4，arb=（0，2）【考点】1h：交、并、补集的混合运算；1d：并集及其运算【分析】求函数值域得集合a，解不等式求集合b，根据集合的运算性质计算即可【解答】解：全集为r，集合a=y|y=3x，x1=y|y3=（0，3，b=x|x26x+80=x|2x4=2，4ab=（0，4，rb=（，2）（4，+），arb=（0，2）故答案为：（0，4、（0，2）12已知数列an的前n项和sn=n2+2n1（nn*），则a1=2；数列an的通项公式为an=【考点】8h：数列递推式【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系，可得到本题结论【解答】解：sn=n2+2n1，当n=1时，a1=1+21=2，当n2时，an=snsn1=n2+2n1（n1）2+2（n1）1=2n+1，当n=1时，a1=2+1=32，an=，故答案为：2，=13已知抛物线c：y2=2px（p0）的焦点f（1，0），则p=2；m是抛物线上的动点，a（6，4），则|ma|+|mf|的最小值为7【考点】k8：抛物线的简单性质【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|ma|+|mf|转化为|ma|+|pm|，利用当p、a、m三点共线时，|ma|+|pm|取得最小值【解答】解：抛物线c：y2=2px（p0）的焦点f（1，0），=1，p=2准线方程为 x=1，设点m到准线的距离为d=|pm|，则由抛物线的定义得|ma|+|mf|=|ma|+|pm|，故当p、a、m三点共线时，|mf|+|ma|取得最小值为|ap|=6（1）=7，故答案为2，714若sin（+x）+cos（+x）=，则sin2x=， =【考点】gq：两角和与差的正弦函数；gi：三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式求得sinx+cosx=，两边平方，根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式即可求得sinx2x=， =，化简整理即可求得答案【解答】解：sin（+x）+cos（+x）=sinxcosx=，即sinx+cosx=，两边平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，则sinx2x=，由=，故答案为：，15已知直线2x+my8=0与圆c：（xm）2+y2=4相交于a、b两点，且abc为等腰直角三角形，则m=2或14【考点】j9：直线与圆的位置关系【分析】由三角形abc为等腰直角三角形，得到圆心c到直线的距离d=rsin45，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：由题意得到abc为等腰直角三角形，圆心c（m，0）到直线2x+my8=0的距离d=rsin45，即=，解得：m=2或14，故答案为2或1416若正数a，b，c满足+=+1，则的最小值是【考点】7f：基本不等式【分析】根据题意，对+=+1变形可得+=2（）+1，又由基本不等式的性质分析可得+=+6，即可得2（）+16，化简可得答案【解答】解：根据题意，若+=+1，则有+=2（）+1，而+=+=（+）+（+）+（+）2+2+2=6，则有2（）+16，化简可得，即的最小值是；故答案为：17如图，矩形abcd中，ab=1，bc=，将abd沿对角线bd向上翻折，若翻折过程中ac长度在，内变化，则点a所形成的运动轨迹的长度为【考点】j3：轨迹方程【分析】过a作bd的垂线ae，则a点轨迹是以e为圆心的圆弧，以e为原点建立坐标系，设二面角abda的大小为，用表示出a和c的坐标，利用距离公式计算的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长【解答】解：过a作aebd，垂足为e，连接ce，ae矩形abcd中，ab=1，bc=，ae=，ce=a点的轨迹为以e为圆心，以为半径的圆弧aea为二面角abda的平面角以e为原点，以eb，ea，ea为坐标轴建立空间直角坐标系exyz，设aea=，则a（0， cos， sin），c（1，0）ac=，解得0cos，6090，a点轨迹的圆心角为30，a点轨迹的长度为=故答案为：三、解答题：（第18题）18已知函数f（x）=sin（x+）（xr，0）的图象如图，p是图象的最高点，q是图象的最低点且|pq|=（）求函数y=f（x）的解析式；（）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x0，2时，求函数h（x）=f（x）g（x）的最大值【考点】hk：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；hj：函数y=asin（x+）的图象变换【分析】（）由余弦定理得cospoq 的值，可得sinpoq，求出p的坐标可得a的值，再由函数的周期求出的值，再把点p的坐标代入函数解析式求出，即可求得 y=f（x） 的解析式（）求出g（x） 的解析式，化简h（x）=f（x）g（x）的解析式，再根据x的范围求出h（x） 的值域，从而求得h（x） 的最大值【解答】解：（）过p作x轴的垂线pm过q作y轴的垂线qm，则由已知得|pm|=2，|pq|=，由勾股定理得|qm求=3，t=6，又t=，=，函数y=f（x）的解析式：f（x）=sin（x+）；（）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，g（x）=sinx函数h（x）=f（x）g（x）=sin（x+） sinx=sin2x+sinxcosx =（1cosx）+sinx=sin（x）+当x0，2时， x，当x=，即 x=1时，hmax（x）=19三棱锥abcd中，e是bc的中点，ab=ad，bddc（i）求证：aebd；（ii）若db=2dc=ab=2，且二面角abdc为60，求ad与面bcd所成角的正弦值【考点】mi：直线与平面所成的角；lo：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（i）取bd的中点f，连ef，af，推导出fedc从而bdfe再求出bdaf，从而bd面afe，由此能证明bdfe（ii）由bdaf，得afe即为二面角abdc的平面角，由此能求出ad与面bcd所成角的正弦值【解答】证明：（i）如图，取bd的中点f，连ef，af，e为bc中点，f为bd中点，fedc又bddc，bdfeab=adbdaf又affe=f，af，fe面afe，bd面afe，ae面afe，aebd，bdfe解：（ii）由（i）知bdaf，afe即为二面角abdc的平面角 afe=60ab=ad=2，abd为等腰直角三角形，故，又fe=，ae2=af2+fe22affecosafe=1+=， 即ae=，ae2+fe2=1=af2，aefe，又由（1）知bdae，且bdfe=f，bd面bdc，fe面bdc，ae平面bdc，ade就是ad与面bcd所成角，在rtaed中，ae=，ad=2，ad与面bcd所成角的正弦值sin20已知函数f（x）=+lnx（a0）（1）判断函数f（x）在（0，e上的单调性（e为自然对数的底）；（2）记f（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=x3x2+x2f（x）在区间（，3）上存在极值，求实数a的取值范围【考点】6b：利用导数研究函数的单调性；6d：利用导数研究函数的极值【分析】（1）先求导，再根据a与e的关系，得到函数的单调区间，（2）先求出g（x），再求导，函数g（x）有极值等价于关于x的方程3x2ax+1=0在区间（，3）上有异号实根，继而求得a的范围【解答】解：（1）f（x）=+lnx（a0）f（x）=，若0ae，当x（0，a）时，f（x）0，函数f（x）在（0，a上单调递减，当x（a，e）时，f（x）0，函数f（x）在（a，e上单调递增，若ae，f（x）0，函数f（x）在（0，e上单调递减（2）g（x）=x3x2+x2f（x）=x3x2+xag（x）=3x2ax+1函数g（x）=x3x2+x2f（x）在区间（，3）上存在极值，等价于关于x的方程3x2ax+1=0在区间（，3）上有异号实根，a=，又a=3x+在（，）上单调递增，在（，3）上单调递增，2a，当a=2时，g（x）=（1）20不存在极值，实数a的取值范围为（2，）21已知椭圆上任一点p，由点p向x轴作垂线段pq，垂足为q，点m在pq上，且，点m的轨迹为c（1）求曲线c的方程；（2）过点d（0，2）作直线l与曲线c交于a、b两点，设n是过点且平行于x轴的直线上一动点，满足（o为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形oanb为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由【考点